基于算理算法一致性的 “除數是兩位數的除法” 單元整體教學重構*

□周 琪 沈彩虹 周小芳

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱 “2022 年版課標” ）倡導課程內容結構化整合的理念［1］。以整數除法為例，現行小學數學教材中， “除數是兩位數的除法” 是小學階段整數除法最后學習的內容。在此之前，教材已系統地編排了與整數除法相關的大部分知識和技能，包括除法的意義、用乘法口訣求商、除法運算（口算與筆算）、豎式的書寫格式、余數與除數的關系等。在此基礎上編排 “除數是兩位數的除法” 的學習內容，既承接了多位數乘兩位數、除數是一位數的除法的學習，又為后續小數除法的學習奠定基礎。進一步梳理、分析教材編排可以發現，貫通三個年級的整數除法學習存在共性：一方面，情境和意義是一致的，均為基于平均分的 “計數單位” 細分；另一方面，乘法與除法的關系也是一致的，即除法是乘法的逆運算，也就是做除法想乘法。這表明整數除法在算理和算法上都具有一致性。因此，將這一階段的除法進行整體化教學，有助于學生構建完整的知識網絡，并幫助學生理解整數除法的內在邏輯關系，以實現整數除法運算的一致性。

然而，現行教材在 “除數是兩位數的除法” 單元教學目標的制訂上存在以下問題：一是重法輕理，強調計算的方法，過于注重繁雜的技能，從而忽略了計算的 “道理” ；二是理不入法，缺少方法的統領，學習步子較小，用多個課時訓練計算技巧，卻未凸顯除法運算的一致性；三是與原有知識的關聯性不足，未能讓整數除法的算理和算法系統化，缺乏一致性［2］。因此，有必要重新構建整體的知識網絡，突出算理，總結算法，由算理統領算法，運用類比遷移的思想方法，突出知識和結構上的整體性和一致性［3］。

在2022年版課標發布但新教材尚未出版的過渡階段，教師如何準確把握 “除數是兩位數的除法” 這一單元的內容，幫助學生理解算理、鞏固算法，實現理法的貫通，并感悟整數除法運算的一致性，為后續小數除法、分數除法的學習打好基礎，是落實2022年版課標的課程理念的關鍵。本研究將基于 “數的運算的一致性” ，嘗試對該單元的內容和結構進行整合與優化。

二、重構：單元整體教學再設計

（一）單元教學目標重構

在原有單元教學目標的基礎上，抓住 “計數單位” 這一核心要素，提煉除法的本質就是 “計數單位的細分” 這一 “理” ，并利用乘除法關系，提煉 “做除法想乘法” 這一 “法” ，嘗試用算理統領算法，據此對單元教學目標進行調整，具體如表1所示。

表1 單元教學目標的調整

重構后的單元教學目標，其主要變化體現在以下兩個方面：一是關于口算與筆算的算法，新目標突出乘法口訣的作用，即統一了 “法” ；二是在理解算理、探究算法并有效關聯舊知的過程中，新目標強調除法運算是將計數單位逐步細分的過程，以此感受除法運算的內在一致性，即凸顯了 “理” 。由此，在算理算法的自主探究與溝通中，發展學生的運算能力和推理意識。可見，重構后的單元教學目標更加精練地強調了算理算法的一致性，突出了算理在教學中的重要性。

（二）單元教學課時重構

根據調整后的單元教學目標，將整個單元重構為 “口算除法” “初識算理” “鞏固算理，形成算法” “總結算法” “優化算法” 和 “實現貫通” 6個課時，每課時的主要內容和教學目標如圖1所示。

圖1 單元教學重構框架及課時目標

此單元教學課時的重構將算理算法的一致性貫穿始終，強調除法的算理為 “計數單位細分” ，算法為 “做除法想乘法” ，并基于 “先講算理，后識算法，理法貫通，承前啟后” 的原則，開展階梯式教學，最終實現算理算法的一致性。

（三）各課時關鍵任務設計

本次單元教學重構旨在幫助學生先理解除法的本質是 “計數單位細分” ，再優化除法運算的方法，最后貫通理法，感受整數除法運算的一致性。各課時的關鍵任務如表2所示。

表2 “除數是兩位數的除法” 單元各課時關鍵任務

表3 實驗班、對照班后測計算習題的正確率

從各課時的關鍵任務來看，試商等技巧并非筆算教學的重點，幫助學生理解試商的 “道理” 才是解決筆算難點的 “通法” 。因此，本次單元教學的重構將重點放在理解算理上，讓學生在理解算理的同時掌握算法，從而打通算理和算法之間的壁壘，實現整數除法算理算法的一致性。在安排課時時，也盡可能地把時間用于教學解決一般問題的 “通法” ，引導學生理解除法的本質，為整數除法的貫通和小數除法的學習打好基礎。

三、效果：實現算理算法統整

實施單元教學重構后，利用后測試卷，從算理和算法兩個方面檢驗學生的掌握情況。

從后測數據可知，在僅進行了6 課時的學習，且未進行大量練習和技巧訓練的情況下，實驗班與對照班在除數是兩位數的除法的算法掌握上并未出現顯著差異。在一些特殊的 “障礙點” 上，如商的書寫位置、筆算除法的豎式以及商中間或末尾有0的情況，也未出現顯著差異。然而，對于商末尾有0的除法的習題，實驗班在尚未進行例題講解的情況下，其正確率依然略高于對照班。這充分說明，用算理統領算法是可行的。另外，對于算法在除數是三位數的除法和小數除法上的遷移，實驗班的表現也明顯優于對照班。可見，算理的理解對算法遷移有積極的促進作用。

通過單元教學重構，學生不僅在算法掌握程度上有所提升，對算理的理解和運用水平也有顯著提高。對后測數據進一步分析可知，實驗班學生對除法豎式是記錄 “計數單位細分” 過程的理解較為深刻。超過65%的學生能夠用橫式表示豎式中每一步計算的道理（如圖2），并能表示出每一步細分的 “計數單位” 。在小數除法中，約43.48%的學生能夠運用計數單位的細分來解釋小數除法的運算過程（如圖3）。這表明掌握除法的本質，有助于貫通整數除法和小數除法。

圖2 學生S1的正確作答

圖3 學生S2的正確作答

綜上所述，重構后的學習路徑在教學的過程中不斷地進行改善和優化，引導學生厘清整數除法的脈絡，形成完整的、具有邏輯性的除法知識結構。學生通過學習，不僅理解了 “計數單位細分” 的含義，體會到整數除法算理的一致性，還掌握了除法運算的方法，感受到整數除法算理算法的一致性。