一題一課，讓思維深度發展

李佳 李國良

【摘 要】“等積變形”是在“組合圖形的面積”之后增設的一節拓展課。圍繞關鍵一題展開，利用平行線間的特性變換正方形組合圖形內的陰影部分來引導學生進行等積變形，從而抽象出等積變形的模型。通過變式組合圖形的外部框架，幫助學生提煉等積變形的本質，提高解決問題的能力，發展空間觀念，最終實現核心素養的落實。

【關鍵詞】一題一課 等積變形 思維發展

“一題一課”是教師通過對一道題的整體分析，充分研究其在數學中的功能價值，基于學情，自然、合理、有序地組織學生展開深入的探究，以達成多維目標的過程。有效地研究一道題并拓展到一類題，可以讓思維深度發展，從而提升學生的數學素養。

一、課前慎思

人教版數學三年級下冊中安排面積知識的學習，并探索了基本的長方形、正方形面積計算。在五年級上冊第六單元“多邊形的面積”中又研究了平行四邊形、三角形、梯形以及組合圖形的面積。仔細觀察平行四邊形和三角形面積相關的課后習題，可以發現多次出現等底等高的題目（如圖1、圖2），這三個題目的解決都需要用到圖形的性質進行等積變形，在一次次的對圖形進行變化的過程中慢慢發展學生的空間觀念和推理意識。同樣，在五年級下冊“體積”和六年級下冊“圓柱與圓錐”知識中也存在等體積中的變形。

下圖中兩個平行四邊形的面積相等嗎？它們的面積各是多少？

下圖中哪幾對三角形的面積相等？（兩條虛線互相平行）你還能畫出和三角形ABC面積相等的三角形嗎？

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，習題的設計要關注數學的本質，關注通性通法。筆者基于新課標的要求和對教材的分析，以“等積變形”一題作為課的核心內容來開展研究。所謂“等積變形”就是在不改變面積大小的前提下改變圖形的形狀，在變形的過程中運用相關圖形的性質，根據一組平行線的特性將復雜的面積計算方法轉化成基本圖形的面積計算，降低解決問題的難度，發展學生的空間想象力和推理能力。

二、基礎慎析

學生的認知基礎是開展有效教學活動的前提，通過對學生知識水平、已有經驗、思維能力等方面進行了解、分析與思考，為教學設計、實施有針對性的教學提供依據。筆者結合教學內容，設計了兩個前測題（如圖3），要求學生在10分鐘時間內獨立解決問題。

下圖均是由兩個正方形拼組而成，根據條件求出陰影部分的面積。

從前測結果統計中筆者發現，學生主要聚焦于“總面積－空白部分面積=陰影部分面積”。第一小題基本采用6×6+10×10－10×10÷2-6×（10+6）÷2=38（cm2），第二小題采用6×6+10×10－（10－6）×10÷2－10×（10+6）÷2－6×6÷2=18（cm2），且正確率較低。這給教學提出了值得思考的問題：一是學生運用“等底等高”圖形面積相等的知識點比較薄弱；二是無法實現從等底等高的知識點向“等積變形”這個知識點遷移。因此，筆者試圖通過“等底等高”圖形面積之間的關系，構建起“等積變形”的拓展題，讓學生感受其中的“變與不變”，鼓勵學生運用該知識點創造出更多等面積的圖形，能巧妙計算較為復雜的圖形面積，增強“等積變形”的意識，幫助其進行深度學習，促進思維的縱深發展。

三、課堂慎行

（一）利用基本圖形，初識變換模型

借助已學的基本圖形，喚醒學生的原有認知，讓其感受利用平行線間的特性來找形狀不同而面積相等的圖形，初步認識“等積變形”的模型，為之后更深思維層次的學習做鋪墊。

環節一：呈現單個圖形，喚醒原有認知基礎

課始，出示圖4，組織學生比較4個陰影部分面積的大小并說一說理由。對于①②中的兩個陰影部分，學生利用直觀感知，采取計算面積的方法和利用長方形與三角形面積關系的方法進行比較。接著，教師追問：“除了計算的方法和圖形關系的方法知道它們的面積相等，大家還能用其他方法進行比較嗎？”部分學生就明白把第2個圖中三角形上的一個頂點平移到左邊，從而變成與第1個圖完全一樣的三角形，也證明了兩個圖形的面積相等。通過這樣的設疑喚醒“平行線之間的距離處處相等（高相等）”的舊知，為③④圖與①圖陰影部分面積的比較做好鋪墊，在此基礎上揭示：平行線間圖形這樣的變化稱為“等積變形”。

比較下面陰影部分面積的大小，你有什么發現？

通過這4個圖形的變化，特別是第4個圖形需要添加輔助線并經歷3次變化才能與第1個圖形一致，再結合動畫演示其過程，讓學生充分經歷思維的發展過程。由此總結出：在一組平行線內，可以將圖形改變形狀成為與其同底等高的圖形，而面積保持不變，這在一定程度上發展了學生的空間想象力。

環節二：呈現組合圖形，初步體驗變化特征

接著，筆者出示一組組合圖形，要求學生比較陰影部分的面積（如圖5）。學生通過兩種分析思路：一是大三角形面積均是正方形面積的一半，從而得出兩個陰影部分面積相等，這是學生的直覺思維；另一種是通過正方形相對的邊互相平行，將右圖大正方形里的F點沿著FH移動到H點，變成與左邊的大正方形里的三角形完全相同的形狀，從而得出面積相等，讓學生經歷組合圖形中平行線間的等積變形。這個變形過程是對環節一的鞏固與深化，這樣一來，學生知道了在組合圖形中也可以有效地利用等底等高的圖形面積相等的數學本質。

（二）巧設陰影部分，構建變換模型

運用平行線特性進行等積變形有三個關鍵點：找一組平行線，找同底等高的圖形，以及形狀變了面積不變。這些關鍵點應滲透在每一環節中，逐漸使學生形成一個解題模型，即在等積變形時應先找一組平行線，然后再將圖形（三角形）進行同底等高的變化，最終將復雜的圖形轉變成基本圖形的面積計算。

環節三：改變圖形結構，發展建模能力

對“等積變形”運用有了一定能力后，再一次改變組合圖形的陰影部分，要求學生求出陰影部分的面積，旨在引導學生利用“等積變形”的優越性進行計算。集體交流后發現，計算的方法大致有四種（如圖6）。

3.求陰影部分的面積。

對于這四種方法，分別讓學生說一說解題的思路。經過交流后，發現第①③兩種屬于同一類，即用大面積減去小面積的思路來解決，而第②種則是采用合并求和的方法。但部分學生對第④種方法在理解上還是存在一定困難，因此，需要進行適度的展開。

師：有多少同學看懂了這種方法？能向大家解釋一下嗎？

生1：先連接AC，知道了AC和EH都是正方形的對角線，所以AC∥EH，根據平行線之間的距離處處相等，△AEH和△CEH都是以EH為底，高也相等，因此S△AEH=S△CEH，所以這里求△CEH的面積就可以了，就是10×10÷2=50（cm2）。

隨后，教師運用動畫形象地展示變形的過程，讓抽象的變化直觀化、具體化，降低了學生理解的難度。在掌握、理解這種方法后，教師繼續追問：

師：這些方法中哪種更簡單？對求復雜的陰影部分的面積有什么啟示？

生2：第④種采用了“等積變形”的方法，顯得更加便捷。

生3：在求陰影部分面積時，如果能找到一組平行線，利用平行線間的特性進行等積變形，就可以將一個三角形轉化成與它本身面積相等、形狀不同的三角形，這樣算就會很方便、很簡潔。

生4：從第④種方法中，不僅可以運用“平行線間的距離處處相等”來找同底等高等面積的三角形，還可以用“等面積的圖形-公共部分圖形”找等面積的三角形。

……

通過對比、質疑，學生進一步體會到等積變形的簡潔性與優越性，拓寬了尋找等面積圖形的思路，也讓他們從原有的知識體系中梳理出相關的知識點，利用知識點多次尋找面積相等的三角形，逐步建立等積變形的基本模型和方法，提高解決幾何問題的能力，為更高層次的空間想象奠定基礎，促進深度學習的發生。

（三）變式組合圖形，運用變換模型

通過上述內容的研究，學生已建立了等積變形的基本模型，能夠運用這個模型計算類似圖形的面積。而變換組合圖形內部陰影或外部框架，能夠讓學生更深層次地理解“等積變形”的模型，豐富對變換模型的應用經驗，感悟它的優勢，掌握它的本質。

環節四：轉換內部陰影，突出模型優勢

接著，出示轉換陰影部分的組合圖（如圖3中的②），組織學生運用等積變形的知識點進行推理。大部分學生都能連接CF，利用BD∥CF，將△BDF轉化成同底等高的△BCD，很快就計算出陰影部分的面積。通過這一題的研究，更加明顯地感覺到等積變形的優勢，提高了運用模型的能力。

環節五：變動外部框架，彰顯模型本質

隨后，教師設問：“如果將這兩個正方形變成兩個平行四邊形（如圖7），其余條件不變，那么這個陰影部分的面積還是小平行四邊形面積的一半嗎？”經過討論，學生一致認為仍然成立。因為連接CF，BD與CF仍然平行，把△BDF轉化成同底等高的△BCD，△BCD的面積就是這個小平行四邊形面積的一半。教師繼續追問：“還能將‘兩個正方形改成什么圖形，使結果仍然成立呢？”有學生認為長方形也可以，有學生認為只要滿足連接CF，使得BD∥CF的圖形都可以。

設置這個環節，主要是讓學生抓住這個模型最本質的特征，即利用平行線等積變形，關鍵是要構造出一組平行線，再利用平行線間的性質尋找面積相等的圖形。通過變式練習，不僅拓寬了學生的視野，使其對概念有了更深的理解，還能引導學生多維度研究問題，激發其創新能力和探究能力，感知圖形變換的規律與內在邏輯結構。

總之，空間觀念是核心素養的一個重要表現形式，是學生靈活想象和轉換幾何圖形與現實實物的一種思維能力。教師在平時的教學中要強化對數學本質的理解，學會用整體的眼光分析各個圖形知識點，尋找它們之間的聯系與區別，充分挖掘每一題、每一個知識的內涵價值，有目的地設計教學活動，引導學生進行深度學習，不斷用數學的眼光分析問題，從而形成科學的思維習慣，發展核心素養。