一類具有時滯的 Schnakenberg 模型的Hopf分支及穩(wěn)定性

摘要：研究了一類在齊次Neumann邊界條件下具有時滯的Schnakenberg模型，首先，以時滯為分支參數(shù)，分析了時滯對該系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性的影響，并給出了Hopf分支的存在條件.其次，運用中心流形定理和規(guī)范型理論，得到Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性.最后，利用Matlab軟件進行數(shù)值模擬，驗證結(jié)論的正確性，得出時滯會使穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，并產(chǎn)生Hopf分支.

關(guān)鍵詞：擴散；時滯；穩(wěn)定性；Hopf分支；Schnakenberg模型

中圖分類號：0175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Existence and Stability Analysis of Hopf Bifurcation on Schnakenberg Models with Time-delay

WANG Jia-yue1， YUAN Hai-long1.2

（1. School of Mathematics and Data Science，

Shaanxi University of Science and Technology， Xi'an 710021， China;

2. School of Mathematics and Statistics， Xi'an Jiaotong University， Xi'an 710049， China）

Abstract：In this paper， we study a class of Schnakenberg model with time-delay under the homogeneous Neumann boundary conditions. Firstly， the stability of the positive equilibrium point is analyzed with time delay as the parameter， and the existence condition of Hopf bifurcation is given. Secondly， the bifurcation direction and the stability of periodic solution are given by using the theory of normal form and center manifold. Finally， Matlab was used for the numerical simulation to verify the correctness of the conclusion， and it is concluded that the time delay will make the stable system become unstable and generate Hopf bifurcation.

Key words：diffusion; time-delay; stability; Hopf bifurcation; Schnakenberg model

0 引言

Schnackenberg[1]于1979年提出的三分子自 催化反應(yīng)模型是著名的生化反應(yīng)模型之一，因其 反應(yīng)產(chǎn)物對反應(yīng)速率有加快作用的特點而被廣泛 研究[2-3]，它多被用于描述形態(tài)發(fā)生素的空間分布，以及了解各種形態(tài)發(fā)生素與細(xì)胞之間的作用 機制，即從部分胚胎發(fā)射出的信號可以決定周圍 許多細(xì)胞的位置與分化，這對生化反應(yīng)的研究 具有重要意義[5-8].近年來，許多學(xué)者通過對 Schnakenberg反應(yīng)擴散模型的分析，得到了豐富

的研究成果.項楠等9給出了反應(yīng)擴散Schnaken-berg模型的Hopf分支周期解的存在性、穩(wěn)定性以及圖靈不穩(wěn)定性.Khudhair等[10]研究發(fā)現(xiàn)擴 散系數(shù)比值與分?jǐn)?shù)階擴散功率對模式穩(wěn)定性及形 態(tài)具有關(guān)鍵作用，并揭示了正常與異常擴散在模 式形成上的顯著差異.Yang11]通過對Schnaken- berg模型引入交叉擴散改變了圖靈不穩(wěn)定性條 件，并利用多尺度法發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可能會呈現(xiàn)多種模式.

4結(jié)語

本文研究了時滯在偏微分系統(tǒng)中對正平衡點 產(chǎn)生的影響，分析了該平衡點的穩(wěn)定性以及Hopf 分支的存在性，給出了判斷分支方向和分支周期 解穩(wěn)定性的表達(dá)式.從分析中得出，當(dāng)時滯參數(shù)小 于某一臨界值時，正平衡點的穩(wěn)定性不發(fā)生改變. 當(dāng)時滯參數(shù)大于某一臨界值時，會改變正平衡點 的穩(wěn)定性，系統(tǒng)在其附近產(chǎn)生振蕩并產(chǎn)生Hopf 分支.

參考文獻(xiàn)：

[1] SCHNAKENBERG J. Simple chemical reaction systems with limit cycle behaviour[J]. Journal of Theoretical Biology，1979，81（3）：389-400.

[2] JIA Y F，LI Y，WU J H. Qualitative analysis on positive steady-states for an autocatalytic reaction model in thermodynamics[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems，2017，37（9）：4785-4813.

[3] ZHAO J T，JIA Y F. Stability analysis on steady-state bifurcation for arbitrary order autocatalytic reaction model[J]. Applied Mathematics Letters，2019，95： 98-103

[4] GURDON J B，BOURILLOT P Y. Morphogen gradient interpretation[J]. Nature， 2001， 413 （6858）： 797-803.

[5] LIU P，SHI J P，WANG Y W，et al. Bifurcation analysis of reaction-diffusion Schnakenberg model [J].Journal of Mathematical Chemistry， 2013， 51 （8）：2001-2019.

[6] XU C， WEI J. Hopf bifurcation analysis in a one-dimensional Schnakenberg reaction-diffusion model[J].Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2012，13（4）：1961-1977.

[7] JIANG W H，WANG H B，CAO X.Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay [J].Journal of Dynamics and Differential Equations，2018，31（4）：2223-2247.

[8] MAY A，F(xiàn)IRBY P A，BASSOM A P.Diffusion driven instability in an inhomogeneous circular domain[J].Mathematical and Computer Modelling，1999，29（4）：53-66.

[9]項楠，林洪燕，萬阿英.反應(yīng)擴散Schnakenberg系統(tǒng)周期解的圖靈不穩(wěn)定性[J].吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2023，61（2）：259-264.[10] KHUDHAIR H K，ZHANG Y，F(xiàn)UKAWA N.Pat-

tern selection in the Schnakenberg equations： From normal to anomalous diffusion[J]. Numerical Methods for Partial Differential Equations，2021，38：1843-1860.

[11] YANG R. Cross-diffusion induced spatiotemporal patterns in Schnakenberg reaction – diffusion model [J]. Nonlinear Dynamics，2022，110（2） ：1753-1766.

[12] GIIERER A，MEINHARDT H. A theory of biological pattern formation [J]. Biological Cybernetics，1972，12（1）：30-39.

[13] MEINHARDT H. Models of biological pattern for-mation：form elementary steps to the organization of embryonic axes[J]. Current Topics in Developmental Biology，2008，81：1-63.

[14]葉其孝，李正元.反應(yīng)擴散方程引論[M].北京：科學(xué) 出版社，1990.

[15] ZHANG C H，HE Y.Multiple stability switches and Hopf bifurcations induced by the delay in a lengyelepstein chemical reaction system[J]. Applied Mathematics and Computation，2020，378：125201.

[16]王苗，張國洪.考慮化療、免疫治療及分布時滯的腫 瘤動力學(xué)模型[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué) 版），2021，46（1）：153-159.

[17]馬亞妮，袁海龍，王雅迪.一類具有時滯的Sel'kov模型的Hopf分歧分析[J].西安工程大學(xué)學(xué)報，2023，37（3）：115-123.

[18]陳清婉，柳文清.具有時滯和一般接觸率的擴散病毒 模型的穩(wěn)定性[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué) 版），2023，37（3）：8-13.

[19] CHEN S S，SHI J P，WEI J J. The effect of delay on a diffusive predator-prey system with Holling type-ll predator functional response[J]. Communications on Pure and Applied Analysis，2013，12（1）：481-501.

[20] WU J H.Theory and applications of partial functional differential equation [M]. New York： Springer，1996.

[21] LIN X D，SO W H，WU J H. Centre manifolds for partial differential equations with delays [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh：Section A Mathematics，1992，122（3-4）：237-254.