基于知識系統(tǒng)的視角理解數(shù)學(xué)教材
——對一個準判定定理處理方式的比較分析

劉向權(quán) (郵編:236700)

安徽省利辛縣利辛中學(xué)

在“圖形與幾何”領(lǐng)域,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)對第四學(xué)段(7～9年級)的課程內(nèi)容有如下規(guī)定:探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.探索并證明平行四邊形的判定定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》涉及平行四邊形性質(zhì)和判定的課程內(nèi)容,也有與新課標相同的規(guī)定.顯然,“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”和“平行四邊形的對邊相等”“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”和“平行四邊形的對角線互相平分”是兩組互逆定理.但對“平行四邊形的對角相等”這一性質(zhì)定理的逆命題(即“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”,以下簡稱“準判定定理”),新舊兩版課標似乎都在有意回避.今年7月,在滬科版八年級下冊數(shù)學(xué)新教材編寫組內(nèi)部審讀期間,這一問題再次進入筆者視野,隨即引起筆者的關(guān)注與深思,進而促使筆者對現(xiàn)行十個版本的初中數(shù)學(xué)教材加以比較分析.本文通過系統(tǒng)梳理、簡要歸納準判定定理幾種不同的處理方式,基于知識系統(tǒng)的視角,力求厘清各版本教材試圖構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系的基本脈絡(luò),從而達到高位理解數(shù)學(xué)教材的目的.

1 準判定定理處理方式梳理呈現(xiàn)

1.1 以判定定理的形式直接呈現(xiàn)

人教版教材八年級下冊第18章第1節(jié)第2小節(jié)“平行四邊形的判定”

教材首先呈現(xiàn)了如下“思考”:通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來,對邊相等,或?qū)窍嗟?或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎?也就是說,平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎[2]?

隨后,教材作了如下表述:

可以證明,這些逆命題都成立.這樣我們得到平行四邊形的判定定理:

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形[2].

1.2 以教材例題的形式間接呈現(xiàn)

在初中現(xiàn)行十個版本的數(shù)學(xué)教材中,以下兩個版本在介紹完新課標規(guī)定的三個判定定理并初步鞏固后,均安排了一道例題.

(1)湘教版教材八年級下冊第2章第2節(jié)第2小節(jié)“平行四邊形的判定”(例8 )

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求證:四邊形ABCD是平行四邊形[3].

(2)華東師大版教材八年級下冊第18章第2節(jié)“平行四邊形的判定”(例4)

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求證:四邊形ABCD是平行四邊形[4].

1.3 設(shè)置“思考”欄目引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納

北京版教材八年級下冊第15章第3節(jié)“平行四邊形的性質(zhì)與判定”

在探索歸納出新課標規(guī)定的三個判定定理并簡單鞏固后,教材安排了如下“思考”:

根據(jù)對角之間的關(guān)系能否判定一個四邊形是平行四邊形[5]?

1.4 通過相關(guān)題目的解答或證明變相滲透

在初中現(xiàn)行十個版本的數(shù)學(xué)教材中,以下五個版本均采用了這一處理方式.其中,滬科版、蘇科版、青島版教材在推出新課標規(guī)定的三個判定定理并初步鞏固后,安排了練習(xí)或習(xí)題;冀教版教材在探究得到“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理,并通過兩個例題加以鞏固后,安排了一道練習(xí);北師大版教材則在全冊總復(fù)習(xí)中呈現(xiàn)了一道題目.

(1)滬科版教材八年級下冊第19章第2節(jié)“平行四邊形”(練習(xí)第1題)

已知:在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.試判斷四邊形ABCD是否是平行四邊形,并說明理由[6].

(2)蘇科版教材八年級下冊第9章第3節(jié)“平行四邊形”(習(xí)題9.3第5題)

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.四邊形ABCD是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論[7].

(3)青島版教材八年級下冊第6章第2節(jié)“平行四邊形的判定”(習(xí)題6.2第1題)

求證:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形[8].

(4)冀教版教材八年級下冊第22章第2節(jié)“平行四邊形的判定”(練習(xí)第1題)

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形嗎?為什么[9]?

(5)北師大版教材八年級下冊(總復(fù)習(xí)第16題)

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論[10].

1.5 通過教材“留白”對準判定定理“零處理”

筆者翻閱浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材后發(fā)現(xiàn),第4章(“平行四邊形”)第4節(jié)為“平行四邊形的判定定理”,本冊教材自始至終未以任何方式對準判定定理加以呈現(xiàn).浙教版教材對準判定定理的“留白”式處理,不僅體現(xiàn)了其獨特的編寫思路,同時也為教師留出了靈活處理教材的余地,為學(xué)生留下了充分的思考空間.

2 從準判定定理的不同處理方式看數(shù)學(xué)知識體系構(gòu)建

2.1 對準判定定理不同處理方式的比較分析

前文所述十個版本的初中數(shù)學(xué)教材,除浙教版外,其余九個版本均以各自的呈現(xiàn)形式對準判定定理作了相應(yīng)處理,雖然處理方式不盡相同,但無疑都在試圖向?qū)W生傳遞如下信息:“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”也可以作為平行四邊形判定的依據(jù)(盡管2011年版課標和新課標均未將其視為平行四邊形的判定定理).只是信息傳遞或顯或隱,或明或暗,或強或弱而已.對準判定定理的處理,從人教版教材大膽“突破”新舊兩版課標“限制”以判定定理的形式直接給出,到湘教版、華東師大版教材以例題的形式間接呈現(xiàn),北京版教材以“思考”欄目為抓手引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),再到滬科版、蘇科版、青島版、冀教版、北師大版教材以練習(xí)、習(xí)題或復(fù)習(xí)題的形式變相滲透,無疑是對上述信息傳遞從顯到隱、自明至暗、由強及弱的最好詮釋.

如前所述,相對于其余九個版本的初中數(shù)學(xué)教材,浙教版教材更傾向于給教師以靈活的處理余地,并為學(xué)生留下充分的思考空間.從上述九個版本教材依次對準判定定理的具體處理,到浙教版教材對準判定定理的“零處理”,恰恰體現(xiàn)了從“有”到“無”的“衰減”過程.不過,對使用浙教版初中數(shù)學(xué)教材的師生而言,也可通過對平行四邊形判定方法的拓展研究,讓準判定定理實現(xiàn)從“無”到“有”的自然“生長”.這其中,不僅應(yīng)有教師的適時啟發(fā)、適當引導(dǎo),還需要學(xué)生養(yǎng)成必要的反思習(xí)慣和問題意識.

2.2 基于知識系統(tǒng)的視角理解數(shù)學(xué)教材

通過以上分析,我們不難發(fā)現(xiàn),在對準判定定理的處理上,前九個版本的教材均立足于知識系統(tǒng)的視角.即先將準判定定理以不同方式納入到“平行四邊形的判定”這個子系統(tǒng),讓平行四邊形的三個性質(zhì)定理都有互逆的判定定理(包括準判定定理)與之相對應(yīng),進而實現(xiàn)“平行四邊形”從定義、性質(zhì)到判定這個母系統(tǒng)的“閉環(huán)”.基于知識系統(tǒng)的視角,尤其關(guān)注對結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建[11].鑒于此,教師“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系”[1].相比之下,浙教版初中數(shù)學(xué)教材對“平行四邊形”知識系統(tǒng)的構(gòu)建,則顯得較為開放,甚至不夠“完整”.而從另一個角度看,浙教版教材對準判定定理的回避式處理,在嚴格落實新舊兩版課標規(guī)定的同時,也更容易讓教師“跳”出教材而不囿于教材,從而更好地實現(xiàn)“用教材教”,而不僅僅只會“教教材”.這也為師生在教與學(xué)的雙邊活動中自主構(gòu)建“平行四邊形”的完整知識體系創(chuàng)造了更好機遇.

3 思考與建議

3.1 幾點思考

筆者進一步翻閱2001年版《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》,發(fā)現(xiàn)課標(實驗稿)也未將準判定定理規(guī)定為平行四邊形的判定定理.既然準判定定理可以判定一個四邊形是平行四邊形,那么為何前后三版課標一脈相承,如出一轍地對準判定定理加以回避?筆者推測,這大概是出于以下幾方面考慮:

首先,如果將準判定定理作為平行四邊形的判定定理規(guī)定于課標中,初中數(shù)學(xué)各版本教材就必須將其以定理的形式加以呈現(xiàn),這會在一定程度上增加學(xué)生的學(xué)習(xí)(記憶)負擔;其次,對準判定定理的推導(dǎo)證明難度不大,只要教師稍作引導(dǎo),學(xué)生便能輕松地完成證明;再者,便于各版本教材編寫人員對教材內(nèi)容設(shè)計做一定的彈性處理,也有利于發(fā)揮教師的教學(xué)創(chuàng)造性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出:按照本標準要求,教材的編寫要面向全體學(xué)生,也要考慮到學(xué)生發(fā)展的差異,在保證基本要求的前提下,體現(xiàn)一定的彈性,以滿足學(xué)生的不同需求,使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,也便于教師發(fā)揮自己的教學(xué)創(chuàng)造性[12].鑒于我國現(xiàn)行各版本初中數(shù)學(xué)教材均是依據(jù)2011年版課標編寫的,上述十個版本教材之所以對準判定定理采取不同的處理方式,個中原委已不言自明.

3.2 教學(xué)建議

基于以上論述和分析,教學(xué)中準判定定理是否應(yīng)該呈現(xiàn)?何時加以呈現(xiàn)?當以何種方式呈現(xiàn)?這些問題都需要初中數(shù)學(xué)教育同行們認真思考.立足知識系統(tǒng)的視角,參照絕大多數(shù)版本初中數(shù)學(xué)教材的做法,以適當方式對準判定定理的適時呈現(xiàn)顯然是必要的.鑒于前后三版課標均未將準判定定理作為平行四邊形的判定定理,筆者認為,在探索證明出新課標規(guī)定的平行四邊形的三個判定定理后,再以適當方式呈現(xiàn)準判定定理為妥.當然,視具體學(xué)情,實際教學(xué)中也可像人教版教材那樣讓數(shù)學(xué)結(jié)論“來得更快些”,或如北師大版教材,待整冊教材新課內(nèi)容學(xué)習(xí)完畢,再引導(dǎo)學(xué)生完成“平行四邊形”知識體系的構(gòu)建,同樣可行.值得注意的是,在準判定定理呈現(xiàn)時機和具體呈現(xiàn)方式的確定上,教師要恰當處理好“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系,并善于敏銳觀察課堂動態(tài),及時捕捉學(xué)情變化.對于準判定定理的探討,如果學(xué)生能自主提出如下問題實屬最佳:既然“平行四邊形的對邊相等”“平行四邊形的對角線互相平分”這兩個性質(zhì)定理的逆命題都是真命題,那么,“平行四邊形的對角相等”的逆命題是否也成立呢?倘若學(xué)生未能主動提出以上問題,教師可在引導(dǎo)學(xué)生探索證明完新課標規(guī)定的平行四邊形的三個判定定理后,進一步啟發(fā)學(xué)生思考:學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)和判定后,同學(xué)們不妨將平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理進行比較,你有什么發(fā)現(xiàn)?由此,你想提出什么數(shù)學(xué)問題?假如此時學(xué)生仍不能提出我們期待的問題,退而求其次,便可考慮直接出示類似北京版教材上述“思考”欄目的問題,或通過安排學(xué)生完成相關(guān)練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題,進而提煉出準判定定理.