問題解決式學習:境脈深度學習的基本范式

陳敏 吳寶瑩

【摘要】

境脈深度學習在學習狀態、學習過程與學習結果上呈現出“深層動機—全神貫注、切身體驗—高階思維、身份建構—實踐創新”的“三維特質”.在綜合分析這些特質的基礎上，給出了境脈深度學習的基本范式——問題解決式學習，在問題解決式學習的兩個“出口”（課題研究式與項目創作式）中，高中數學境脈深度學習在實際操作層面上，更多采取課題研究式學習，而專題又是課題研究式學習很好的形式.以“多元變量最值問題”為例，具體說明基于境脈深度學習的專題教學操作路徑，并給出了專題教學應注意的問題.

【關鍵詞】境脈深度學習；問題解決式；專題教學

1關于境脈深度學習的認識

境即情境，脈即脈絡.境脈深度學習一般是指學習者在有邏輯主線、連續性的脈絡化情境下，基于問題和任務，深層動機積極主動，全神貫注地展開切身體驗與高階思維，升級完善自我認知結構，建立關系、發生意義的一種學習樣態.深度學習“深”就“深”在深入知識內核、觸及事物本質與學生心靈，發生高階思維，并能夠在復雜的真實情境下遷移、應用與創新，是問題解決式學習.

1.1境脈深度學習的“三維特質”

學習狀態維度：境脈深度學習的學習狀態是具有深層動機的、全神貫注的.這種動機是深層的、內在的學習動機，而不是淺層、外在的學習動機，是高投入、沉浸式的學習狀態，學習者表現為積極思維、主動對話.

過程質量維度：境脈深度學習在過程質量上經歷切身體驗和高階思維兩個邏輯層次.切身體驗指向于學習者的感受與觀察、實踐與操作、感悟與體會；高階思維指向于學習者更為深刻的理解與批判、更為辯證的反思與評價、更為靈活的生成與創造.

學習結果維度：境脈深度學習在結果上則表現為身份建構與實踐創新.基于對事物本質意義的理解，學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，整合重組知識，積極主動地、批判性地學習新的知識、思想觀點與方法，將它們融入原有的認知結構中，建構關系、發生意義，并能遷移到新的復雜的真實情境中實踐創新，完成真任務，解決真問題.

綜上，境脈深度學習在學習狀態、過程質量與學習結果上呈現出“深層動機—全神貫注、切身體驗—高階思維、身份建構—實踐創新”的“三維特質”.對于境脈深度學習，要用可測量、可觀察的學生主體外顯行為動詞來描述其發展變化，要基于證據進行全程檢測與評價，在學習狀態、過程質量與學習結果各環節都要追問“三維特質出現了嗎？境脈深度學習發生了嗎？何以知道境脈深度學習發生了？”（如圖1）.

1.2境脈深度學習的基本范式

對以上境脈深度學習在學習狀態、過程質量與學習結果呈現出的“三維特質”分析，不難發現，境脈深度學習的最終指向于遷移應用與問題解決.境脈深度學習是基于問題和任務的，問題解決是境脈深度學習的出發點與歸宿，所以問題解決式學習是境脈深度學習的基本范式.簡單地講，問題解決式學習的實質是學生在問題解決中學習，即在問題解決的過程中學會高階思維、學會聯系建構、學會創新應用.

1.3境脈深度學習的操作“出口”

指向境脈深度學習的問題解決式學習在操作層面上一般有兩個“出口”：課題研究式與項目創作式.課題研究式學習強調讓學生去探究和發現，學生搞明白一件事情；項目創作式學習強調讓學生去實踐和創作，學生做成一件事情，包括項目化學習、學科實踐、綜合學習等.鑒于高中數學邏輯思維的學科特點和數學教學的實際情況，在高中數學境脈深度學習的兩個“出口”中，往往選擇課題研究式學習.這里的課題，不同于科研單位立項研究的大課題，而是有研究價值的具體數學問題，如嵌套函數問題、數列的子數列問題、解析幾何中定點定值問題、多元變量代數式最值問題等.

2課題研究式學習——專題

既然問題解決式學習是境脈深度學習的基本范式，而課題研究式學習又是高中數學問題解決式學習的主要操作“出口”，因此，設計或選擇具有研究價值的數學問題至關重要，在高三數學復習中，則表現為基于學情與考點、根據教學的實際情況適時設計一些切口小、針對性強的專題問題，力求解決復習課中的真問題，專題教學的特點就是精準、實在、見效快.

選擇怎樣的主題，以怎樣的角度切入，專題復習如何實施，這是專題實施前教師必須深入思考的問題，也是決定境脈深度學習是否真正發生和復習效益的關鍵所在（如圖2）.

2.1專題確定要注意的問題

2.1.1要能激發起學生主動復習的深層動機

熟悉的文本、程序化的復習套路、題海……學生在復習課中痛苦地掙扎！復習課對于教師最大的挑戰就是如何上出新意，把學生的復習興趣調動起來，讓學生真正成為復習的主人.“窮則變，變則通”.復習課一定要善“變”！有時，換個角度，變個形式，效果就完全不一樣.總之，要設計和選擇出能夠有效觸及學生心靈深處和觸發興趣、情感的情境與問題.

2.1.2要能瞄準學生復習的“病灶”

專題的設置就是為了幫助和引導學生專門解決某個具體的問題，因此在選題時忌大而統之、虛而不實，要做到“實、時、精、準”，要能瞄準學生復習的“病灶”.

2.1.3要能提升學生問題解決的綜合能力

設置專題的最終目的是提升學生運用所學知識方法解決問題的綜合能力，專題主題的確定不拘形式，可以是知識點專題，可以是思想方法專題，也可以是題型專題，還可以是作業中的易錯題專題、學生非智力因素問題專題等，但是無論采取哪種形式，都要注意綜合和整合，設計出能夠統攝學習目標、學習評價、學習內容和學習過程的問題，設計出具有探究空間與價值、指向學生問題解決綜合能力提升的問題.

2.2專題實施要注意的問題

2.2.1要注意發揮學生在復習中的主體性

復習課中，教師起到示范和指引作用，最重要的是通過教師的引導，吸引學生積極參與課堂，從而有效地學，教師切不可“一言堂”.有了專題，課堂就有了一條明顯的邏輯主線，讓學生展開思維，立體構建.課堂上可以先讓部分學生交流展示自己的研究情況，然后師生共同進行相關知識的比較、辨析與歸納.這里指向境脈深度學習的學習狀態：深層動機、全神貫注，境脈深度學習是觸及學生心靈深處的學習，提倡“以學習者為中心”，在民主和諧的氛圍中，學生主動參與、積極思考、民主對話.

2.2.2要注意知識和能力形成的結構整體性

設計專題的目的是力求找到一條主線串起零散的知識，因此要注重知識內在的邏輯關聯，加強知識系統內部要素之間相互聯系，這樣才有助于學習技能的“遷移”，可以舉一反三、觸類旁通，一定要慎防復習的“碎片化”.在專題的實施過程中，學生基于深度理解，以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想方法，并將它們融入原有的認知結構中自我建構，使得知識和能力形成整體結構，且能將已有的知識遷移到新的情境中進行實踐創新.

2.2.3要注意復習中知識的再生性

課堂教學是教師和學生共同的生命歷程，是不可重復的激情與智慧的綜合生成過程，是預設與生成的有機融合.預設是為了更好的生成，復習課也當如此.同一個知識點，同一個專題，由于每個學生都有自己獨特的思維方式，對問題的分析角度不盡相同，對問題會有新的看法.在專題教學中，一方面教師要充分考慮到結論的豐富性、過程的開放性和思維的發散性，關注課堂生成，敏感于再生性知識與方法.另一方面，教師也要敏銳準確地判斷課堂生成的價值，采取恰當的處理方式方法，兼顧預設與生成，以求課堂教學效益的最優化和學生學習發展的最大化.

3基于境脈深度學習的“多元變量最值問題”專題教學

針對境脈深度學習在學習狀態、過程質量與學習結果上呈現出“深層動機—全神貫注、切身體驗—高階思維、身份建構—實踐創新”的“三維特質”，設計以下基于境脈深度學習的“多元變量最值問題”專題教學.

教學目標與前置評價：

學生深層學習動機活躍，能全神貫注地積極主動研究；理解多元變量最值問題的本質，領會減元的基本思想，能用基本不等式法、換元法、判別式法等基本方法解決常見多元變量最值問題；在問題解決的過程中，學生切身感受，發展高階思維，能進行聯系建構、遷移應用與實踐創新，特別是能在新情境下解決新問題，使得境脈深度學習真正發生.

3.1情境引入

引例某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則x的值是．

學生分析：這是一道物流費用的實際問題，首先要明確一年的購買次數是600x，于是總

運費為600x×6萬元，再建立總費用目標函數．

學生解決：總費用為y=4x+600x×6=4（x+900x）≥4×2900=240，當且僅當x=900x，即x=30時等號成立．

學生感悟：數學并不神秘遙遠，它就在我們身邊，數學可以解決很多現實問題，我們要善于“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界.”

設計意圖：基于真實情境，用實際問題引入，激活學生學習深層動機，觸及學生心靈深處，直抵問題本質，使學生掌握用基本不等式這求最值問題的最基本方法．

3.2無約束條件的二元變量最值問題

例1（2020揚州調研）已知x＞0，y＞0，則x+yx+16xy的最小值為．

學生分析：所求變形為x+yx+16xy=x+1x（y+16y），由于x，y彼此無關聯，兩次使用基本不等式即可.

學生解決：所求變形為x+yx+16xy=x+1x（y+16y）因為y＞0，所以y+16y≥2y·16y=8，當且僅當y=4時，等號成立.因為x＞0，y+16y≥8，所以x+yx+16xy≥x+8x≥2x·8x=42，當且僅當x=22時等號成立.

所以x+yx+16xy的最小值為42，當且僅當x=22，y=4時取到．

學生感悟：因為目標式中變量間彼此獨立，相互間沒有制約條件，依據減元的核心思想，使兩個無關變量彼此分離，把同一變量相對集中在一起，這時候從局部看，二元變量的最值問題就化歸為一元變量問題，兩次使用基本不等式，各個擊破．

設計意圖：切身體驗，體會減元的核心思想的本質.

變式拓展

已知a＞b＞0，求a2+64b（a-b）的最小值．

解析因為b（a-b）≤b+（a-b）22=a24，當且僅當a=2b時，等號成立，

所以a2+64b（a-b）≥a2+64a24≥2a2·4×64a2=32，當且僅當a=4時，等號成立.

所以a2+64b（a-b）的最小值為32，當且僅當a=4，b=2時取到．

3.3有約束條件的二元變量最值問題

例2設實數x，y滿足x24-y2=1，求3x2-2xy的最小值.

學生分析1：利用“1”的代換，轉化為關于x，y的齊次式，二元減為一元，再換元，最后用基本不等式解決.

學生解決1：因為x24-y2=1，所以3x2-2xy=3x2-2xyx24-y2=12x2-8xyx2-4y2=12-8yx1-4yx2.

令yx=t，t∈（-12，12），3x2-2xy=12-8t1-4t2=4（2t-3）4t2-1，再令2t-3=m，m∈（-4，-2），t=m+32，于是3x2-2xy=4mm2+6m+8=4m+8m+6≥46-42=6+42，當且僅當m=-22，y=3-222x時取等號.所以 3x2-2xy的最小值為6+42.

學生分析2：利用三角換元，原來的二元x，y減為一元θ，再換元，最后還是用基本不等式解決.

學生解決2：因為x24-y2=1，所以令x=2secθ，y=tanθ，3x2-2xy=12-8t1-4t2=4（3-sinθ）1-sin2θ，再令3-sinθ=t，下同解法1.

學生分析3：把條件因式分解，把兩個因式分別換為新的二元，并得到新二元滿足的關系式，解出x，y帶入目標代數式，最終轉化為新二元變量的最值問題.

學生解決3：因為x24-y2=1，所以（x2+y）（x2-y）=1，令x2+y=a，x2-y=b， 則x=a+b，y=a-b2，ab=1， 于是3x2-2xy=2a2+4b2+6≥6+42.當且僅當a2=2，b2=22時，等號成立．

學生分析4：把條件因式分解，換元后利用方程思想，解出x，y帶入目標代數式，使得原來二元變量的最值問題轉化為新一元變量的最值問題.

學生解決4：因為x24-y2=1，所以（x2+y）（x2-y）=1，令x2+y=t，則x2-y=1t，

從而x=t+1t，y=12（t-1t），則3x2-2xy=6+2t2+4t2≥6+42，當且僅當t2=2時，等號成立．

學生感悟：減元是核心思想，換元是變通方法，換元可以是換成新的一元，也可以是換成新的二元.思路一經過兩次換元，雖然過程相對有些繁瑣，但是思維發展自然順暢，是基本的思想方法，屬于通性通法；思路二洞察條件的結構特點，利用三角換元，與思路一沒有本質的區別；思路三與思路四都是把條件因式分解，利用解方程的思想，唯一的區別在于思路三是把原問題轉化為新的二元問題，思路四是把原問題轉化為新的一元問題，相對來說思路四更簡潔一些.

設計意圖：學生經歷自己問題解決的過程，比較總結思想方法，內化為自我的認識與能力，發展其高階思維.

變式拓展

設實數x，y滿足4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

解析令2x+y=t，則y=t-2x，帶入4x2+y2+xy=1并整理成關于x的一元二次方程6x2-3tx+t2-1=0，由于方程有實數解，所以判別式Δ≥0，即-2105≤t≤2105，則2x+y的最大值為2105.

當然本題也可以把目標代數式平方，利用“1”的代換，構造成關于x，y的齊次式，再換元解決，或者尋找目標代數式的平方與條件的等量關系，利用基本不等式解決.

3.4二元有約束條件的三元變量最值問題

例3已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，那么acb+cab-c2+5c-2的最小值為．

學生分析：a，b間有制約條件a+b=2， c為獨立變量，故將所求變形為acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，先求出ab+1ab的最小值即可.

學生解決：acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，因為a＞0，b＞0，且a+b=2，所以ab+1ab-12=ab+（a+b）24ab-12=ab+a2+2ab+b24ab-12=5a4b+b4a≥52，當且僅當b=5a時等號成立．

又因為c＞2，可得acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2≥52c+5c-2.

又因為52c+5c-2=52（c-2）+5c-2+5≥10+5，當且僅當c=2+2時等號成立，

所以acb+cab-c2+5c-2的最小值為10+5.

學生感悟：本題中有三個變量，其中兩個變量間有約束條件，提取公因式后，先求出兩個變量代數式的最值，然后使用不等式的性質放縮，再使用一次基本不等式.總之，變化的量越多越難解決，孤立變量是一個不錯的主意，如acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-12+5c-2，先不考慮變量c，只要研究有約束條件的二元變量代數式ab+1ab的最小值，使變量相對集中.

設計意圖：三元變量最值問題較二元變量問題有一定的難度，設計三元變量中只有二元有約束條件的問題，為學生搭設思維的“腳手架”，考查學生數學思維的靈活性與應變性.

3.5三元彼此有約束條件的三元變量最值問題

例4已知a＞0，b＞0，c＞0，a2+ab+bc+ca=4，求2a+b+c的最小值.

學生分析1：把條件因式分解，a2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，b，c是可輪換式，可以把c用a、b表示，代入目標式中，達到三元減為二元的目的.

學生解決1：因為a2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，所以c=4a+b-a，于是2a+b+c=4a+b+a+b≥4，當且僅當a+b=2，b=c時取到等號.所以2a+b+c的最小值為4.

學生分析2：注意到a2+ab+bc+ca=（a+b）（a+c）=4，（a+b）（a+c）=4，即a+b與a+c的積為定值，所以可以把目標2a+b+c用a+b與a+c線性表示，再用基本不等式.

學生解決2：因為a2+ab+bc+ca=a+ba+c=4，所以2a+b+c=a+b+a+c≥2a+ba+c=4

學生感悟：思路一注意到b，c是可輪換式，可以把c用a，b表示，代入消元，思路自然.而思路二發現a+b與a+c的積為定值，目標2a+b+c用a+b與a+c線性表示可謂妙哉！這是因為2a+b+c與a+b，a+c的關系比較簡單，可以直接線性表示，如果關系比較復雜呢？如2a+3b+4c，這時可以嘗試待定系數法，令2a+3b+4c=ma+b+na+c=m+na+mb+nc，則m+n=2，m=3，n=4，顯然矛盾！這樣看來，目標式還不是隨便改編的，a，b，c的系數有一定的制約關系規律，即a的系數是b，c的系數和，如上面的不成功的改編可以調整為7a+3b+4c=3a+b+4a+c.

設計意圖：學生經歷“嘗試改編—遭遇失敗—分析原因—理性調整—總結規律”的過程，通過具體問題的解決，由特殊到一般，舉一反三，觸類旁通，主動建構，認知結構逐步完善，這正是我們解題教學所追求的.

變式拓展

設a，b，c是三個正實數，且a（a+b+c）=bc，則ab+c的最大值為．

解析由a（a+b+c）=bc，兩邊同除以a2得1+ba+ca=ba·ca，設x=ba，y=ca，則x+y+1=xy，

ab+c=1x+y，因為x+y+1=xy≤x+y22，所以x+y≥2+22，所以ab+c的最大值為2-12．

3.6新情境下的新問題

例5已知A，B，C為平面上任意不同的三點，設BC=a，CA=b，AB=c，則ca+b+bc的最小值為.

學生分析：分析ca+b+bc的結構特點，由于bc相對獨立，所以把ca+b的分子分母同除以c，出現bc，ac，再利用a≤b+c，ac≤bc+1放縮.

學生解決：因為a≤b+c，ac≤bc+1，所以ca+b+bc=1ac+bc+bc≥12bc+1+bc=12bc+12+bc+12-12≥212-12=2-12.所以ca+b+bc的最小值為2-12.

學生感悟：實際上這是三元彼此有約束條件的三元變量最值問題，只不過這里的約束條件是隱含的潛在條件a≤b+c，核心思想還是減元，由三元a，b，c減為兩元ac，bc，進而再減為一元bc，最后還是利用剛開始引例中最基本的求最值的方法——基本不等式法.

設計意圖：在新情境下解決新問題是境脈深度學習的最高層次與最終結果呈現，是核心素養發展的重要標志.這一題就是熟悉的代數問題遷移到了平面幾何的新情境下，同時還考查了學生挖掘隱含條件的能力.所以能在新情境下解決新問題是“境脈深度學習發生了嗎？”的主要評價指標.

變式拓展

如圖3，在△ABC中，已知AB=10，點E，F在AB邊上，且AE=BF=1，CE+CF=10，則tan2A+4tan2B的最小值為．

解析以EF所在直線為x軸，EF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy，則E（-4， 0），F（4， 0），A（-5， 0），B（5， 0），因為CE+CF=10＞EF=8，所以點C的軌跡是以E，F為焦點，AB為長軸的橢圓，其方程為x225+y9=1，易證tanA·tanB=925，則tan2A+4tan2B≥2tanA×2tanB=3625（當且僅當tan2A=4tan2B時取“=”）．

4結束語

境脈深度學習在學習狀態、過程質量與學習結果上呈現出“深層動機—全神貫注、切身體驗—高階思維、身份建構—實踐創新”的“三維特質”.在綜合分析這些特質的基礎上，我們提出問題解決式學習是境脈深度學習的基本范式，高中數學的境脈深度學習在實際操作層面上更多采取課題研究式學習，而專題又是課題研究式學習很好的形式.事實上，這些對境脈深度學習逐步深入的認識過程本身就是境脈深度學習.我們要基于境脈深度學習的特質，精心設計專題，在教學中關注學生的深層動機，使學生在問題解決中發展高階思維，促成聯系建構、遷移應用與實踐創新，最終提高學生在復雜真實情境下解決新問題的能力，發展數學核心素養.

參考文獻

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