關于冪的圖形證明

萬廣磊

超市里有些水果擺放成金字塔的形狀，從上往下數，第一層有1個，第二層有4個，第三層有9個，以此類推，如果是第n層，就有n2個蘋果（n≥1）。那么，把每一層的水果都加起來，一共有多少個蘋果呢？也就是計算12+22+32+…+n2，結果等于多少呢？

隨著學習的深入，我們會接觸到一個公式，即12+22+32+…+n2=[n（n+1）（2n+1）6]，n≥1。怎么來證明這個公式的正確性呢？下面，我們通過圖形來探究一番。

方法一

我們先來驗證12+22+32+42的結果。如圖1，我們用小正方體的個數來分別表示12、22、32、42，下方紅色的立體圖形是由對應的上方白色的立體圖形拼接而來。

圖2—圖4中，小正方體的總量都可以表示12+22+32+42。

我們將圖2—圖4拼接在一起，得到圖5，加粗的黑色線條是拼接線。

將兩個圖5中的圖形再拼接，便得到圖6。

圖6是一個長方體，其體積可以表示為6（12+22+32+42）。我們再觀察，發現其高為4、長為9、寬為5，體積又可以表示為4×5×9，即公式中的4×（4+1）×（2×4+1）。所以6（12+22+32+42）=4×（4+1）×（2×4+1）。

我們如果將小正方體的數量增加至n個，n≥4，按照圖1—圖6的方式拼接，最后可以得到一個高為n、長為（2n+1）、寬為（n+1）的長方體，該長方體的體積可以表示為n（n+1）（2n+1），又可以表示為6（12+22+32+…+n2），所以12+22+32+…+n2=[n（n+1）（2n+1）6]。

方法二

我們仍然先來驗證12+22+32+42的結果。圖7中的立方體表示12+22+32+42。

我們準備三個這樣的立方體，如圖8，將這三個立方體拼接到一起，得到圖9。

我們將圖9最上一層的小正方體整體橫切[12]的高度，如圖10，陰影部分是橫切掉的整體。

如圖11，將橫切下來的小立方體整體補位在圖10的最上一層，正好得到一個長方體。其長為5、寬為4、高為4+[12]，體積可以表示為5×4×（4+[12]）。該長方體的體積又等于3（12+22+32+42），即3（12+22+32+42）=5×4×（4+[12]），即6（12+22+32+42）=5×4×（8+1）=4×（4+1）×（2×4+1）。

我們如果將小正方體的數量增加至n個，n≥4，按照圖7—圖11的方式拼接，最后可以得到一個寬為n、長為（n+1）、高為（n+[12]）的長方體，該長方體的體積可以表示為n（n+1）（n+[12]），又可以表示為3（12+22+32+…+n2），所以12+22+32+…+n2=[n（n+1）（2n+1）6]。

以上兩個圖形的證明方法是不是給你豁然開朗的感覺？請同學們動動腦筋，思考還有沒有其他證明方法。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）