GPR信號去噪的變分模態分解

劉財，商耀達，鹿琪，等. GPR信號去噪的變分模態分解. 吉林大學學報（地球科學版），2024，54（3）：10421053. doi：10.13278/j.cnki. jjuese.20230154.

Liu Cai， Shang Yaoda， Lu Qi， et al. Variational Mode Decomposition for GPR Signal Denoise. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2024， 54 （3）： 10421053. doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230154.

摘要：

為了進一步提高探地雷達（ground penetrating radar， GPR）數據的信噪比，壓制由隨機擾動引起的隨機繞射能量，將二維變分模態分解（two-dimensional variational mode decomposition， 2DVMD）引入二維GPR數據的噪聲壓制處理中。首先，對GPR數據進行2DVMD處理，并分析各階本征模態函數（intrinsic mode function， IMF）分量及其對應的頻率波數域譜來確定雷達剖面中的各回波類型。然后，計算IMF分量與原始數據的互相關系數來確定信號模態和噪聲模態，并對信號模態進行重構得到降噪后的數據。理論數據和實測數據測試表明，相比于傳統的1DVMD法，2DVMD濾波后的含噪正演記錄峰值信噪比由6.44 dB增加到7.72 dB；經2DVMD降噪處理后的雷達剖面在保留有效信號的基礎上，可以有效壓制隨機擾動帶來的噪聲，并且得到的雷達剖面同相軸連續性更好。

關鍵詞：

探地雷達；二維變分模態分解；頻率波數譜；互相關系數；去噪

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230154

中圖分類號：P631.4

文獻標志碼：A

收稿日期：20230626

作者簡介：劉財（1963-），男，教授，博士生導師，主要從事地震波場正反演理論、綜合地球物理等方面的研究，E-mail： liucai@jlu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金項目（41874125）；吉林省科技發展計劃項目（20200201045JC）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （41874125） and the Project" of Jilin Province Science and Technology Development Plan （20200201045JC）

Variational Mode Decomposition for GPR Signal Denoise

Liu Cai1，2，3， Shang Yaoda1， Lu Qi1，2，3， Xu Yangyang1

1. College of GeoExploration Science and Technology， Jilin University， Changchun 130026， China

2. Key Laboratory of Applied Geophysics， Ministry of Natural Resources， Changchun 130026， China

3. National Engineering Research Center of Offshore Oil and Gas Exploration，" Changchun 130026， China

Abstract：

In order to improve the signal-to-noise ratio （SNR） of ground penetrating radar （GPR） data and reduce the random diffraction energy caused by random perturbation， two-dimensional variational mode decomposition （2DVMD） is introduced into the noise reduction processing of 2D GPR data. First， the GPR data is processed by 2DVMD， and the intrinsic mode function （IMF） components and their corresponding frequency and wave number spectra are analyzed to determine the type of each echo showed in the radar profile. Then， the cross-correlation coefficients between the IMF components and the original data are calculated to determine the signal mode and noise mode， and the signal mode is reconstructed to obtain data after noise reduction. Synthetic and practical data tests demonstrate that compared with the traditional 1DVMD method， the peak SNR of the forward recording with noise after 2DVMD filtering increases from 6.44 dB to 7.72 dB. The newly developed method can get significantly improvement on the SNR of GPR data， and obtain radar profiles with better event continuity.

Key words：

ground penetrating radar （GPR）; two-dimensional variational modal decomposition （2DVMD）; frequency and wave number spectrum; cross-correlation coefficient; noise reduction

0" 引言

探地雷達（ground penetrating radar， GPR）是一種快速、高效、無損的地球物理探測技術，因其具有超淺層快速無損勘探的特點，在地表以及以下幾十米深度范圍可對地下結構進行高分辨率成像，已廣泛應用于國防，公安，鐵路、橋梁、隧道、機場建設、礦產勘查，地質、考古等方面［1］。實際探測過程中，因工作對象及環境的特殊性，GPR回波信號往往會受到強背景雜波及各種隨機噪聲的嚴重干擾，導致數據信噪比較低，嚴重影響了GPR的目標檢測能力。因此，有效壓制GPR回波信號中的噪聲，突出有效信號，具有十分重要的意義。

GPR回波信號中的噪聲信號具有隨機、非平穩的特點，常規的時域分析或頻域分析往往無法達到理想的去噪效果。因此，國內外學者提出多種去噪技術來提高GPR信號的信噪比［2］。小波因具有良好的時頻局部化特性，常用于GPR信號去噪處理。但該方法降噪效果往往受小波基函數選取的影響，缺乏自適應性；此外小波變換缺乏平移不變性，輸入信號微小的變化都會對不同尺度下小波系數的能量分布產生較大的影響［3］。針對這一問題，Huang等［4］于1999年提出一種適用于非線性非平穩信號的時頻分析新方法——希爾伯特黃變換（HHT），其核心技術為經驗模態分解（empirical mode decomposition， EMD），即基于信號自身時間尺度特點，將其按頻率分解為不同的本征模態函數（intrinsic mode function， IMF）分量，并通過去掉高IMF分量來壓制噪聲，該方法具有自適應時頻處理信號的優勢。楊建軍等［5］將EMD應用于GPR信號的降噪處理，并驗證了EMD方法的降噪效果優于小波閾值去噪。馮德山等［6］采用EMD實現了低信噪比GPR信號的降噪處理，有效突出了雷達剖面異常體的特征，提高了數據解釋精度。然而，EMD在進行信號分解時往往會出現模態混疊或端點效應等問題。為此，后人提出一系列類EMD方法對EMD存在的不足進行改進［711］。為了將EMD方法應用于二維信號的時頻分析中，Nunes等［1213］提出了二維經驗模態分解（bi-dimensional empirical mode decomposition， BEMD），并將該方法用于紋理分析和自然圖像處理。王紅振等［14］采用基于集合經驗模態分解（ensemble empirical mode decomposition， EEMD）的BEMD方法嘗試處理斷裂帶地震數據，獲得了較好的處理效果。任青青［15］針對3D路面裂縫的數據特點，提出了一種基于BEMD的三維路面裂縫檢測算法。但二維EMD與一維EMD類似，BEMD中也普遍存在模態混疊現象，并且基于EMD的模態分解方法均缺乏精確的數學模型［16］。

針對EMD方法的不足，Dragomiretskiy等［17］于2013年提出了變分模態分解（variational mode decomposition， VMD），將信號分量的獲取過程轉移到變分框架內，通過構造并求解約束變分問題實現對原始信號的分解；該方法具有堅實的數學理論支撐，并且能夠有效解決EMD方法中存在模態混疊、端點效應等問題。而后，Dragomiretskiy等［18］在一維VMD理論基礎上，設計并提出一種全新的完全非遞歸的二維變分模態分解（2Dvariational mode decomposition， 2DVMD），并將該分解方法應用于圖像的去噪處理中。VMD法在故障診斷、特征提取、地震信號和GPR數據處理中都取得了成功的應用［1922］。Xue等［23］將VMD方法應用于地震信號的降噪處理中，相較于EMD等方法，VMD具有更好的局部分解能力且對噪聲魯棒性更好。張杏莉等［24］將能量熵引入到VMD方法中，提出了一種自適應微震噪聲去除方法。Zhang等［25］將VMD方法應用于雷達數據噪聲壓制，通過模擬數據與實測數據驗證，經VMD去噪后的雷達剖面能夠更加清晰、準確識別地下異常體。許軍才等［26］將樣本熵引入到VMD法中，用于篩選分解后的IMF分量并進行數據重構，成功去除了GPR數據中的高斯白噪聲。塔拉［27］利用核密度估計來計算VMD各階IMF分量的概率密度函數，將所有模態分為有效信號模態和噪聲模態，并利用連續小波變換和Savitzky-Golay濾波等方法對高頻噪聲模態做進一步去噪處理，有效提高了2D地震數據的信噪比。戴前偉等［28］通過引入能量損失比來實現VMD最優模態數的自適應選擇，并結合奇異譜分析法對VMD的低頻模態進行二次濾波以解決中低頻模態的振蕩現象。2DVMD多應用于圖像處理、生物化學和納米科學領域［2930］。

GPR數據采集通常以單道或多道二維方式掃描，二維數據在包含信號時間維度信息的同時，也包含水平方向距離信息和相鄰道之間的共深度點信息。根據GPR數據采集特點，相鄰道之間共深度點的有效信號具有較強的相關性，而噪聲往往不具備相關性。以隨機噪聲和介質隨機性帶來的噪聲為例，噪聲往往同時存在于時間維度和空間維度上，特別是地下隨機介質帶來的隨機繞射波往往具有較強能量且在空間方向存在嚴重的拖尾現象，使得有效信號受到嚴重干擾，進而影響目標體的檢測判別。常規二維頻率波數域濾波方法對含噪數據直接進行二維傅里葉變換，并根據有效信號域噪聲在頻率波數域上的差異設計相應濾波器來壓制噪聲，但該方法本質上仍屬于信號的頻域分析方法。而基于EMD和VMD等時頻域去噪方法對GPR數據進行降噪處理時，前人的成果多從時間維度上考慮，僅針對一維時間信號進行噪聲壓制，忽略了存在于空間維度上的噪聲，往往難以獲得理想的噪聲壓制效果。

針對上述問題，本文將2DVMD引入二維GPR數據的噪聲壓制處理中。首先，對GPR數據直接進行2DVMD處理，得到二維GPR數據的IMF分量以及各分量對應的頻率波數譜。然后，對時間空間域的IMF分量及其頻率波數譜進行分析，確定其所對應的回波類型。最后，通過計算各階IMF分量與原始數據的互相系數來定量確定信號模態和噪聲模態，并對信號模態進行重構得到降噪后的數據。

1" 2DVMD基本原理

2DVMD為1DVMD的自然擴展，可將二維輸入信號自適應且完全非遞歸地分解為多個子模態。

1.1" 二維解析信號

定義頻率域的二維解析信號為

u^as，k（ω）=（1+sgn（〈ω，ωk〉））u^k（ω）=

2u^k（ω），〈（ω），ωk〉＞0;

u^k（ω），〈（ω），ωk〉=0;

0，""" 〈（ω），ωk〉＜0。

（1）

式中：k=1，2，…，K（K為分解模態數）；u^k（ω）為第k階IMF的頻率域表示；ωk為第k階IMF分量的中心角頻率；〈·〉表示對多維分量的平均，以提取特定的模態分量。為了獲得解析信號的單方向性，將頻率域中的一個半平面設置為0。u^as，k（ω）在時間空間域表示為

uas，k（x）=uk（x）δ（〈x，ωk〉）+jπ〈x，ωk〉δ（〈x，ωk，⊥〉）。（2）

式中：x=（x1，x2）表示二維信號；uk（x）為uas，k（x）的第k階IMF分量；δ（〈x，ωk〉）為狄拉克脈沖響應函數；ωk，⊥為與ωk正交的單位向量；uas，k（x）為由uk（x）與其希爾伯特變換構成的復解析信號；表示卷積。uas，k（x）沿著ωk的方向計算，且是線性獨立的。

1.2" 約束變分問題

建立2DVMD約束方程：

minuk，ωk∑Kk=1αkSymbolQC@［uas，k（x）e－j〈ωk，x〉］22s.t." x：∑Kk=1uk（x）=f（x）。（3）

式中：αk為Tikhonov正則化參數；f（x）為待分解的二維GPR數據。復解析信號通過與指數項相乘混合調制到估算的中心頻率上，并通過計算解調的L2范數平方來估計IMF分量的帶寬，使每個分量的估計帶寬之和最小。

引入二次懲罰項及算子求解約束變分問題，采用交替乘子法（alternating direction method of multipliers， ADMM）進行優化計算。

1.3" 2DVMD的ADMM優化

將約束變分問題轉化為非約束問題，其增廣Lagrange表達式為

L（{uk}，{ωk}，λ）=∑Kk=1αkSymbolQC@［uas，k（x）e－j〈ωk，x〉］22+

f（x）－∑Kk=1uk（x）22+〈λ（x），f（x）－∑Kk=1uk（x）〉。（4）

式中，λ為Lagrange算子。非約束問題求解變成

minuk，ωk" maxλ L（{uk}，{ωk}，λ）。（5）

將λ納入二次懲罰項中，得到

∑Kk=1αkSymbolQC@［uas，k（x）e－j〈ωk，x〉］22+

f（x）－∑Kk=1uk（x）

+λ（x）222-

λ（x）422

。（6）

采用ADMM對IMF分量進行優化計算，第k階IMF分量的第n+1次頻率域ADMM迭代格式為：

u^n+1k（ω）=f^（ω）－∑Ki=1，i≠ku^n+1i（ω）+λ^（ω）21+2αkω－ωk2，ω∈Ωk，Ωk=ω〈ω，ωk〉≥0；（7）

ωn+1k=∫Ωkωu^n+1k（ω）2dω∫Ωku^n+1k（ω）2dω。（8）

式中：u^n+1k（ω）、f^（ω）、λ^（ω）分別為un+1k（x）、 f（x）、λ（x）的二維傅里葉變換；f^（ω）－∑i≠ku^i（ω）+λ^（ω）2表示信號的第k個殘差。

2DVMD具體更新過程如下。

1）初始化{u^0k}、{ω^0k}、{λ^0k}。

2）在頻率域內交替更新u^n+1k、ω^n+1k。

3）更新λ：

λ^n+1（ω）=λ^n（ω）+τf^（ω）－∑Kk=1u^n+1k（ω）。（9）

式中，τ為噪聲容限參數。

4）設置收斂誤差ε，重復上述步驟，直至滿足以下迭代停止條件：

∑Kk=1u^n+1k－u^nk22u^nk22lt;ε。 （10）

2" GPR數據的2DVMD去噪

利用2DVMD可將二維GPR數據分解為K個IMF分量。不同于圖像的2DVMD處理，對二維GPR數據進行2DVMD處理之后，得到的IMF分量包含了從低頻低波數到高頻高波數的分量信息。因此，通過IMF分量及其頻率波數域譜，可定性分析IMF分量所對應的回波類型，并進一步計算各階IMF分量與原始數據的二維互相關系數確定噪聲模態，最后重構有效信號模態，完成降噪處理。

2.1" GPR數據的2DVMD分解

對二維GPR數據實施2DVMD，可將原始數據分解為若干個IMF和一個殘差：

f（t，x）=∑Kk=1fIMF，k（t，x）+r（t，x）。（11）

式中：f（t，x）為原始二維時間空間域GPR信號；fIMF，k（t，x）為f（t，x）分解后的第k個IMF分量；r（t，x）為殘差。

2.2" 分解模態數選取

對二維GPR數據進行2DVMD處理時，需要預設K，而K的選取對數據的自適應分解效果起決定性作用。K選取結果的好壞容易造成欠分解或過分解現象，直接影響后續的信號重構。常規1DVMD中，K的選取方法主要包括粒子群算法、中心頻率觀察法、樣本熵等。熵是隨機性的統計度量，可用來表征輸入信號（或圖像）的復雜性。本文對GPR數據進行2DVMD分解后，計算各階IMF分量的熵，將熵最小的IMF分量作為VMD的趨勢項。當取適當的K值時，趨勢項的熵變小。隨著K的增大，熵逐漸趨于穩定。將熵趨于穩定的轉折點所對應的K作為2DVMD的分解次數，以避免過度分解。

二維圖像熵的計算公式為

H=－∑iPilog2Pi。（12）

式中：H為二維圖像熵；Pi為i個直方圖的概率。

2.3" 信號重構

對經2DVMD分解后的IMF分量，計算其與原始信號的二維互相關系數，確定噪聲分量。皮爾遜相關系數R是衡量兩個變量之間線性相關程度的統計指標，其值的范圍為［－1，1］。當R接近0時，表示幾乎沒有線性相關。通過分析R值，可以對兩個變量如何相互關聯有一個直觀的理解。其計算公式為

R=∑x∑t（f－fmean）（f^－f^mean）∑x∑t（f－fmean）2∑x∑t（f^－f^mean）2。 （13）

式中：f為原始含噪數據；f^為噪聲壓制后的數據；f^mean為f^的均值。

3" 數值實驗

為了考察2DVMD對壓制GPR數據中隨機擾動產生噪聲的有效性，設計不含隨機擾動的參考水平層狀模型和相應的隨機等效介質模型。采用時域有限差分（FDTD）生成正演數據。發射天線和接收天線均處于地表，采取自激自收的收發方式。天線主頻為500 MHz，時間采樣間隔為0.02 ns，時窗為50 ns。模型大小設定為3 m×3 m，網格為301×301，道間距為0.01 m，共采集151道。

不含隨機擾動的參考水平層狀模型（圖1a）正演模擬記錄如圖1b所示，對其進行自動增益處理后，計算對應的二維頻率波數域譜，結果如圖1c所示。對應隨機等效介質模型（圖2a）的正演模擬記錄（信噪比為6.44 dB）和二維頻率波數域譜分別如圖2b、c所示。從正演記錄可以看出，當地下介質含隨機擾動時，會產生能量較強的隨機繞射波且分布無規律性；隨機繞射波在空間上互相干涉疊加后，繞射能量的拖尾會造成反射波對應回波信號同相軸間斷，從而影響地下目標體的識別判斷（圖2b）。從對應的二維頻率波數譜圖（圖2c）上可以看出，隨機擾動產生的繞射波能量在波數域對應高波數，而反射波能量在波數域對應低波數，水平層的反射回波信號主要集中在0波數附近。因此，由隨機擾動引起的隨機繞射波主要分布在空間方向上，利用針對時間維度的1DVMD很難對其進行有效壓制。對水平層狀等效介質模型的正演模擬記錄增益后進行2DVMD處理，取K=4，分解后得到IMF分量及其對應的二維譜（圖3）。從圖3中可以看出，經2DVMD處理后，得到的IMF分量包含了從低頻低波數到高頻高波數的分量信息。其中：IMF1對應反射波信號，IMF3對應來自水平層的反射回波

信號，它們的二維譜能量主要集中在低波數和0波數附近且二者頻率較低；IMF2和IMF4對應于來自不

同傳播方向的繞射波，且頻率較高。

計算各階IMF分量與分解前數據的互相關系數（表1），確定隨機繞射波所對應的噪聲分量。去掉相關系數小于0.3的分量IMF2、IMF4，重構得到壓制噪聲后的GPR數據，結果如圖4所示。經1DVMD分解去噪后的數據信噪比（SNR）為

6.28 dB，且對由隨機擾動引起的隨機繞射噪聲并沒有明顯的壓制效果（圖4a）；而經2DVMD去噪后

0.091 3的剖面反射波同相軸連續性更好、沒有間斷假象，信噪比為7.72 dB，有效提高了含噪數據的信噪比（圖4b）。

4 "實測數據處理

實測數據（圖5a）采用某地區地下管線GPR數據中的一條測線。天線主頻為500 MHz，每道采樣點數為1 178，時窗長度為40.8 ns，道間距為0.019 m，共采集916道，測線長度為17.41 m。對GPR數據進行預處理，包括去直流漂移、自動增益、帶通濾波等，結果如圖5b所示。雖然預處理后的數據質量已經得到明顯改善，壓制了部分高頻噪聲和低頻雜波，但仍可以看出剖面中不僅包含目標管線對應的能量較強且有規律分布的繞射波，還包含地層界面粗糙和其他隨機擾動帶來的繞射能量，且繞射波干涉疊加造成空間方向同相軸連續性較差。對預處理后的數據進行2DVMD處理，取K=8，得到的IMF分量及其對應的二維頻率波數域的譜如圖6、圖7所示。同樣，IMF分量包含低頻低波數到高

頻高波數的

分量信息。觀察IMF分量及其二維譜，可以直觀地分析各IMF分量所對應的回波類型。其中：IMF5和IMF7對應于背景反射層的反射波；IMF6和IMF8對應于來自不同方向的主要繞射波，可能來自于目標體；而IMF2、IMF3、IMF4則對應于更高頻的高波數繞射波，推測包含隨機擾動產生的隨機繞射噪聲。各階IMF分量與分解前含噪數據的互相關系數見表2，可以看出，IMF2、IMF3、IMF4分量的互相關系數均小于0.3，有效驗證了綜合IMF分量及其二維譜的定性分析結果。

去掉互相關系數小于0.3的IMF分量，并進行數據重構。如圖8所示，經2DVMD去噪后雷達剖面空間方向同相軸連續性得到明顯改善。

對去噪前后的數據隨機抽取某一道和某一時刻的空間采樣信號進行詳細對比，結果如圖9所示。可以看出，由于預處理時已進行過帶通濾波，時間維度上的噪聲已得到較好的壓制，而進一步經2DVMD去噪處理之后，空間采樣信號的連續性得到明顯改善，由隨機擾動所引起的信號震蕩已被壓制。

5" 結論

1）本文利用2DVMD方法對二維GPR數據進行處理，通過計算各階IMF分量與原始信號的二維互相關系數及分析各階IMF分量及對應的二維圖譜，完成模態篩選過程。

2）與其他二維譜分析方法對數據整體變換后設計相應濾波器進行噪聲壓制造成部分有效信息丟失的情況不同，2DVMD可以分別對不同的IMF分量做圖譜分析，保留更多有效信息的同時結果更加直觀。

3）與圖像處理不同，經2DVMD信號分解后各模態對應的二維圖譜具備尺度分離性、方向選擇性、頻帶分離性等物理性質。

4）2DVMD可在頻率波數域和時間空間域共同分析，直接在時間空間域篩選IMF分量，完成信號重構，更加準確、便捷地壓制信號空間域的隨機噪聲。

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