非交換剩余格上的廣義余區間值模糊濾子

左衛兵，蔡德印

（華北水利水電大學 數學與統計學院，河南 鄭州450046）

L.A.Zadeh［1］提出模糊集以后，模糊集及相關理論得到了迅速發展。M.Ward 等［2］建立了非交換剩余格理論，研究了非交換剩余格的濾子。郝加興等［3］研究了非交換剩余格上模糊濾子的性質和刻畫。后來，L.A.Zadeh［4］又將模糊集進行了推廣，給出了具有區間值隸屬函數的模糊集。PU P.M.等［5］給出了屬于和擬一致于概念。ZHAN J.M.等［6］在BL-代 數上引入了區間值(∈,∈∨q)-模糊濾子。在模糊代數研究中，余模糊理想發揮著重要作用，S.H.Asaad 等［7］建立了正規半群上余模糊理想的相關理論。在以上研究工作的基礎上，我們在非交換剩余格上引入(∈,∈∨q)-余區間值模糊濾子和余區間值模糊濾子，研究了它們的性質和等價條件，得到了它們之間的關系。

1 預備知識

定義1［2］：設(L,∨,∧,?,→,,0,1)是(2,2,2,2,2,0,0)型代數，其中(L,∨,∧,0,1)為有界格，(L,?,1)為非交換幺半群，對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x?y≤z成立當且僅當x≤y→z成立，進而當且僅當y≤xz成立，則稱L為非交換剩余格。

定義2［2］：設L是非交換剩余格，非空集合F?L,如果對于任意的x∈L,y∈L,有（1）x∈F,x≤y?y∈F,（2）x∈F,y∈F?x?y∈F,則稱F 為L 的濾子。

定義3［6］：設L 是非交換剩余格，是從L 到D[0,1]的映射，令f={(x,μf(x))|x∈L},則稱f 為L上的區間值模糊集。由全體區間值模糊集組成的集合記為IFS[L]。

2 (∈,∈∨q)-余區間值模糊濾子

若對于非交換剩余格L 上的區間值模糊集f，有

在本文中，我們做以下假設：對于任意的x∈L,(x)與[0.5,0.5]是可比較的。

定義4 ：設L 是非交換剩余格，f∈IFS(L),稱f 為L 上的余區間值模糊濾子要求以下結論成立：

（1）對于任意的x∈L,y∈L,有

（2）對于任意的x∈L,y∈L,若x≤y,則有

設f∈IFS(L),對于任意的t^∈D[0,1],稱集合={x∈L|(x)≤}為f 在上的下水平集。

例1：設L={0,a,b,c,d,1},0

定理2：若f∈IFS(L),則以下結論等價：

（1）f 為L 上的(∈,∈∨q)-余區間值模糊濾子；

（2）對于任意的x∈L,y∈L,有

（3）對于任意的x∈L,y∈L,有

用類似的方法可以得出結論（1）和結論（3）等價。

證明：證明與定理2 類似，證明從略。

4 結論

在本文中，我們給出了幾類余區間值模糊濾子定義，并得到了如下結論。

若L 是非交換剩余格，f∈IFS(L),令T=∈D[0,0.5]∪D[0.5,1][1,1],為空集或L的濾子，則有以下結論：

（1）當T=D[0,0.5]∪D[0.5,1][1,1]時，f 是L 上的余區間值模糊濾子。

（2）當T=D[0,0.5][0.5,0.5]時，f 是L 上 的(∈,∈∨q)-余區間值模糊濾子。

（3）當T=D[0.5,1][1,1]時，f 是 L 上 的余區間值模糊濾子。