一類禽流感傳染病傳播模型的動力學分析

郭金生 薛梅

摘 要：以H7N9型禽流感為例，根據其傳播具有潛伏期，研究了一類人-禽相互作用的H7N9型禽流感病毒的傳播。針對此類傳染病，構建了一類SI-SEIR型禽流感傳染病傳播的動力學模型，并利用該模型在人、畜環境中的多種病毒之間的相互作用，分析了無病平衡點和地方病平衡點的穩定性，對模型進行動力學分析，得到基本再生數R0。通過Lyapunov穩定性理論和LaSalle不變集原理，對模型的全局穩定性進行了分析，得出以下結論：當基本再生數R0小于1時，模型的無病平衡點全局漸近穩定；當基本再生數R0大于1時，模型的地方病平衡點全局漸近穩定。因此，在已經發生了禽流感疫情的地區，捕殺禽類和減少市場上禽類的流通等措施是杜絕此類傳染病傳播的關鍵。

關鍵詞：動力學模型；動力學分析；基本再生數；全局漸近穩定

中圖分類號：O175.1

文獻標志碼：A

近年來，由于全球范圍內人口的快速增長，以及自然環境變化等各種因素的共同作用，埃博拉出血熱、麻疹、瘋牛病、禽流感等傳染病的蔓延［1］，對人類的身體造成了很大的威脅。 如何預防和控制傳染病一直都是人類面臨的重大課題，如近年來在我國再次出現的H7N9型禽流感病毒。禽流感病毒與人流感病毒有著不同的特點，在正常情況下，它只能在禽類中進行傳播，通常不會傳染給人。郭樹敏等［2-3］建立了具有完全飽和治療率的數學模型，得出藥物治療在控制禽流感病毒擴散方面是可行的，并且在限制藥物劑量的情況下，通過捕殺染病禽類能有效控制病毒在自然界中的傳播。 本文重點在理論上對H7N9型禽流感傳染病模型的動力學展開分析和研究，并在此基礎上，通過構建一類SI-SEIR型禽流感傳染病傳播的動力學模型，對該病毒的傳播規律、感染特性以及其擴散方式等進行分析。

1 模型的建立

因為禽流感病毒的主要傳播途徑是通過染病禽類傳播給人類，且其潛伏期較長，為了研究H7N9型禽流感的傳播規律，可以考慮構建存在長潛伏期的人-禽相互作用的禽流感傳播模型。鑒于禽類群體相對獨立，受感染的人群不會直接對禽類造成威脅，因此有必要優先考慮禽類系統。這里，將禽類系統分為易感和感染兩類，分別用Sn（t）和In（t）表示易感禽類與染病禽類在t時刻的數量，禽類系統的總數量為Nn（t）=Sn（t）+In（t）。在此，對其傳播過程做如下假設：

則其對應的SI型傳染病模型為

然后，對禽流感病毒在人群中的傳播過程進行研究可知，H7N9型禽流感病毒主要是通過染病禽類和人類之間的接觸而傳播，病毒的潛伏期少于一個月。將人群分為易感人群、感染人群、潛伏人群和移除人群4類，將Sn+1（t）、En+1（t）、In+1（t）、Rn+1（t）記為其t時刻的人口數量。記Mn+1（t）=Sn+1（t）+En+1（t）+In+1（t）+Rn+1（t）為t時刻人類總數。假設其傳播過程為

則其對應的SEIR染病模型為

其中，參數具體的詳細說明如表1所示。

綜上，給出如下SI-SEIR人-禽傳染病模型

2 模型的分析

2.1 有界性

研究疾病傳播的生物學意義，假設（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）∈R6+，由模型（3）可得

且其可行域為

定理1 若（Sn（0），In（0），Sn+1（0），En+1（0），In+1（0），Rn+1（0））∈R6+成立，那么式（3）的所有解是一致有界的。

2.2 禽類系統的穩定性分析

定義基本再生數

在R2+中，q0始終存在；當R0>1時，q+存在。

定理2［1］ 若R0<1，則q0在R2+上是全局漸近穩定的；若R0>1，則q+在R2+上是全局漸近穩定的。

證明 首先考慮無病平衡點q0，易得式（1）的Jacobian矩陣為

則在平衡點q0處的Jacobian矩陣為

下面考慮全局穩定。設Lyapunov函數為：

易知，當R0>1時，V′>0，平衡點q0在R2+上是不穩定的；當R0<1時，V′≤0。

顯然，D1={（Sn，In）∈DV′=0}=（S0，0），可知式（1）在D上的最大不變集M只在集合D1中。從LaSalle不變性理論中可知，無病平衡點q0在R2+上是全局漸近穩定的，并且M=（S0，0）。

下面考慮地方病平衡點q+。如果R0>1，則地方病平衡點q+在R2+上存在。又式（1）在平衡點q+的Jacobian矩陣為

可知Jacobian矩陣Jq+的特征方程為

因而，式（1）不存在周期解，由定理1知正平衡點q+在R2+上是全局吸引的，故禽類系統的正平衡點q+在R2+上是全局漸近穩定的。

2.3 平衡點的存在性及穩定性分析

設平衡點為

令Sn（t）=0，In（t）=0，A（t）=0。

計算關于平衡點（S*n，I*n，A*）的Jacobian矩陣為

平衡點E*1的穩定性是由E*1點Jacobian矩陣的特征根確定的，所以若特征根中都存在負實部，則無病平衡點E*1是局部漸近穩定的。

引理1［4］ 當R0<1時，無病平衡點E*1是局部漸近穩定的；當R0>1時，無病平衡點E*1是不穩定的。

定理3［5］ 當R0<1時，無病平衡點E*1是全局漸近穩定的。

2.4 禽類-人類系統分析

定理4［1］ 若R0<1，則p0是局部漸近穩定的；若R0>1，則p0是不穩定的，但p+是局部漸近穩定的。

定理5 若R0<1，式（3）的無病平衡點p0是全局漸近穩定的。

證明 當R0<1時，無病平衡點p0是局部漸近穩定的，且

由定理2，結合極限系統理論［6］，知

即（3）是全局吸引的。故在R0<1時，無病平衡點p0在D0上是全局漸近穩定的。

下面討論式（3）地方病平衡點p+的全局穩定性問題。

引理2［5］ 設（A1）χ是Rn+的一個緊子集，（A2）S是χ的一個緊子集。如果存在P∈C1（χP∈

C1（χ→Rn+），使得

（1） P（x）=0，x∈S；

（2） P′（x）>0，x∈S。

則充分大的T和常數k>0，使得對任意的0χ＼S和t≥T，存在P（x）>k的一個緊子集。

定理6 若R0>1，則式（3）是永久存在的。

證明 由定理1和定理4可知，存在T*，當t>T*時，存在kSn ，kIn ，KSn ，KIn，k及K，使Sn≥kSn，In≥kIn，及k≤N，M≤K。定義

Ω+={（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）Sn≥kSn，In≥kIn，k≤N，M≤K}

DS={（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）Sn≥kSn，In≥kIn，Sn+1=0，k≤N，M≤K}

可知，Ω+是R6+的緊子集，DS是Ω+的緊子集。

令P=S，那么P：Ω+→R+是C1的，當且僅當σ∈DS時有P（σ）=0。此外，對任何σ∈DS有P′（σ）>0。因此，由引理2知，存在正常數kS，使得對任意φ0∈Ω+＼DS，有

結合定理1知，存在KSn+1，使

同理可得，存在ki，Ki（i=En+1，In+1，Rn+1），使

故（3）是永久生存的。

3 初步應用

通過對一些數值進行模擬，研究一類具有突變影響且有潛伏性的人-禽相互作用的H7N9禽流感的傳播；然后進一步驗證以上的理論結果、數學模型的正確性及研究疾病的控制措施。

例1 設初始條件為禽類總數量都為N=1 000，禽類的初始感染者I=300，接觸后傳染的概率β=0.01，禽類的常數輸入率A=2，禽的自然死亡率d=0.1，禽類由病毒引起的死亡率m=0.2；人類的總數量為N=1000，人類的初始感染者I=200，接觸后傳染的概率β=0.03，禽類的常數輸入率B=0.2，人的自然死亡率μ=0.01，人類由病毒引起的死亡率δ=0.1，潛伏者轉化為感染者概率ω=0.001，人的康復概率γ=0.1，則禽類系統的基本再生數R0=0.667<1，人類系統的基本再生數R0=0.286<1。在這組參數下，從圖1和圖2中可以看出，禽流感病毒在禽類中最終走向滅絕，在人類中最終也是趨于滅絕的。

例2 設初始條件為禽類總數量都為N=1 800，禽類的初始感染者I=600，接觸后傳染的概率β=0.5，禽類的常數輸入率A=2，禽的自然死亡率d=0.2，禽類由病毒引起的死亡率m=0.8；人類的總數量為N=18，人類的初始感染者I=6，接觸后傳染的概率為β=0.01，禽類的常數輸入率B=0.2，人的自然死亡率μ=0.001，人類由病毒引起的死亡率δ=0.3，潛伏者轉化為感染者概率ω=0.01，人的康復概率γ=0.3，則禽類系統的基本再生數R0=5>1，人類系統的基本再生數R0=3.328>1。在這組參數下，如圖3和圖4所示，禽流感病毒在禽類系統中可以繼續生存，在人類系統中也會持續存在。 因此，通過利用MATLAB進行數據模擬并作圖，驗證了該模型的合理性和應用性。

4 結論

本文以禽流感為研究對象，通過構建一個既考慮禽類群體動力學因素，又考慮人類群體動力學因素的具有潛伏效應及突變影響的SI-SEIR常微分方程模型，并根據禽類群體和人類群體兩個群體的不同，選取不同群體的發病率。

利用傳染病動力學基本再生數原理，對模型的局部和全局穩定性進行研究。 從計算結果可以看出，該模型的動力學性態是由病毒流行的基本再生數R0來確定。通過對該模型的分析可以得知，在基本再生數R0<1時，無病平衡點漸近穩定，病毒將消亡。當R0>1時，地方病平衡點是全局漸近穩定的，此時禽流感病毒將逐步變成地方病而存在。因此，在已經發生了禽流感疫情的地區，捕殺禽類和減少市場上禽類的流通等措施是杜絕此類傳染病傳播的關鍵［7］。此外，文中所建立的數學模型也存在很多未被考慮到的因素，如溫度、濕度等，這些都將在未來的工作中加以探討。

參考文獻：

[1]趙亞飛. 禽流感傳染病傳播模型的動力學行為分析［D］. 重慶： 重慶理工大學， 2019.

［2］ 郭樹敏， 郭麗娜， 李學志. 具有飽和治療的禽流感動力學模型的研究［J］. 數學的實踐與認識， 2010， 40（3）： 134-137.

［3］ 郭樹敏， 李學志. 一類具有非線性傳染率和有效治療的HIV動力學模型的分析［J］. 韶關學院學報， 2015， 36（10）： 1-4.

［4］ 王紅飛. 一類禽流感傳染病數學模型的動力學行為分析［J］. 中國科教創新導刊， 2009（22）： 39-40.

［5］ 馬知恩， 周義倉， 王穩地， 等. 傳染病動力學的數學建模與研究［M］. 北京： 科學出版社， 2004： 22-89.

［6］ 紀振偉. 狂犬病和禽流感的動力學模型及控制策略研究［D］. 北京： 北京建筑大學， 2018.

［7］ 紀振偉， 許傳青， 崔景安， 等. H7N9型禽流感傳播模型的動力學分析［J］. 北京建筑大學學報， 2018， 34（1）： 64-69.

Kinetic Analysis of a Transmission Model of a Group of

Avian Influenza Infectious Diseases

Abstract：

In this paper， taking avian influenza H7N9 as an example， according to its incubation period， the transmission of H7N9 avian influenza virus with human-bird interaction is studied， and a kinetic model for the spread of SI-SEIR avian influenza is established. Then using the interaction among viruses in human， animal and environment， the stability of the disease free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed， and the basic reproductive number R0 is obtained by kinetic analysis. Through the stability theory of Lyapunov and the principle of LaSalle invariant set， the global stability of the model is analyzed and the following conclusions are drawn： when R0 is less than 1， the disease free equilibrium is globally asymptotically stable; when R0 is greater than 1， the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. Therefore， in areas where avian influenza outbreaks have already occurred， measures such as culling birds and reducing the circulation of birds in the market are key to stopping the spread of such infectious diseases.

Key words：

kinetic model; kinetic analysis; basic regenerative number; global asymptotic stability