基于Maxwell的機器人關(guān)節(jié)電機優(yōu)化設(shè)計

收稿日期：2023-08-16

基金項目：南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院2022年自然科學(xué)研究類項目（njpj2022-1-20）

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.05.039

摘" 要：Halbach永磁同步電機吸納永磁電機和Halbach永磁陣列的優(yōu)點，被廣泛地應(yīng)用于機器人、新能源汽車、航空航天等領(lǐng)域。為了減小180W機器人關(guān)節(jié)電機的氣隙磁通密度波形畸變率，提高輸出轉(zhuǎn)矩和效率，提出一種改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化方法。將響應(yīng)曲面法和布谷鳥算法相結(jié)合，對電機的永磁體厚度、轉(zhuǎn)子厚度關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，建立Maxwell有限元模型進(jìn)行對比分析。研究結(jié)果表明，此優(yōu)化方法能夠有效改善電機的氣隙磁密畸變率和轉(zhuǎn)矩，提高優(yōu)化效率。

關(guān)鍵詞：Halbach永磁陣列；布谷鳥算法；有限元分析；多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號：TP242.3" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" 文章編號：2096-4706（2024）05-0179-05

Optimization Design of Robot Joint Motor Based on Maxwell

ZHANG Shuangshuang1， GE Xingmei1， LU Xinyun2， REN Siyu1

（1.Nanjing Tech University Pujiang Institute， Nanjing" 211200， China; 2.Nanjing Institute of Technology， Nanjing" 211167， China）

Abstract： The Halbach permanent magnet synchronous motor incorporates the advantages of permanent magnet motors and Halbach permanent magnet arrays， and is widely used in fields such as robot， new energy vehicles， and aerospace. In order to reduce the distortion rate of the air gap magnetic flux density waveform of the 180W robot joint motor， improve the output torque and efficiency， an improved multi-objective optimization method is proposed. By combining the response surface method and the Cuckoo Search Algorithm， the key structural parameters such as the permanent magnet thickness and rotor thickness of the motor are optimized， and a Maxwell finite element model is established for comparative analysis. The research results indicate that this optimization method can effectively improve the air gap flux density distortion rate and torque of the motor， and improve optimization efficiency.

Keywords： Halbach permanent magnet array; Cuckoo Search Algorithm; finite element analysis; multi-objective optimization

0" 引" 言

由于機器人具有可靠穩(wěn)定、工作效率高、能在高危環(huán)境下代替人工進(jìn)行操作[1]等優(yōu)點，在工業(yè)、軍事、醫(yī)療等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。其中電機單元作為機器人最重要的零部件之一，對機器人是否能夠平穩(wěn)、精準(zhǔn)、可靠運行至關(guān)重要。目前，為了達(dá)到關(guān)節(jié)電機高效、大轉(zhuǎn)矩和低轉(zhuǎn)矩脈動的設(shè)計要求，國內(nèi)外機器人主要采用的驅(qū)動電機包括直流電機、永磁電機、步進(jìn)電機等。其中，步進(jìn)電動機存在質(zhì)量較重且價格高昂的問題[2]；而方波驅(qū)動的無刷直流電動機轉(zhuǎn)矩脈動較大[3]，不利于機械臂穩(wěn)定運行；體積小、出力大并能夠高效運作[4]的永磁同步電機憑借其優(yōu)勢，成為機器人市場的主要驅(qū)動電機。同時，具有極高氣隙磁密正弦性和強大磁屏蔽效應(yīng)特點的Halbach永磁體陣列[5]被應(yīng)用于永磁同步電機，Halbach永磁同步電機應(yīng)運而生，可以顯著提高普通永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩特性。因此，Halbach永磁同步電機在機器人的發(fā)展中具有良好的應(yīng)用前景。

在設(shè)計電機過程中，由于有限元計算需要大量的時間和資源，需要加入優(yōu)化算法來縮減設(shè)計時長，因此在研究電機的歷史長河中，對于優(yōu)化算法的探索生生不息。目前，國內(nèi)外研究者根據(jù)不同類型的電機、不同的優(yōu)化目標(biāo)，引入各式各樣的優(yōu)化算法來設(shè)計和優(yōu)化電機，可將其主要分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化兩種。單目標(biāo)優(yōu)化有利用支持向量機回歸的方法、利用模擬退火的方法、采用試驗設(shè)計的方法等。但是對于電機的優(yōu)化設(shè)計而言，僅僅是針對單一目標(biāo)的優(yōu)化，只是局部優(yōu)化，無法到達(dá)全局優(yōu)化。對于多目標(biāo)優(yōu)化，文獻(xiàn)[6]中一種改進(jìn)的基于模糊田口的方法被用于直接驅(qū)動永磁同步電機的多目標(biāo)優(yōu)化，但是具有計算量大的問題；文獻(xiàn)[7]中混合多目標(biāo)快速收斂優(yōu)化算法被用于實現(xiàn)永磁牽引電機的設(shè)計；文獻(xiàn)[8]利用遺傳-模擬退火混合算法對PMSM的效率、功率因數(shù)進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[9]通過使用共形映射方法研究了一種典型永磁電機性能。以上方法雖然都可以實現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化，但是存在全局搜索能力較差、計算量大大增加、運行效率低等缺點。

本文將響應(yīng)曲面法和布谷鳥搜索算法相結(jié)合，以達(dá)到較快實現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的效果。響應(yīng)曲面法是應(yīng)用于工程和化工領(lǐng)域的一種常見算法，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的自變量較少時，利用這種方法可以較快地尋求出最優(yōu)解。布谷鳥算法是以布谷鳥尋優(yōu)產(chǎn)卵過程為基礎(chǔ)的一種新型工程優(yōu)化算法，具有很好的通用性和魯棒性，并且可以和其他智能優(yōu)化算法融合。因此本文結(jié)合兩種方法優(yōu)點，對機器人用Halbach永磁同步電機進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。首先，闡述了180W的Halbach永磁同步電機的系統(tǒng)方案設(shè)計和技術(shù)指標(biāo)。然后，對電機進(jìn)行初始參數(shù)設(shè)計。再基于響應(yīng)曲面法和布谷鳥算法，對Maxwell中建立的系統(tǒng)模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。最后，將優(yōu)化前后的結(jié)果進(jìn)行對比分析，給出結(jié)論，證明優(yōu)化方法的可行性。

1" 系統(tǒng)方案設(shè)計

1.1" 主要技術(shù)要求

電機設(shè)計前，必須明確電機的性能指標(biāo)、主要的技術(shù)要求，用于進(jìn)行仿真實驗和優(yōu)化的參數(shù)來源。本文將根據(jù)主要技術(shù)要求，包括180 W額定功率PN，48 V額定電壓UN，5 A額定電流IN，3 500 r/min額定轉(zhuǎn)速nN來確定電機的主要結(jié)構(gòu)。

1.2" 系統(tǒng)設(shè)計方案

根據(jù)上述電機的主要技術(shù)要求來確定Halbach永磁同步電機的主要結(jié)構(gòu)，綜合權(quán)衡電磁性能指標(biāo)、經(jīng)濟性、材料性能等要求，以選擇合適的結(jié)構(gòu)材料。主要的設(shè)計流程如圖1所示，推導(dǎo)電機的功率方程和尺寸公式，進(jìn)而得到電機的初試尺寸參數(shù)；再通過有限元Maxwell軟件進(jìn)行電磁計算，根據(jù)仿真結(jié)果判斷設(shè)計的能否達(dá)到表中要求；最后，利用優(yōu)化算法來對電機的尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而設(shè)計出符合要求的電機結(jié)構(gòu)。

圖1" 方案設(shè)計流程圖

2" 電機的初始設(shè)計

2.1" 電機的主要參數(shù)設(shè)計

首先要確定電機的主要尺寸，其中主要尺寸對電機的建模、運行特性分析及生產(chǎn)加工有著非常重要的作用。所以本文依據(jù)主要技術(shù)要求進(jìn)行參數(shù)設(shè)計。

當(dāng)電機穩(wěn)態(tài)運行時，其轉(zhuǎn)速n與定子旋轉(zhuǎn)磁場的轉(zhuǎn)速，都取決于電源頻率f和電機極對數(shù)p，即：

（1）

一般將電機的極弧系數(shù)Cs定義為每極永磁體弧長與一個定子極距的比值，也可定義為氣隙平均磁密和最大磁密的比值[10]。和普通的永磁電機不同的是，本文電機結(jié)構(gòu)為了滿足Halbach單側(cè)聚磁的要求，永磁陣列幾乎覆蓋了整個定子極距，所以依據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)來定義含有Halbach的電機極弧系數(shù)是沒有意義的。所以，本文將一極Halbach永磁體陣列在一個定子極距內(nèi)所占的范圍比例定義為該電機的極弧系數(shù)：

（2）

式中，bi為Halbach陣列永磁體所跨弧長，τ1為定子極距。

空載反電動勢Em為電機的關(guān)鍵參數(shù)之一，本文中是由電機中Halbach永磁陣列產(chǎn)生的空載氣隙基波磁通在電樞繞組中感應(yīng)產(chǎn)生，定子繞組每相空載感應(yīng)電勢幅值為：

（3）

式中，Nph為電機定子相繞組匝數(shù)；ωr為轉(zhuǎn)子角速度，單位為rad；Фm為永磁磁通的幅值。

根據(jù)上述步驟推導(dǎo)出電機的輸出方程，即可得到尺寸方程式（4）：

（4）

式中，P2為電機的輸出功率，q為定子槽數(shù)，kd為繞組磁密波形系數(shù)，kF為空載時氣隙磁場中基波幅值和磁密最大值的比值，kio為電機的裂比，Ac為電負(fù)荷。

2.2" Halbach永磁體參數(shù)設(shè)計

Halbach永磁陣列能使得氣隙磁密的幅值大幅提升并有效提高磁密正弦性，故本文的永磁體選用Halbach永磁陣列結(jié)構(gòu)。在常見的分段式Halbach永磁陣列中，根據(jù)功能可將其分為主、輔兩類。其中，將用于建立氣隙磁場的陣列塊定義為主極，并且對其進(jìn)行徑向充磁；而用于改善波形正弦度的定義為輔極Halbach永磁陣列塊[11]。另外，由于Halbach永磁同步電機的應(yīng)用大多數(shù)是該電機的氣隙磁密有所要求，需要具備高可靠性和大的功率密度，因此所選永磁材料要有較大的矯頑力Hc和磁能積（BH）max。綜合分析上述各方面因素后，本文設(shè)計的電機選用剩磁密度Br和矯頑力Hc數(shù)值較高的釹鐵硼永磁材料。

本設(shè)計中1極永磁體，由5塊Halbach陣列組成，分別記為A、B1、B2、C1和C2。如圖2所示，永磁體塊A～C2的充磁角度分別記為α、β1、β2、γ1和γ2，其中p為電機的極對數(shù)。

圖2" 電機三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

圖2顯示了三相Halbach永磁同步電機的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，該拓?fù)溆啥ㄗ予F芯1和轉(zhuǎn)子鐵芯3，電樞繞組2和20組Halbach陣列4組成。定子和轉(zhuǎn)子鐵芯的材料是硅鋼片，電樞繞組由銅線圈組成。

2.3" 電機主要尺寸參數(shù)

根據(jù)以上的公式推導(dǎo)和設(shè)計分析，可得到Halbach永磁同步電機的主要尺寸如表1所示。

表1" 電機主要尺寸參數(shù)

參數(shù)名稱 參數(shù)符號 數(shù)值/mm 參數(shù)名稱 參數(shù)符號 數(shù)值

定子外徑 Dso 50.0 A充磁角 α 90°

轉(zhuǎn)子內(nèi)徑 Dri 30.0 B1充磁角 β1 30°

轉(zhuǎn)子高度 L 4.5 B2充磁角 β2 150°

永磁體厚度 D 1.4 C1充磁角 γ1 45°

氣隙長度 Lair 0.2 C2充磁角 γ2 135°

軸向長度 Laxi 16.1 極對數(shù) p 10對

3" 電機的優(yōu)化設(shè)計

3.1" 優(yōu)化目標(biāo)及優(yōu)化變量

關(guān)節(jié)機器人是否能夠平穩(wěn)運行關(guān)鍵在于電機的輸出轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動，而氣隙磁密諧波和幅值對輸出轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動有著極大的影響，所以本文為了將氣隙磁通密度的總諧波畸變（THDBr）和輸出轉(zhuǎn)矩（T）選為電機的優(yōu)化目標(biāo)，THDBr的表達(dá)如式（5）：

（5）

式中，Bri為氣隙通量密度的第i次諧波幅度，Br為氣隙通量密度的基波幅值。

電機的勵磁源主要定子繞組和永磁體，本文在保持樣機的外尺寸不變的條件下，根據(jù)實際制造條件的限制，將永磁體厚度、轉(zhuǎn)子厚度這兩個參數(shù)作為優(yōu)化變量，進(jìn)行電機的氣隙磁密諧波畸變率、輸出轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化。

3.2" 響應(yīng)曲面模型的求取

基于響應(yīng)曲面理論，建立自變量與輸出量的響應(yīng)曲面模型。本文選用D、L為自變量，T、THDBr為響應(yīng)值。通過改變自變量，來尋求最佳響應(yīng)曲面，可表示為：

（6）

式中，y為響應(yīng)值，x為自變量，k為自變量的個數(shù)。

利用最小二乘法，擬合近似函數(shù)，得到精確的響應(yīng)曲面模型來代替自變量與響應(yīng)值之間的真實函數(shù)關(guān)系。另外，采用響應(yīng)曲面中心復(fù)合設(shè)計central composite design（CCD）的方法，選取合適的自變量范圍。利用有限元軟件Maxwell建立樣本點的二維模型，計算每個實驗點的輸出轉(zhuǎn)矩T，通過對氣隙磁通密度波形圖的傅里葉分解，獲得氣隙磁密的基波幅值、各次諧波幅值以及THDBr。

對求得的模型進(jìn)行分析，其中擬合數(shù)據(jù)R2表示響應(yīng)曲面與實際值之間的差異程度，兩模型R2分別為0.929和0.920，均大于0.9，說明擬合度較好。Adjusted-R2反映添加的變量是否具備統(tǒng)計學(xué)意義，該值越大，表明模型擬合的精確度越高。表中兩模型的該值分別為0.869和0.852，均大于0.8，說明響應(yīng)值和自變量之間線性關(guān)系顯著，模型能夠較好地反應(yīng)數(shù)據(jù)規(guī)律。對模型進(jìn)行方差分析時，P值為擬合出的模型在進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測的準(zhǔn)確程度，兩模型P值均小于0.002，實驗誤差較小。綜合分析，整體模型有效。

3.3" 布谷鳥算法尋優(yōu)

劍橋大學(xué)的楊教授在十多年前提出了一種仿生類算法，即布谷鳥搜索算法，該算法來源于布谷鳥獨特的巢寄生行為以及大多鳥類存在的一種飛行軌跡[12]。為了更好地描述，故建立以下規(guī)則：

1）布谷鳥每次產(chǎn)且僅產(chǎn)出一個蛋，將其隨機的選擇一個鳥巢放置。

2）僅保留孵化出最優(yōu)布谷鳥蛋的鳥巢到下一代。

3）宿主的數(shù)量是固定的，被宿主發(fā)現(xiàn)的概率假設(shè)為P，如果被宿主發(fā)現(xiàn)，則視為該鳥巢寄生失敗。

本文利用JMP軟件中的曲面響應(yīng)法擬合尺寸變量和優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系，采用CS算法對該擬合的模型進(jìn)行尋優(yōu)，流程如圖3所示。布谷鳥算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置，由于輸出轉(zhuǎn)矩T和氣隙磁密總諧波畸變THDBr對Halbach永磁同步電機的性能影響同等重要，故在Pareto解集中選擇最佳解決方案時，賦予二者的權(quán)重各為1/2，優(yōu)化后的結(jié)果如表2所示。

圖3" CS尋優(yōu)流程圖

表2" 優(yōu)化前后參數(shù)對比

參數(shù)符號/單位 優(yōu)化前數(shù)值 優(yōu)化后數(shù)值

L / mm 4.5 3.0

D / mm 1.4 3.0

T /（N·m） 1.0 1.4

THDBr / % 20.5 15.1

4" 優(yōu)化前后對比分析

4.1" 氣隙磁場

圖4和圖5分別是優(yōu)化前電機（HPMSM1）與優(yōu)化后電機（HPMSM2）的氣隙磁場磁通密度分布圖及其諧波分布圖。從圖中可以看出，氣隙磁通密度基波幅值增大，諧波畸變率減小了5.4%，有利于減小轉(zhuǎn)矩脈動和損耗，提高電機性能。

圖4" 氣隙磁場磁通密度分布圖

圖5" 氣隙磁場磁密諧波分布圖

4.2" 空載反電動勢

圖6是優(yōu)化前后電機的空載反電動勢對比圖，二者畸變率均低于5%。在圖中，優(yōu)化前的反電動勢有效值14 V，優(yōu)化后電機的反電動勢有效值為16.5 V，比之前增大了17.9%。優(yōu)化后的反電動勢幅值變大，正弦度較好，從而提高電機的轉(zhuǎn)矩性能。

圖6" 空載反電動勢對比圖

4.3" 轉(zhuǎn)矩特性

由圖7可見，優(yōu)化后電機輸出轉(zhuǎn)矩為1.4 N·m，比優(yōu)化前提高了40%。并且優(yōu)化后的轉(zhuǎn)矩脈動明顯比優(yōu)化前小。可以說明優(yōu)化后的電機轉(zhuǎn)矩特性得到了明顯的提高。

圖7" 轉(zhuǎn)矩對比圖

5" 結(jié)" 論

本文將響應(yīng)曲面法與布谷鳥算法相結(jié)合，優(yōu)化了機器人用Halbach永磁同步電機轉(zhuǎn)子和永磁體的厚度，以增加轉(zhuǎn)矩，降低氣隙磁通密度的THD。通過有限元方法驗證了多目標(biāo)優(yōu)化的方法。該方法不僅僅彌補了響應(yīng)曲面法的不足，還降低了計算量，減少了優(yōu)化時間。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后電機的氣隙磁場磁通密度波形更趨于正弦波，轉(zhuǎn)矩提高并且脈動得到了改善。

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作者簡介：張雙雙（1995.10—），女，漢族，江蘇鹽城人，助教，碩士，研究方向：自動控制、電磁設(shè)計；葛星梅（1994.02—），女，漢族，江蘇泰州人，助教，碩士，研究方向：自動控制、無線通信；陸欣云（1981.08—），男，漢族，江蘇南京人，講師，碩士學(xué)歷，研究方向：計算機控制、網(wǎng)絡(luò)通信；任思宇（2002.02—），女，漢族，江蘇徐州人，講師，本科在讀，研究方向：自動控制。