淺議培養“證偽”思想的一把利器

黃加衛

【摘要】“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學地超越自身，找到新的生長點和突破口.在數學教學中，作為“證偽”的一種主要手段——反例也有著極為重要的意義，它不僅對數學教學起著重要作用，而且對學生培養“證偽”思想、養成填密思維、提升綜合能力、形成核心素養有很大幫助.

【關鍵詞】證偽；主要手段；反例

眾所周知，“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學地超越自身，找到新的生長點和突破口.《普通高中數學課程標準》也指出：“能夠理解數學命題的條件與結論，通過分析相關數學命題的條件與結論，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系；能夠通過舉反例說明某些數學結論不成立.”參考了以上觀點，筆者在課堂教學中對反例教學進行了積極嘗試，意圖培養學生的“證偽”思想.現將幾點感想陳述如下，并求教于方家.

1構造“反例”是實現“證偽”的一種主要手段

正如美國數學家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德指出，“冒著過于簡單化的風險，我們可以說數學由兩大類——證明與反例組成，而數學發現也是朝著兩個主要的目標——提出證明與構造反例”.在數學問題的探索中，猜想結論是否正確，正確則要求嚴格證明，而謬誤則靠反例來否定.因此構造反例是培養“證偽”思想的一種主要手段，筆者認為其解決問題的過程可以用圖1的框圖加以表示.

2構造“反例”培養“證偽”思想的課堂嘗試

2.1當學習發生前攝抑制時，構造“反例”實現“證偽”

前攝抑制在認知心理學上指之前學習過的材料的保持和回憶對以后學習的材料產生干擾作用.因為數學知識有自己的理論體系，前后知識的聯系非常緊密，在學生學習的過程中很容易發生前攝抑制.

案例1以下是一節“函數積運算與奇偶性的關系”的研究性學習課的教學片斷.課中，教師提出問題：已知f（x），g（x）是R上的兩個非零函數，h（x）=f（x）·g（x）.試研究f（x），g（x）的奇偶性對函數h（x）的奇偶性的影響.課堂預設的具體研究內容和結果見表1：

學生在上節課的學習中已經知道了表中前三者情況的結論，根據函數奇偶性的定義，并結合前面的推導過程，也得到了第④種情況的結論，過程如下：

h（-x）=f（-x）·g（-x）=-f（x）·g（-x），由于g（-x）≠g（x）且g（-x）≠-g（x），所以h（-x）≠h（x）且h（-x）≠-h（x），故h（x）為非奇非偶函數.同理，后面的第⑤種和第⑥種情況都得到相同的結論，并且這些結果得到了絕大多數學生的贊同.

針對上述推導過程，筆者讓學生繼續思考并互相交流.不一會兒，就有學生認為：上面這種推理過程似乎比較牽強，并沒有嚴格的理論依據.經過學生的后續討論與探索之后，有學生提出了以下的反例：

f（x）=x，g（x）=1，x<0，-1，x≥0滿足第④種情況，但h（x）=f（x）·g（x）=x，x<0，-x，x≥0卻是偶函數.

筆者鼓勵學生持續進行探究，不但挖掘出前面第④種情況推理錯誤的原因；而且有些學生繼續通過舉反例的形式結果發現后面的第⑤種和第⑥種情況都是不能確定h（x）的奇偶性.這些結論的發現都令學生們興奮不已，課堂效率顯然也得到了很大的提升.

評注如上所述，新舊知識具有相近或相互聯系的特點，最容易使認識過程受舊知識痕跡影響而發生“痕跡性錯誤”.而1970年哈里斯等心理學家研究表明“反例攜帶了最適于辨別的關鍵信息”，這時候如果教師運用反例教學來對比出前后知識點的不同之處，就能夠消除學生的這種前攝抑制，從而去培養學生的“證偽”思想.

2.2當學習發生思維定勢時，構造“反例”實現“證偽”

思維定勢表現在新問題發生了一些小的變化時，學生很難感覺到這種變化，而是繼續用以往舊的思考方式去解決問題，最后導致答題錯誤.當這種情況發生時，可以運用反例教學來糾正學生的這種思維定勢.

案例2已知等比數列an中每一項均為實數，Sn是其前n項的和，求證：S7，S14-S7，S21-S14成等比數列，并思考能否將此問題一般化？

對于第一個問題，在實際授課時，很快有兩位學生用兩種方法“解決”了這一問題，并將其一般化：若k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數列.并且絕大多數學生認為可以根據前面兩位學生的解法類似地解決這一問題，即只要在他們的解法上做相應的改動就可以了.

看到了大家逐漸取得了“共識”，筆者提醒到：在我們學習的過程中，很容易忽視問題之間的差異之處，從而形成思維定勢而導致錯誤的發生.大家能否再對這道問題進行深度的解剖？學生們又陷入了緊張的思考之中，而后有個學生要求發言：“我覺得此問題的這三項不一定成等比數列，例如數列：1，-1，1，-1，1，-1，…是等比數列，但是S2=S4-S2=S6-S4=0不是等比數列！”

學生們開始都很吃驚，但是最后在教師的引領之后對這位學生的精彩發言進行了鼓勵.

評注布魯納認為：“反例能預防做出‘倉促的判斷”，而作為一種學習方法，在新概念、新理論的學習中，使用反例可促進學生對新知識的接受，幫助學生及時克服在傳統一貫的教學中可能會形成的思維定勢，從而達到證偽的目的.

2.3當學習發生類比推理失誤時，構造“反例”實現“證偽”

類比被譽為科學活動中“偉大的引路人”，然而，類比推理的邏輯根據是不充分的，帶有或然性，不能作為一種嚴格的數學方法，即類比不能代替證明.在數學思維中，正是這種局限性對學生學習新知、解決新問題產生消極性的干擾作用.

案例3人教版新教材選擇性必修第一冊P98的習題2.5第8題：

求圓心在直線x-y-4=0上，并且經過兩個圓x2+y2+6x-4=0與x2+y2+6y-28=0的交點圓的方程.

此題如果采取聯立方程組解決的方法，其解題過程會稍顯繁瑣.因此絕大多數學生利用教師先前介紹的圓系理論解決的方法，解法如下：

設x2+y2+6y-28+λ（x2+y2+6x-4）=0，可得（1+λ）x2+6λx+（1+λ）y2+6y-28-4λ=0.（1）

把圓心（-3λ1+λ，-31+λ）代入所給的直線方程，可解得λ=-17，再代入（1）式即可得到所求的圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.

但課后有學生在教參上碰到了如下問題并用以上相同的方法進行了解決，題目如下：

求圓心在直線x-y-2=0上，并且經過兩個圓x2+y2-1=0與x2+y2-6x+8=0的交點的圓的方程.

設x2+y2-1+λ（x2+y2-6x+8）=0，可得（1+λ）x2-6λx+（1+λ）y2-1+8λ=0.（2）

把圓心（3λ1+λ，0）代入所給的直線方程，可解得λ=2，再代入（2）式即可得到所求的圓的方程為x2+y2-4x+5=0.可是已知條件中的這兩個圓并沒有交點呀？

評注波利亞說“類比和反例是發明的偉大源泉”，顯然，通過類比使我們可以獲得一系列的猜想，但當猜想實為謬誤時，反例是最簡捷的一種說明方法.但通過類比方法得到的一些高中數學教材中所沒有的、在高等數學中出現的或者未經檢驗的有關理論時，應該三思而后行，注意其運用的前提條件，否則就會誤入歧途、得不償失.這時候除了進行有效的“證實”之外，通過“構造反例”去進行“證偽”也是值得重視的方法.

2.4當學習偶遇“經典結論”有瑕疵時，構造“反例”實現“證偽”

在現今的高中數學課堂教學中，有許多眾所周知、膾炙人口的數學理論、數學結論、教學案例、解題模式以及解題方法等數學形式，它們均是高中數學知識的重要組成部分.但筆者通過研究發現，這些“經典”的數學形式有時因為考慮的不嚴謹或者適用的范圍不清楚等原因，有些“成員”存在著某些瑕疵.如果對此沒有引起足夠注意，就會導致教學出現偏差.

案例4人教版新教材選擇性必修第二冊的“5.3.2函數的極值與最大（小）值”（注：第P93—94頁）這一節中提出：

“一般地，求函數y=f（x）在區間［a，b］上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求函數y=f（x）在區間（a，b）內的極值;

（2）將函數y=f（x）的各極值與端點處的函數值f（a），f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.”

學生曾提出一個分段函數對此進行質疑，但所舉例子不大妥當，而上面的結論確實是個值得商榷的結論.我們不妨看看下例：已知函數f（x）=-3x2-12x-6，（-3≤x≤-2），6，（-2

我們可以證明以上函數在［-3，1.5］上連續且在（-3，1.5）上可導，故容易得到：當x=1時，f（x）取得極小值5，而f（-3）=3，f（1.5）=5.4375，故由以上結論可以得出其答案：最大值為f（1.5）=54375.但事實上，最大值應為6，并且這從圖2中也可以得到驗證.實際上，當x∈［-2，0］時的這一段線段是垂直于y軸的，但其上面的點均不是極值點.所以解決這類題型時應事先分析所涉函數在其任一子區間上是否存在常值的問題，然后再進行下一步驟.

評注數學家B.R.蓋爾鮑姆說過：一個數學問題如果用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇.由于相信和服從權威的原因，教師對教材或者參考書中給出的結論往往毫不懷疑，在運用它們解決問題時也沒有經過深思熟慮，但這往往會導致一些漏洞的產生.事實上，這種想法的存在已對我們高中數學教師的工作提出了一定的挑戰，此時構造反例進行證偽是有效手段之一.

以上案例充分說明：反例和證明同等重要！因此，在數學教學中，作為“證偽”的一種主要手段——反例也有著極為重要的意義，它不僅對數學教學起著重要作用，而且對學生培養“證偽”思想、養成縝密思維、提升綜合能力、形成核心素養有很大幫助.

參考文獻

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂.北京：人民教育出版社，2020：76.

黃加衛.淺議“證偽”思想在高中數學教學中的作用.中學數學雜志，2011（07）：17-22.