雙向車道：整式乘法與因式分解

鄭勝輝

第九章 整式乘法與因式公解

領? 銜? 人：姜鴻雁（江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省無錫市初中數學姜鴻雁名師工作室

經歷前面知識的學習，同學們理解并掌握了有理數、代數式以及冪的相關知識。在此基礎上，我們在本章進一步學習了整式乘法與因式分解，這些內容都是代數學習的“底色”，也是今后學習更為復雜的內容和物理、化學等其他學科的基礎。

一、統攬全局，系統思考

本章內容為整式乘法與因式分解。因單項式和多項式統稱整式，故整式乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式和多項式乘多項式。完全平方公式與平方差公式只是多項式間乘法的特殊情形。同學們在小學階段學過整數乘法與分解質因數，比如，2×3×7=42就是整數乘法，反過來，42=2×3×7就是分解質因數。整數乘法和分解質因數是一個互逆過程。類比過來，整式乘法是把幾個因式積的形式寫成和的形式（單項式乘單項式除外），因式分解是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式。整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，正如雙向車道一般，如圖1。

二、端本正源，數形結合

數形結合是將“入微之數”和“直觀之形”相結合，建立對應關系并相互轉化來理解數學的一種數學思想。在學習整式乘法與因式分解時，我們可借助圖形直觀地闡明數量關系，也就是“以形助數”。

例如，將邊長分別為a、b的兩個正方形與長為a、寬為b的兩個全等長方形拼成一個邊長為a+b的大正方形。從不同角度表示大正方形的面積，可得完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖2）。你會用類似方法驗證另一個完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2嗎？

同樣，我們也可以用剪拼圖形的方式直觀地解釋平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（如圖3），你還有其他不同的拼圖方案解釋平方差公式嗎？試試看！

值得一提的是，圖形中的字母a、b均表示線段，所以代替的是正數，但公式中的字母a、b可以代替正數、負數、單項式或多項式。

三、明辨方向，運用自如

在整式乘法與因式分解的雙向變形過程中，同學們常常會出現一些錯誤。如沒有理解整式乘法與因式分解的變形“方向”；對于因式分解，沒有先提取公因式；因式分解的結果不“徹底”等。

關于因式分解，我們不妨用這個口訣：一“提（公因式）”，二“用（公式）”，三“十字（相乘）”，四“分組（分解）”，五“檢查（是否分解徹底）”。它可以幫你成功“繞坑”。

俗話說：干一行，行一行，一行行，行行行……這其中的奧秘就是遷移。整式乘法與因式分解本質上是一種互逆關系，是“倒過來想”的一種思維方式。數學中具有互逆關系的還有我們熟悉的加法與減法、乘法與除法，和將來我們要學習的乘方與開方、原命題與逆命題……這種“倒過來想”的思維方式不僅存在于數學中，在生活及其他學科中，也都是發現問題、解決問題的有效途徑。

（作者單位：江蘇省無錫市清名橋中學）