漸進(jìn)“再發(fā)現(xiàn)”：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中悟思想提素養(yǎng)

［ 關(guān)鍵詞 ］ 漸進(jìn)式教學(xué)；數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”；數(shù)學(xué)活動(dòng)；數(shù)形結(jié)合

教學(xué)怪象思考

當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)出現(xiàn)一種怪象：各類(lèi)“高效課堂”大行其道，“大容量、快節(jié)奏”的教學(xué)模式備受吹捧，這種追求效率，把速度置頂，不惜一切代價(jià)提升學(xué)生的分?jǐn)?shù)，把追求課堂知識(shí)容量和強(qiáng)化解題能力訓(xùn)練當(dāng)作數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的終極目標(biāo)的做法，其實(shí)折射出人們對(duì)教育功利的渴望與躁動(dòng).這種以追求效率為目的的課堂教學(xué)模式，忽視對(duì)數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的關(guān)注，單就一節(jié)課而言，學(xué)生掌握具體知識(shí)的容量與速度是高效的，但可能會(huì)造成學(xué)生掌握了具體知識(shí)，卻不知道知識(shí)形成的來(lái)龍去脈；獲得了知識(shí)，卻缺乏探索知識(shí)的豐富體驗(yàn)；掌握了解題方法，卻不能理解背后的原因和道理，不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，應(yīng)努力促使學(xué)生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情景所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過(guò)程”. 我們主張用“漸進(jìn)式”“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)方式放慢課堂節(jié)奏，拉長(zhǎng)思維過(guò)程，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展的思維歷程，在過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

“漸進(jìn)式”教學(xué)方式的教學(xué)設(shè)計(jì)，是從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)計(jì)由淺入深一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，提出一串步步逼近知識(shí)本原的問(wèn)題，促使學(xué)生自發(fā)思考、主動(dòng)探究，重現(xiàn)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì).所謂數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，是指通過(guò)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生模擬或仿照數(shù)學(xué)家的思考方式，主動(dòng)地、自發(fā)地探究出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理等，數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”可以基于數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程、數(shù)學(xué)原理的揭示過(guò)程、數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索過(guò)程、小結(jié)反思的拓展延伸過(guò)程等.更一般地，探索與發(fā)現(xiàn)應(yīng)伴隨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程.

教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”板塊的核心知識(shí)，一次函數(shù)作為最簡(jiǎn)單的函數(shù)，對(duì)八年級(jí)學(xué)生而言還是有一定的難度，特別是從數(shù)形結(jié)合的視角來(lái)研究函數(shù)，更是一大難點(diǎn).數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問(wèn)題中有較集中的體現(xiàn)，然而實(shí)際教學(xué)中往往存有“教師講完一個(gè)問(wèn)題后告訴學(xué)生這是數(shù)形結(jié)合”的窘境.因此在教學(xué)過(guò)程中教師務(wù)必要讓學(xué)生感受到：當(dāng)函數(shù)圖象沒(méi)有數(shù)值支撐，只能進(jìn)行定性分析時(shí)，難以進(jìn)行定量探索；當(dāng)只有幾對(duì)數(shù)值而缺少圖象時(shí)，則難以直觀感受變化趨勢(shì).教學(xué)中，我們主張鼓勵(lì)學(xué)生自主提問(wèn)，通過(guò)循序漸進(jìn)式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，在過(guò)程中內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，自然感悟數(shù)形結(jié)合的重要性，從而體會(huì)函數(shù)問(wèn)題的一般研究觀念.

本文的作者之一在參加本區(qū)域?qū)W科骨干教師評(píng)選過(guò)程中作了一節(jié)一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課教學(xué)展示，課堂取得了較好的效果并得到評(píng)委的廣泛好評(píng).其具體教學(xué)思路及教學(xué)流程如圖1．

教學(xué)片段呈現(xiàn)

1. 以形悟數(shù)

問(wèn)題1 從圖2你可以得到直線l1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)有哪些特征？

問(wèn)題2 平面直角坐標(biāo)系中的所有直線都是一次函數(shù)的圖象嗎？

問(wèn)題3 如果直線l1的解析式為y1=k1x+b1， 你還能得到它的哪些性質(zhì)？

問(wèn)題4 你能確定直線l1的解析式嗎？為什么？

評(píng)析 上述通過(guò)漸進(jìn)的問(wèn)題串復(fù)習(xí)一次函數(shù)的相關(guān)概念、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).問(wèn)題4的設(shè)置讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到僅有函數(shù)大致圖象只能定性研究，難以開(kāi)展定量研究，能潛移默化地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“形”的局限性：只借助函數(shù)圖象不能得到函數(shù)表達(dá)式，只依靠圖象難以展開(kāi)函數(shù)問(wèn)題的進(jìn)一步研究，還需借助代數(shù)計(jì)算. 此環(huán)節(jié)能讓學(xué)生初步感悟“形少數(shù)時(shí)難入微”，實(shí)現(xiàn)一次函數(shù)微觀性質(zhì)探求的第一輪 “再發(fā)現(xiàn)”.

2. 以數(shù)輔形

問(wèn)題5 如圖3，當(dāng)直線l1 與x軸交于點(diǎn)A （-1，0），與y 軸交于點(diǎn)B （0，4） 時(shí)，直線l1的函數(shù)表達(dá)式可以確定嗎？

追問(wèn)：為什么知道兩點(diǎn)坐標(biāo)就可以確定直線解析式呢？

問(wèn)題6 根據(jù)函數(shù)的圖象與解析式，你還可以提出哪些問(wèn)題？

生成1：當(dāng)x=1時(shí)，求y的值.

生成2：當(dāng)y=1時(shí)，求x的值.

生成3：求S的值.

生成4： 求不等式k1x+b1>0 的解集.

生成5：當(dāng)k1x+b1>2時(shí)，求x 的取值范圍.

生成6：當(dāng)-1

生成7：當(dāng)-1

生成8：將直線AB 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后的直線解析式.

……

評(píng)析 在圖2 基礎(chǔ)上已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以進(jìn)行定量研究，充分體現(xiàn)“形少數(shù)時(shí)難入微”.通過(guò)函數(shù)表達(dá)式讓學(xué)生提問(wèn)可以讓他們直觀感受到?jīng)]有圖象很難看出函數(shù)的性質(zhì)，研究一次函數(shù)必須要借助圖象.借此能讓學(xué)生從形到數(shù)，再由數(shù)到形兩個(gè)方面逐漸產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合觀念.同時(shí)讓學(xué)生自己設(shè)問(wèn)，互相回答，能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且整合所學(xué)到的知識(shí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到研究一次函數(shù)應(yīng)該從數(shù)和形兩個(gè)角度來(lái)研究.在這個(gè)環(huán)節(jié)生成的問(wèn)題，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生自行解決，個(gè)別問(wèn)題甚至可以留在課下解決.開(kāi)放的課堂是生成的前提，適當(dāng)?shù)牧舭淄瑯右彩且环N課堂美的體現(xiàn).

3. 數(shù)形結(jié)合

問(wèn)題7 如圖4，如果我們?cè)偌由弦粭l直線l：y=k+b，大家還能提出什么問(wèn)題？老師先來(lái)拋磚引玉：m 的值是多少？

生：m=8.

生成9：當(dāng)4x+4>k2x+b2，求x 的取值范圍.

生成10： 若直線l2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），求l2的函數(shù)表達(dá)式.

生成11：若直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D （3，0），求S的值.

……

評(píng)析 由單個(gè)函數(shù)的圖象到兩個(gè)函數(shù)的圖象，能讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與不等式的關(guān)系，函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，做到漸進(jìn)式整合數(shù)學(xué)知識(shí).自己設(shè)問(wèn)，互相回答的方式，能讓學(xué)生慢慢將函數(shù)知識(shí)系統(tǒng)化，并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，體會(huì)到函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)形結(jié)合能幫助自己發(fā)現(xiàn)函數(shù)更多的性質(zhì).這里教師將課堂還給學(xué)生，課堂生成有諸多驚喜.

4. 回歸生活

問(wèn)題8 大家知道我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，下面我們來(lái)看一下函數(shù)可以幫助我們解決怎樣的問(wèn)題：小明和小紅分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，設(shè)小明從甲地出發(fā)所用的時(shí)間為t （單位：h），小明和小紅到乙地的距離S （單位：km） 和S （單位：km） 與t （單位：h） 之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖5 所示（EF∥x軸），則小明的速度是多少？

生：小明的速度是2 km/h.

問(wèn)題9 除了這個(gè)問(wèn)題大家還

可以提出哪些問(wèn)題？

生成12：求直線S2的函數(shù)表達(dá)式.

生成13：小紅的速度是多少？

生成14：說(shuō)說(shuō)點(diǎn)A，B，C，D的具體含義.

生成15：經(jīng)過(guò)2 h，求小明、小紅所在的位置.

生成16：經(jīng)過(guò)幾小時(shí)，小紅和小明相差2 km？

……

評(píng)析 數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，不僅來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部，更來(lái)自外部的生活實(shí)際.學(xué)生只有將函數(shù)與生活問(wèn)題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，才能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.復(fù)習(xí)不能僅是知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)，還應(yīng)該將知識(shí)進(jìn)行深化.讓學(xué)生將圖象中的各個(gè)量的實(shí)際意義表述出來(lái)，能讓學(xué)生進(jìn)一步提升“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示現(xiàn)實(shí)世界”的能力.

教學(xué)價(jià)值闡釋

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)以漸進(jìn)序列化的形式呈現(xiàn)

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，是數(shù)學(xué)課堂的主體. 如何引導(dǎo)學(xué)生以積極的態(tài)度、全身心地投入復(fù)習(xí)課堂，是教師的課堂價(jià)值所在. 復(fù)習(xí)課的目的主要是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性再現(xiàn)，讓學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行更高層次的總結(jié)、概括和歸納. 沒(méi)有理念引領(lǐng)的復(fù)習(xí)課很容易上成習(xí)題課. 將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等內(nèi)容附著于數(shù)學(xué)活動(dòng)中，無(wú)疑是復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)原則. 鑒于此，將知識(shí)問(wèn)題化、問(wèn)題活動(dòng)化、活動(dòng)序列化是激發(fā)學(xué)生思維、促使他們數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的有效之舉. 適切的問(wèn)題、適切的活動(dòng)不僅有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究熱情，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也具有“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的作用.本節(jié)課有許多超出執(zhí)教者預(yù)料的自然生成，便有力地說(shuō)明了這一點(diǎn).

2 ．“再發(fā)現(xiàn)”應(yīng)突出教師的主導(dǎo)作用

通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，需要教師有較強(qiáng)的課堂駕馭能力.首先，教師應(yīng)基于“理解數(shù)學(xué)”，選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材；其次，教師應(yīng)基于“理解教學(xué)”，善于設(shè)計(jì)問(wèn)題和活動(dòng)；最后，教師應(yīng)具有相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)智慧，善于捕捉課堂中轉(zhuǎn)瞬即逝的多種生成［1］，因勢(shì)利導(dǎo)，將學(xué)生的思維引向深入.當(dāng)然，作為教者，更應(yīng)該站在系統(tǒng)的高度，及時(shí)地進(jìn)行歸納、概括與整合，還應(yīng)善于“撥亂反正”，使學(xué)生的思維沿著預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)健康前行.

3. 適時(shí)留白給學(xué)生自悟的機(jī)會(huì)

“學(xué)之道在于悟，教之道在于度.”數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)上不是教師講明白的，而是學(xué)生自己悟明白的.我們對(duì)“漸進(jìn)式”“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)實(shí)踐與探索歸根結(jié)底是為學(xué)生提供了一個(gè)“悟”的契機(jī)和平臺(tái)——在學(xué)生“似懂非懂”之時(shí)適當(dāng)引導(dǎo)點(diǎn)撥，為他們指明正確的方向，此時(shí)讓他們“跳一跳，夠得著”就顯得尤為關(guān)鍵了.事無(wú)巨細(xì)地講解與示范不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，容易造成“聽(tīng)得懂講解卻不會(huì)做題”的尷尬.本節(jié)課教師在多處刻意留白就存在這樣的考慮.當(dāng)然這里需要指出，對(duì)于個(gè)別有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，向?qū)W生全面展示研究問(wèn)題的完整過(guò)程也是有必要的.

4．合理利用幾何直觀，感悟函數(shù)問(wèn)題研究的一般觀念

數(shù)形結(jié)合是對(duì)問(wèn)題既進(jìn)行幾何直觀的呈現(xiàn)，又進(jìn)行代數(shù)抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡(jiǎn)單地代數(shù)問(wèn)題用幾何方法，或幾何問(wèn)題用代數(shù)方法.這兩方面不能只是單流向的信息溝通，唯雙流向的信息溝通才是完整的數(shù)形結(jié)合［2］ .而函數(shù)問(wèn)題正是滲透數(shù)形結(jié)合思想的理想途徑，且在初中階段學(xué)習(xí)正確的數(shù)形結(jié)合思想，有助于高中解析幾何的學(xué)習(xí)，能為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).