橋門(mén)式起重機(jī)箱形梁截面形狀和尺寸組合優(yōu)化*

楊 益 程文明,2 饒 雄

1 西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031 2 軌道交通運(yùn)維技術(shù)與裝備四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610031

0 引言

起重機(jī)主梁是橋門(mén)式起重機(jī)的主要受力部件，其承載性直接關(guān)系到起重機(jī)的安全性和可靠性，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明[1]：橋門(mén)式起重機(jī)的主梁占起重機(jī)自重的30%～60%。隨著人們對(duì)保護(hù)環(huán)境的意識(shí)不斷增強(qiáng)，國(guó)家出臺(tái)了相關(guān)政策以鼓勵(lì)企業(yè)降低能耗，所以工程中對(duì)箱形梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)有著重要的研究意義。

到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)橋門(mén)式起重機(jī)輕量化進(jìn)行了大量研究。朱強(qiáng)等[2]基于SIMP變密度法與數(shù)學(xué)折中規(guī)劃優(yōu)化法，建立了橋式起重機(jī)多工況優(yōu)化模型，通過(guò)Optistruct求解器以體積分?jǐn)?shù)和靜態(tài)位移為約束，在3種典型靜態(tài)工況下以最小柔度為目標(biāo)進(jìn)行多工況拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化后的主梁質(zhì)量減輕6.055%；Abid M等[3]在綜合考慮加勁肋的形狀、尺寸、位置及箱形梁截面等參數(shù)的基礎(chǔ)上，采用2部?jī)?yōu)化策略對(duì)起重機(jī)箱形梁結(jié)構(gòu)的輕量化進(jìn)行研究，通過(guò)優(yōu)化箱形梁結(jié)構(gòu)的寬度、高度和厚度尺寸可得到合理的減重方案；宋佳雄等[4]為得到合理的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)建立以主梁截面尺寸和構(gòu)件厚度為設(shè)計(jì)變量，綜合考慮主梁結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度約束條件，并以主梁質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，采用Ansys軟件中的零階優(yōu)化算法求解該模型，優(yōu)化后主梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量可縮減23.1%；付為剛等[5]以竹子為仿生對(duì)象對(duì)正軌箱形梁橫向肋進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并建立了正軌箱形梁加勁肋變間距等穩(wěn)定性?xún)?yōu)化策略，結(jié)合有限元彈性屈曲分析進(jìn)行迭代優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了加勁肋變間距等穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，最終仿生箱形梁較傳統(tǒng)箱梁減重136.12 kg，各截面屈曲抗失穩(wěn)能力差異減小；王玉璞等[6]以粒突箱鲀魚(yú)嘴特征曲線為仿生原型，設(shè)計(jì)出可附著在箱形梁迎風(fēng)面上的部件，并運(yùn)用計(jì)算流體力學(xué)對(duì)仿生設(shè)計(jì)進(jìn)行評(píng)估，研究顯示以某40 t集裝箱起重機(jī)箱形梁為例，仿生箱梁較傳統(tǒng)箱形梁結(jié)構(gòu)風(fēng)阻減小了65.77%，增重2.28%，提高了起重機(jī)在風(fēng)場(chǎng)重運(yùn)行的平穩(wěn)性。

綜上所述，箱形梁結(jié)構(gòu)的輕量化研究多集于利用變密度法對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化、利用生物仿生設(shè)計(jì)對(duì)箱形梁的橫向肋結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化、對(duì)箱形梁結(jié)構(gòu)中的部分零件進(jìn)行尺寸優(yōu)化。總之，對(duì)起重機(jī)箱形梁結(jié)構(gòu)輕量化的研究主要集中在拓?fù)鋬?yōu)化、尺寸優(yōu)化和仿生學(xué)設(shè)計(jì)3個(gè)方向，這3種方法多局限于現(xiàn)有的四邊形主梁截面形狀，缺少對(duì)主梁截面形狀的研究。

本文提出的主梁截面優(yōu)化流程為：1）建立待優(yōu)化主梁簡(jiǎn)化模型；2）根據(jù)輕量化目標(biāo)確定形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化的組合設(shè)計(jì)變量；3）對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行靈敏度分析，并確定設(shè)計(jì)變量的變化范圍；4）以自重最小為目標(biāo)，以撓度為約束條件，求出箱形梁截面形狀的最優(yōu)解，利用該流程獲得新的輕量化箱形梁截面形狀。

1 40 t集裝箱門(mén)式起重機(jī)參數(shù)

以某MG40 t-40 m起重機(jī)的主梁為研究對(duì)象開(kāi)展主梁截面形狀的優(yōu)化研究，主梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示，具體參數(shù)有：上下蓋板材料為Q235，板的厚度均為14 mm，腹板選用Q235，厚度為8 mm，主梁高度為2 428 mm，主梁寬度為1 518 mm，翼緣板厚度為22 mm。根據(jù)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)選取MG40 t-40 m起重機(jī)最具代表性的4個(gè)工況進(jìn)行靜力分析，具體工況如表1和表2所示。

圖1 32 t門(mén)式起重機(jī)示意圖

表1 4個(gè)工況中主梁、起重小車(chē)的狀態(tài)和位置

表2 4個(gè)工況載荷參數(shù) kN

2 尺寸和形狀優(yōu)化及結(jié)果分析

2.1 主梁有限元模型

主梁模型截面高度為2 414 mm，寬度為1 628 mm，長(zhǎng)度為62 787 mm，單元類(lèi)型為Shell 63殼單元，用四邊形結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，單元數(shù)量為52 860，節(jié)點(diǎn)數(shù)量為82 720。材料的彈性模量為E＝2.1×105MPa，泊松比為μ＝0.3，密度為ρ＝7.85×10-9t/mm3。

本文僅研究截面形狀對(duì)主梁的影響，所以模型排除主梁內(nèi)部隔板、翼緣板等改善局部應(yīng)力的結(jié)構(gòu)[7]，同時(shí)為降低載荷區(qū)域的應(yīng)力集中現(xiàn)象，將載荷區(qū)域多個(gè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)柔性節(jié)點(diǎn)REB3共結(jié)在一起進(jìn)行加載，分別施加在箱形梁有效懸臂位置和箱形梁跨中位置。載荷位置和節(jié)點(diǎn)分布如圖2和圖3所示。

圖2 主梁載荷施加位置

圖3 REB3節(jié)點(diǎn)示意圖

2.2 形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)變量а的定義

形狀優(yōu)化[8，9]是采用節(jié)點(diǎn)法思路將截面形狀用若干個(gè)節(jié)點(diǎn)劃分成若干線段，并通過(guò)控制節(jié)點(diǎn)間網(wǎng)格的位移來(lái)對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行形狀的變化。通常將節(jié)點(diǎn)變形前的空間位置稱(chēng)作初始位置，記作X0；將1個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大位移距離看作1個(gè)一維常向量統(tǒng)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)位移向量，記作ΔXj，如圖4中變形起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的箭頭所示。

圖4 形狀優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量

為了便于計(jì)算，在優(yōu)化過(guò)程中ΔXj保持不變，算法只對(duì)ΔXj按一定縮放系數(shù)進(jìn)行變化，且縮放系數(shù)是一個(gè)標(biāo)量，取值范圍為[-1，1]，其中1表示節(jié)點(diǎn)可移動(dòng)ΔXj數(shù)值上的最遠(yuǎn)處，-1表示節(jié)點(diǎn)可移動(dòng)ΔXj數(shù)值上的反向最遠(yuǎn)處，故形狀優(yōu)化中的設(shè)計(jì)變量確定為縮放系數(shù)а。

通過(guò)優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)位置稱(chēng)為終點(diǎn)位置，記作X，故形狀優(yōu)化的通用數(shù)學(xué)模型可表示為

其中

將主梁截面按圖5所示的22個(gè)節(jié)點(diǎn)分成22段，再按圖6所示將節(jié)點(diǎn)劃分為10對(duì)節(jié)點(diǎn)變形組，這10對(duì)節(jié)點(diǎn)的初始位置記作初始位置X0，即

圖5 節(jié)點(diǎn)的分布位置

圖6 節(jié)點(diǎn)初始位置X 0

形狀優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量а對(duì)應(yīng)的X0為

其中，а1、а2、а3、а4、а5、а6通過(guò)控制對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)水平移動(dòng)從而引導(dǎo)截面寬度方向變形；а7、а8、а9、а10控制對(duì)應(yīng)的對(duì)節(jié)點(diǎn)豎直位移引導(dǎo)截面高度方向變形。

2.3 尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)變量Ti的定義

箱形梁的主要受力零件是上蓋板、下蓋板和腹板，將這些板材的板厚作為設(shè)計(jì)變量Ti，即上蓋板板厚Ta、腹板板厚Tp、下蓋板板厚Tb，如圖7所示。設(shè)計(jì)變量與尺寸之間的線性關(guān)系可表示為

圖7 尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

式中：p為屬性中要優(yōu)化的對(duì)象，C0為常數(shù)，Ti為設(shè)計(jì)變量，Ci為每個(gè)設(shè)計(jì)變量變化的線性系數(shù)。

由于優(yōu)化對(duì)象為殼單元的厚度，即C0＝1，Ca＝Cp＝Cb＝1，故式（2）可簡(jiǎn)化為

2.4 設(shè)計(jì)變量靈敏度分析

靈敏度分析[10]是結(jié)構(gòu)優(yōu)化中常用的手段，常用于尋找結(jié)構(gòu)性能影響最大的設(shè)計(jì)變量。設(shè)計(jì)變量變化的靈敏度數(shù)值直觀地反映了該變量對(duì)性能的影響程度和趨勢(shì)，故可用于快速篩選出重要的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化。

靈敏度分析一般是用于分析系統(tǒng)輸出響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)輸入?yún)?shù)的敏感度，對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型求取其倒數(shù)的階數(shù)較高時(shí)較復(fù)雜，鑒于此，常規(guī)的靈敏度分析均為設(shè)計(jì)響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：g（X）為系統(tǒng)性能指標(biāo)，X為系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)向量，xi為系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)向量中的第i個(gè)參數(shù)。

箱形梁截面形狀和尺寸優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量關(guān)于質(zhì)量、撓度的靈敏度分析結(jié)果如圖8、圖9所示。由圖8可知，為減輕主梁自重應(yīng)減小а1、а6、а7等3個(gè)變量數(shù)值；由圖9可知，提高變量а2、а3、а6、а8的數(shù)值可降低主梁的撓度。

圖8 設(shè)計(jì)變量關(guān)于主梁質(zhì)量的靈敏度

圖9 設(shè)計(jì)變量關(guān)于主梁撓度的靈敏度

經(jīng)分析，減小設(shè)計(jì)變量а1、а6、а7數(shù)值對(duì)減重有利，增加這3個(gè)設(shè)計(jì)變量數(shù)值對(duì)降低撓度有利，故在優(yōu)化時(shí)需給予這些設(shè)計(jì)變量足夠的變化空間求解出最優(yōu)解。

2.5 優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

本文優(yōu)化的目標(biāo)是箱形梁質(zhì)量最輕。根據(jù)靈敏度分析結(jié)果和箱形梁結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，以及板厚初始值，設(shè)計(jì)變量板厚Ti變化范圍，如表3所示。節(jié)點(diǎn)初始位置X0的初始值、節(jié)點(diǎn)位移向量ΔXj的距離、縮放系數(shù)а的變化范圍如表4所示。

表3 板厚初始值和變化范圍Ti

表3 板厚初始值和變化范圍Ti

板厚初始值設(shè)計(jì)變量變化范圍T0 a 14 Ta[4，20]T0 p 8 Tp[4，20]T0 b 14 Tb[4，20]

表4 初始位置X0、變形向量ΔXj、縮放系數(shù)a

優(yōu)化約束條件為根據(jù)設(shè)計(jì)書(shū)工況1、工況2中跨中位置的Y向位移約束邊界為Cmid≤-40 mm；工況3、工況4中懸臂位置的Y向位移約束邊界為Cleft≤-28.6 mm。形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為

3 優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 主梁截面形狀與質(zhì)量的耦合關(guān)系

經(jīng)過(guò)18次迭代運(yùn)算后，得到主梁自重最輕的截面形狀，以及主梁截面形狀與質(zhì)量耦合關(guān)系曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 主梁截面形狀優(yōu)化的最優(yōu)解

圖11 主梁截面形狀與質(zhì)量耦合關(guān)系曲線

由圖11可知，計(jì)算過(guò)程中的主梁自重隨迭代次數(shù)的增加逐漸趨于收斂，故該優(yōu)化結(jié)果有效。優(yōu)化前四邊形主梁自重為41.5 t，優(yōu)化后的箱形梁截面形狀由四邊形變成多邊形，且自重降至33.01 t，減重20.46%。

通過(guò)分析圖11形狀變化規(guī)律，可知迭代數(shù)0、1、2、3、4、5、8、18的形狀發(fā)生標(biāo)志性變化，將這8個(gè)標(biāo)志性形狀后對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量Xi、Ti的優(yōu)化結(jié)果單獨(dú)列表，如表5所示。

表5 8個(gè)標(biāo)志性主梁截面形狀和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的值

3.2 優(yōu)化后主梁結(jié)構(gòu)的靜力和線性屈曲分析

結(jié)構(gòu)屈曲分析能夠用去確定結(jié)構(gòu)開(kāi)始變得不穩(wěn)定是的臨界載荷，也能從側(cè)面反映出主梁結(jié)構(gòu)受力時(shí)的臨界載荷。故對(duì)新的主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力和屈曲分析。通過(guò)靜力分析后，獲得優(yōu)化前后各工況的最大位移、最大應(yīng)力如表6所示。通過(guò)線性屈曲分析可以得出箱形梁結(jié)構(gòu)在工況2和工況4的載荷條件下的屈曲特征值λi數(shù)值如表6所示。屈曲臨界載荷Fi的計(jì)算公式為

表6 優(yōu)化前后各工況的位移、應(yīng)力、屈曲特征值

式中：Fi為第i階屈曲臨界載荷，λi為第i階屈曲特征值，Wn為第n個(gè)工況的載荷。

由表6可知，優(yōu)化后的箱形梁結(jié)構(gòu)在4種工況中的最大位移和最大應(yīng)力均大幅低于優(yōu)化前結(jié)構(gòu)，其中最大位移降低84.53%，最大應(yīng)力降低71.74%。

分別將工況2、工況4優(yōu)化前后的Wn、λi代入式(6)得到優(yōu)化前后第1階、第2階的屈曲臨界載荷如表7所示。由表7可知，主梁結(jié)構(gòu)經(jīng)優(yōu)化后在工況2、工況4的前2階屈曲臨界載荷均高于優(yōu)化前，且比原結(jié)構(gòu)最大高出300%。

表7 優(yōu)化前后第1階、第2階臨界屈曲載荷 N

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)門(mén)式起重機(jī)主梁截面的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了箱形梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。利用形狀和尺寸優(yōu)化組合的優(yōu)化模型，對(duì)箱形梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化求解，經(jīng)18次迭代后得到新多邊形的主梁結(jié)構(gòu)。對(duì)新結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力和線性屈曲分析得到以下結(jié)論：

1）箱形梁截面經(jīng)過(guò)形狀和尺寸優(yōu)化后，得到新的截面形狀和上下蓋板，2腹板的板厚，新的多邊形主梁結(jié)構(gòu)減重20.46%；

2）新箱形梁結(jié)構(gòu)的最大位移和最大應(yīng)力均大幅低于優(yōu)化前原箱形梁結(jié)構(gòu)，最多下降70%；

3）新箱形梁結(jié)構(gòu)第1階、第2階的臨界屈曲載荷均高于優(yōu)化前結(jié)構(gòu)，且高出3倍。