正交面齒輪傳動的兩類界線

2024-05-28 07:27:34趙亞平婁海青

哈爾濱工程大學學報 2024年4期

趙亞平, 婁海青

(東北大學機械工程與自動化學院,遼寧沈陽 110004)

面齒輪傳動源于“燈籠齒輪傳動”[1],這是一種通過銷齒嚙合的撥掛齒輪副。現代正交面齒輪傳動中,小輪為漸開線圓柱直齒輪,分度曲面是圓柱面;大輪為端面直齒輪,分度曲面是平面。在嚙合傳動的過程中,分度圓柱面在分度平面上做滾動和滑動。作為大輪的端面直齒輪,一般可用產形面與傳動副中小輪齒面一致的刀具范成得到。按照機械傳動的嚙合理論[2-3],嚙合界線是線共軛齒面偶[S1,S2]中,主動輪齒面S1瞬時接觸線族的包絡線,決定了主動輪齒面工作區的自然邊界。通過對嚙合界線進行深入系統的研究,可以為確定傳動副技術參數提供理論依據,明確齒面參數的求解域,從而形成傳動副的科學設計方法。同為偏置傳動的錐蝸桿傳動、圓柱蝸桿傳動的嚙合界線研究[4-7],已經充分證實了上述論斷。從產形面與切齒嚙合的相對運動出發,建立面齒輪齒面的奇點條件,按傳動副的不同技術參數,研究齒寬系數、面齒輪內徑的變化規律[8-11]。面齒輪內徑取決于其根切特性,但是按其提供的內徑公式設計面齒輪,往往不能切實保證面齒輪完全無根切[12],其他研究參見文獻[13-16]。

本文通過研究嚙合界線與曲率干涉界線得到了確定面齒輪內徑的方法與計算公式。

1 正交面齒輪副的齒面方程

如圖1所示,建立動坐標系σ1{O1;i1,j1,k1}與小輪固連,原點O1為小輪齒寬中點,k1沿小輪的軸線方向。小輪齒面為漸開線柱面,按圖1所示幾何關系,利用圓向量函數[17],可以寫出小輪齒面S1的方程為:

圖1 漸開線柱面形成機理示意

r1=rbe1(θ)-rbθg1(θ)+uk1

(1)

式中:u和θ為S1的曲紋坐標;u∈[-b1/2,b1/2],b1為小輪的齒寬;rb為小輪基圓半徑。

從式(1)可求得偏導矢為:

r1u=k1,r1θ=rbθe1(θ)

(2)

從式(2)可以計算出小輪齒面S1的單位法向量n1,它指向小輪輪齒實體,n1為:

(3)

圖2 描述面齒輪副嚙合的坐標系

圖3 軸截面內的面齒輪副

傳動副嚙合過程中,小輪齒面在靜系σo1中形成單參數漸開線柱面族{S1},利用回轉變換矩陣[3],從式(1)可以得到曲面族{S1}的方程為:

(r1)o1=R[ko1,φ1]r1=xo1io1+yo1jo1+uko1

(4)

式中φ1為小輪轉角,而且,

從式(3)可以得到曲面族{S1}的單位法矢量為:

(n1)o1=R[ko1,φ1](n1)1=go1(θ+φ1)

(5)

取小輪角速度矢ω1=ko1,則大輪角速度矢量ω2=1/i12io1,參看圖2,i12為面齒輪副傳動比,從而傳動副相對角速度矢為:

(6)

根據齒輪嚙合理論[3],基于式(4)和式(6),面齒輪副的相對運動速度為:

(7)

從式(5)和式(7)得到正交面齒輪傳動的嚙合函數為:

(8)

式(8)對φ1求偏導數,即得到嚙合界線函數為:

(9)

按圖2所示的坐標變換關系,利用回轉變換矩陣,從式(4)和式(8),在與面齒輪固連的動系σ2{O2;i2,j2,k2}中,可以得到面齒輪齒面S2方程:

(10)

從式(10)中的嚙合方程Φ=0可以解出:

(11)

把式(11)代入式(10),利用圓向量函數與球向量函數[17],齒面S2方程(10)改寫為:

(12)

式中φ=θ+φ1。

2 嚙合界線

2.1 嚙合界線的方程及其性質

根據嚙合理論,式(8)和式(9)中令Φ=Φφ1=0,可得到小輪齒面上2類界點[2]條件為:

sin(θ+φ1)=0

(13)

(14)

利用三角關系,從式(13)、式(14)可以求出:

u(1)=i12rb-Rm

(15)

u(2)=-i12rb-Rm

(16)

為限制面齒輪的輪廓尺寸,一般取i12rb-Rm<0,因而u(1)<0。又因從式(15)、式(16)可知u(2)-u(1)=-2i12rb<0,所以u(2)

假設0≤θ+φ1≤2π,把式(15)代入式(14)可以解得:

φ1=π-θ

(17)

式(1)中令u=u(1),可以得到小輪齒面上嚙合界線的方程:

r1(θ)=rbe1(θ)-rbθg1(θ)+(i12rb-Rm)k1

(18)

利用式(15),在坐標系{O1;xR1,yR1}中,面齒輪副的嚙合界線方程可以表示為:

(19)

式中xR1為常數小輪軸截面內,嚙合界線垂直于小輪軸線的直線,參看圖4。

圖4 嚙合界線和小輪齒面的相對位置關系

為了確保嚙合界線不進入小輪齒面,按照式(19)應使得xR1≤-b1/2,又因為Rm=Rin+b1/2,其中Rin為面齒輪內徑:

Rin≥i12rb

(20)

在嚙合界線不進入小輪齒面這一前提下,面齒輪內徑應滿足的條件。在式(20)得到滿足的條件下,i12rb-Rm<0。

為了保證嚙合方程Φ=0有實數解、面齒輪齒面存在,從式(14)可以建立不等式:

(21)

從而可以解得:

u≥i12rb-Rm=u(1)或u≤-i12rb-Rm=u(2)

(22)

根據近齒面和遠齒面嚙合界線分析,在軸截面坐標系{O1;xR1,yR1}中,繪制它們與小輪齒面的相對位置關系如圖4所示。式(20)選定面齒輪內徑Rin,近齒面嚙合界線一側的共軛區可以覆蓋整個小輪齒面,理論上小輪可以全齒長參與嚙合。

2.2 嚙合界線共軛線

將式(13)、式(14)代入式(12),同時考慮到u+Rm=i12rb,即可得到面齒輪齒面上嚙合界線共軛線的參數矢量方程為:

(23)

式(23)表明,在垂直于面齒輪軸線k2的小輪基圓柱切平面內,嚙合界線共軛線為一條漸開線,基圓半徑為i12rb,在此基圓上的起始角度為(i12-1)π/i12。

建立面齒輪軸截面坐標系{O2;xR2,yR2},如圖3所示,yR2軸沿面齒輪軸線,xR2沿面齒輪徑向,根據面齒輪齒面方程(12)可以建立坐標轉換關系:

(24)

把式(17)代入式(4)中xo1和yo1的表達式,同時考慮到u+Rm=i12rb,并利用式(24),就可得到軸截面坐標系{O2;xR2,yR2}中,嚙合界線共軛線的方程為:

(25)

式(25)表明,在面齒輪軸截面內,嚙合界線共軛線垂是直于面齒輪軸線的直線。

3 曲率干涉界線

3.1 曲率干涉界線方程

對式(12)求偏導矢,可得:

(26)

(27)

式(26)和式(27)做叉積得到:

(28)

(29)

式(29)是坐標平面(θ,φ)上S2的曲率干涉界線方程。此處建立面齒輪齒面奇點條件,較傳統嚙合理論中的方法[10]更簡明。

因為式(29)是關于θ的一元二次方程,可得:

(30)

把式(30)代入面齒輪齒面S2方程(12),就得到面齒輪副曲率干涉界線方程為:

(31)

式(30)、式(31)表明面齒輪齒面上,曲率干涉界線一般存在2條。

3.2 曲率干涉界點的計算原理

為了確定曲率干涉界點,可以聯立嚙合方程Φ=0和式(29),建立非線性方程組:

(32)

式中:-Ly為曲率干涉界點在面齒輪軸截面坐標系{O2;xR2,yR2}中的坐標,Ly>0。在求解方程組(32)確定一類界點時,Ly須按面齒輪齒高先行給定。

方程組(32)中未知量為θ、φ和u。當sinφ=0時,從式(32)可解得cosφ=-Ly/rb,故只能取定Ly=rb,從而cosφ=-1。又因為φ=θ+φ1∈[0,2π],所以在這種情況下,φ=π,如式(17)所示。將sinφ=0和cosφ=-1代入式(32),可以求得θ=0;將cosφ=-1代入式(32),可以求得u=i12rb-Rm。

以上實際上求得了非線性方程組(32)的一個平凡解:θ=0,φ=π,u=i12rb-Rm。據此,通過式(24)和式(25)可驗證,此平凡干涉界點也位于嚙合界線共軛線上,是干涉界線和嚙合界線共軛線的交點。平凡干涉界點的共軛點,在小輪的基圓柱面上。因為基圓內無漸開線,此點可作為干涉界線的起始點。

將θ=0,φ=π,u=i12rb-Rm代入式(7),可以計算出相應干涉界點處的相對速度V12=0。把上述平凡解代入式(31),計算出平凡干涉界點在動系σ2中的徑矢,經過坐標變換,可以得到此點在靜系σo2中的徑矢為:

(33)

因為正交軸面齒輪副屬相交軸傳動,小輪大輪間的相對運動,為瞬時相對純轉動,其相對轉動軸在平面內{O2;io2,ko2}通過點O2,且沿相對角速度矢ω12的方向,參看圖5。因此根據空間解析幾何,可在靜系σo2中得出相對轉動軸的方程為:

(34)

圖5 相對轉動軸與干涉界點平凡解

式中作為分母的1, 0和1是瞬時轉動軸所在直線方向矢量的分量,其中的“0”僅表示方向矢量的分量為0,并非以0做除數,進行除法計算,這樣的表示在空間解析幾何的文獻中,十分常見。

把式(33)中干涉界點平凡解在靜系σo2中的坐標代入式(34),方程得到滿足,說明平凡干涉界點在相對轉動軸上。

當sinφ≠0時,從式(32)可以解出:

(35)

把式(35)代入式(32)得到:

(36)

式中X=cosφ∈[-1,1]。

式(36)是關于X的一元五次代數方程,用Matlab中的roots函數,可以求得其全部根。選擇在區間[-1,1]的實根作為X的合理值。數值計算的經驗表明,這樣的合理值一般有2個,分別對2條干涉界線。

按照以上求出的sinφ和cosφ,可以在區間[0,2π]確定角度φ,再根據從式(35)求得的θ角的值,就能計算出干涉界點處小輪轉角φ1=φ-θ。另外,從式(32)又可求出,干涉界點處u=-i12rb/X-Rm。如此得到全部3個未知量(θ,φ1,u)后,就確定了面齒輪副的一個干涉界點。變動Ly值,就可以得到一系列干涉界點,把它們通過插值平滑連接,便得到干涉界線。

4 干涉界線的數值結果

依照文獻[12]確定表1中輔助角α0的值,以便計算面齒輪外徑。給定Ly值得算例A、算例B如表2所示,按本文3.2節所述方法,取式(36)中X在-1附近的實根,計算各干涉界點,數值解結果亦見表2。根據這些數值結果,在面齒輪軸截面內{O2;xR2,yR2}繪制出圖6中干涉界線Ⅰ。干涉界線Ⅱ對應X靠近1的實根,干涉界線Ⅰ上φ是第三象限角,干涉界線Ⅱ上φ是第四象限角。

表1 正交面齒輪副的主要參數

表2 干涉界線Ⅰ的數值結果 (算例A)

圖6 面齒輪軸截面內曲率干涉界線和嚙合界線共軛線

圖6中齒面位于干涉界線Ⅰ和Ⅱ之間,既保證了齒面位于嚙合界線可用一側,又避讓了干涉界線,還沒有過分加大輪廓尺寸。這樣就使得干涉界線Ⅰ大致位于面齒輪內端附近,干涉界線Ⅱ大致位于其外端以外。2條干涉界線都近似沿齒高走向。干涉界線Ⅰ上點1得自方程組(32)的平凡解。圖6中嚙合界線共軛線按式(25)繪出,反映出干涉界線Ⅰ上點1是干涉界線Ⅰ與嚙合界線共軛線的交點。

干涉界線Ⅰ實際上控制了面齒輪內徑Rin,使之不可過小,否則面齒輪容易發生曲率干涉。由于受到面齒輪齒頂銳化的限制[8,12],面齒輪外徑Rex不可以過大,因而干涉界線Ⅱ通常遠離面齒輪的齒面,對其進一步的討論從略。由此可見,面齒輪發生曲率干涉的危險部位,在于其內端齒根位置。

5 面齒輪無根切最小內徑的確定

如前所述面齒輪曲率干涉的危險部位,在其內端齒根,因此可在式(36)中取定Ly=r0=ra+c*m,求得相應干涉界點,以此干涉界點在軸截面坐標系{O2;xR2,yR2}中的橫坐標xR2,為面齒輪內徑。此處,ra為小輪齒頂圓半徑,c*為小輪頂隙系數。這樣就能保證干涉界線Ⅰ完全不進入面齒輪齒面,如圖6所示。

按上述思路,借助嚙合方程Φ=0、坐標轉換關系(24)和式(36)可以建立關于(X,Rin)的代數方程組: