以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)，上好數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容

【摘?? 要】問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)與歸宿。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)，助力學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化知識，形成知識脈絡(luò)。數(shù)學(xué)拓展教學(xué)同樣如此。為解決“問題多且瑣碎、問題散且隨意、問題淺且封閉”等教學(xué)問題，教師深度挖掘核心內(nèi)容背后蘊(yùn)含的價(jià)值與意義，提煉核心問題，借助問題鏈理清學(xué)與教的基本脈絡(luò)，以問題鏈驅(qū)動構(gòu)造數(shù)學(xué)拓展教學(xué)的基本框架。由此，學(xué)生得以經(jīng)歷“結(jié)構(gòu)化、層進(jìn)式、可持續(xù)”的問題解決過程，其數(shù)學(xué)理解逐步走向清晰深刻，思維水平不斷向著高階提升。

【關(guān)鍵詞】核心問題；數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容；問題鏈；思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。”教材要“編入介紹與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的重要數(shù)學(xué)概念、思想方法等拓展性內(nèi)容”。因此，教師要基于數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，深度挖掘其價(jià)值意義，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容，這有助于加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性的理解，有助于開闊學(xué)生的認(rèn)知視野，使學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，小學(xué)數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容可以涵蓋對教材中某一重要數(shù)學(xué)概念的根源探究、對某一單元主題知識的擴(kuò)充延伸研究、對特定學(xué)習(xí)重難點(diǎn)的深入挖掘開發(fā)，以及對某一數(shù)學(xué)思想方法的滲透與應(yīng)用等。為實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，數(shù)學(xué)拓展教學(xué)要聚焦核心內(nèi)容，通過問題統(tǒng)領(lǐng)和任務(wù)驅(qū)動，為學(xué)生提供充足的探究空間。這有助于引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，全面深入地理解一類問題，從而使課堂教學(xué)更為簡約高效，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，提升其數(shù)學(xué)思維水平。

一、在課堂觀察中找準(zhǔn)數(shù)學(xué)教學(xué)的問題

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)與歸宿?？v觀教育歷史，無論是孔子的“啟發(fā)式教學(xué)”還是蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，都突顯了問題設(shè)置在教學(xué)中的重要性。然而，通過課堂觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師引領(lǐng)學(xué)生思考的問題質(zhì)量普遍不高。具體表現(xiàn)在以下三個方面。

（一）多——問題瑣碎，學(xué)生的思考空間不足

問題作為教學(xué)的載體，對推動學(xué)生思維發(fā)展具有重要作用。但從課堂觀察來看，部分教師的課堂提問頻次較高，一堂課中提出問題的數(shù)量多達(dá)四五十個，學(xué)生疲于應(yīng)對。與此同時，問題的思維含量卻不高。課堂氣氛看似熱鬧，其實(shí)學(xué)生不需要經(jīng)過太多思考，就能輕輕松松地進(jìn)行解答。這樣瑣碎的問題設(shè)計(jì)，無法給予學(xué)生足夠的思考空間，未能有效促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，反而可能使他們滋生思維惰性。因此，教師需要重新審視和改進(jìn)教學(xué)方式，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神。

（二）散——問題隨意，知識的本質(zhì)指向不明

著名科學(xué)家加波普爾提出：科學(xué)與知識的增長，永遠(yuǎn)始于問題。但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師提問時較為隨意，沒有對問題進(jìn)行科學(xué)的設(shè)計(jì)與組織，導(dǎo)致問題未能明確指向知識的本質(zhì)。換言之，這些問題未能從深度和廣度上充分揭示知識的內(nèi)涵，問題之間也缺乏必要的邏輯聯(lián)系。這導(dǎo)致學(xué)生盡管回答了許多問題，也很難形成清晰的知識體系。受此影響，教學(xué)很容易偏離既定目標(biāo)，教學(xué)效果自然不盡如人意。

（三）淺——問題封閉，難以引發(fā)深度思考

思維源自問題，好的問題能引發(fā)學(xué)生的深度思考。但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師對教材內(nèi)容缺乏深入研讀，提出的問題往往浮于表面，難以引發(fā)學(xué)生的深度思考。這種封閉式的問題，忽略了知識內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，不利于學(xué)生形成對知識的整體性建構(gòu)。而就題論題的提問方式，又忽視了教材所蘊(yùn)含的深層次價(jià)值，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)碎片化、淺層化，無法為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)提供有力支持。

上述現(xiàn)象反映出當(dāng)前數(shù)學(xué)拓展教學(xué)在提煉“核心問題”和思考“適切問題”方面存在不足。為此，筆者所在團(tuán)隊(duì)積極探索研究以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的拓展教學(xué)。一方面立足當(dāng)下的課堂學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生更好地獲得“四基”，發(fā)展“四能”；另一方面著眼于學(xué)生未來的素養(yǎng)發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，包括質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索等思維品質(zhì)。

二、以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)拓展教學(xué)設(shè)計(jì)

張奠宙教授提出，數(shù)學(xué)教學(xué)原則可以概括為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則、適度形式化原則、問題驅(qū)動原則和滲透數(shù)學(xué)思想方法原則?！昂诵膯栴}”可依據(jù)以上原則確立。教師在深入研究教材的基礎(chǔ)上，緊扣教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，精心構(gòu)建一系列既相互獨(dú)立又相互關(guān)聯(lián)的核心問題，進(jìn)而形成具有內(nèi)在邏輯性與整體性的問題鏈。以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)拓展教學(xué)，旨在激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)他們主動探究、體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)構(gòu)建及數(shù)學(xué)能力的全面提升。

小學(xué)數(shù)學(xué)拓展教學(xué)以“學(xué)為中心”理念為指導(dǎo)，聚焦核心內(nèi)容，從中提煉出一系列核心問題。在此基礎(chǔ)上，又將每個核心問題進(jìn)一步細(xì)化為若干驅(qū)動性子問題。由此整體推進(jìn)學(xué)生對核心內(nèi)容的深入探究，全面達(dá)成拓展教學(xué)所設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)（如圖1）。

數(shù)學(xué)拓展教學(xué)具有趨同性與特異性。趨同性強(qiáng)調(diào)從低起點(diǎn)出發(fā)，通過不斷努力，逐步走向深度學(xué)習(xí)。特異性則重視學(xué)生間的個體差異，旨在促使不同學(xué)生實(shí)現(xiàn)各自在數(shù)學(xué)上的發(fā)展。這種拓展教學(xué)有助于推動學(xué)生的思維水平從低階的領(lǐng)會水平邁向應(yīng)用水平，進(jìn)而躍至高階的分析、綜合與評價(jià)水平，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的進(jìn)階與核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)拓展教學(xué)策略

以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)拓展教學(xué)需要深度挖掘核心內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值與意義，以核心問題鏈為基本脈絡(luò)構(gòu)建學(xué)與教的基本框架，使學(xué)生在經(jīng)歷“結(jié)構(gòu)化、層進(jìn)式、可持續(xù)”的問題解決過程中，不斷深化對數(shù)學(xué)的理解，逐步提高思維水平。

（一）提煉核心問題，從問題走向問題鏈

核心問題是指針對教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)所提出的關(guān)鍵問題。它不僅指向知識的本質(zhì)，還具備提綱挈領(lǐng)的作用?？梢?，核心問題是學(xué)生思考的腳手架、知識學(xué)習(xí)的大綱。每個核心問題都能形成一個學(xué)習(xí)板塊，并通過細(xì)化拆分，形成一節(jié)課或某一環(huán)節(jié)的“問題鏈”。這種鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)有助于學(xué)生深入理解知識，實(shí)現(xiàn)知識的整體建構(gòu)。

1.精準(zhǔn)確定核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)核心問題主鏈

為確保問題具有針對性，教師需要深入研究教材，通過縱向梳理和橫向?qū)Ρ龋逦莆战滩牡木幣朋w系與編排意圖，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，精準(zhǔn)把握其學(xué)習(xí)起點(diǎn)和學(xué)習(xí)時可能存在的疑點(diǎn)與盲點(diǎn)。

例如，“正方形數(shù)的學(xué)問”教學(xué)的核心內(nèi)容為正方形數(shù)，包括“以數(shù)表形”和“以形驗(yàn)數(shù)”兩個方面。據(jù)此，筆者設(shè)計(jì)了以下三個核心問題。

核心問題1：什么是正方形數(shù)？

核心問題2：正方形數(shù)有什么變化規(guī)律？

核心問題3：正方形數(shù)之間有什么關(guān)系？

這三個核心問題是基于正方形數(shù)這一核心內(nèi)容設(shè)計(jì)的，既具有思考空間，又層層遞進(jìn)，有助于學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)正方形數(shù)的意義以及知識間的聯(lián)系。

2.形成子問題鏈，構(gòu)建完整的問題鏈框架

問題鏈?zhǔn)墙虒W(xué)思路的具體體現(xiàn)，具有較強(qiáng)的可操作性。設(shè)計(jì)問題鏈時，一般要遵循從整體到局部的原則，先構(gòu)建統(tǒng)領(lǐng)整節(jié)課的主問題鏈，再將每個核心問題進(jìn)行拆解，形成各環(huán)節(jié)的子問題鏈。

例如，在“正方形數(shù)的學(xué)問”教學(xué)中，核心問題2“正方形數(shù)有什么變化規(guī)律？”起著承上啟下的作用。它既是對核心問題1“什么是正方形數(shù)？”的進(jìn)一步深化，也是后續(xù)探究核心問題3“正方形數(shù)之間有什么關(guān)系？”的基礎(chǔ)。因此，筆者從學(xué)生的角度出發(fā)，將核心問題2具體化為：“一個正方形數(shù)，至少增加多少才能成為一個新的正方形數(shù)？”并在此基礎(chǔ)上，將其進(jìn)一步細(xì)化拆解為以下三個子問題。

子問題1：正方形數(shù)“1”至少需要加幾才能成為一個新的正方形數(shù)？

子問題2：這個數(shù)繼續(xù)加幾，又能形成一個新的正方形數(shù)？

子問題3：從中你們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

這三個子問題驅(qū)動學(xué)生的數(shù)學(xué)活動逐步深入，不僅決定了一節(jié)課的走向，還映射了學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。

3.梳理問題序列，優(yōu)化問題鏈設(shè)計(jì)

構(gòu)建問題鏈框架后，教師需認(rèn)真分析與研判以下幾個問題：問題鏈的邏輯性是否符合問題解決過程的邏輯結(jié)構(gòu)？問題鏈的整體性是否與數(shù)學(xué)學(xué)科體系結(jié)構(gòu)保持一致？每一個問題本身是否符合科學(xué)性、清晰性和合理性的要求？以便學(xué)生能夠明確理解問題的本質(zhì)和求解的方向。在此基礎(chǔ)上，教師梳理問題序列，優(yōu)化完善問題設(shè)計(jì)，使問題鏈更具策略性與可操作性，在內(nèi)容上層層深入，在思維上實(shí)現(xiàn)進(jìn)階。

以“正方形數(shù)”的教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師通過分析拆解核心問題，精心預(yù)設(shè)子問題鏈，構(gòu)建了完整的問題鏈框架（如圖2）。

在這一問題鏈構(gòu)架中，橫向的核心問題緊扣“正方形數(shù)”這一核心內(nèi)容，形成具有較大思考空間的主問題鏈；縱向的子問題鏈則助力學(xué)生實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識體系的整體建構(gòu)。

（二）關(guān)注不同類型的問題鏈，引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展

教育的本質(zhì)是培養(yǎng)思維，培養(yǎng)思維的最好場所是課堂。教師需要整體把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過提煉核心問題，設(shè)置問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探索以及合作交流。這樣的教學(xué)方式能夠促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，推動其思維向更深層次、更廣層面、更靈活的方向發(fā)展，從而使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和解決現(xiàn)實(shí)問題。

1.遞進(jìn)式問題鏈：由淺入深，推進(jìn)學(xué)生思維的深度

遞進(jìn)式問題鏈?zhǔn)且罁?jù)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過正向或逆向思維方式設(shè)計(jì)的層層遞進(jìn)的問題串，各問題之間具有嚴(yán)密的邏輯性和層次性。在遞進(jìn)式問題鏈的引導(dǎo)下，學(xué)生對問題的思考逐步深入，思維的深刻性獲得提升。

例如，“乘積最大的秘密”教學(xué)的核心問題依次為：①兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大是多少？②三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大是多少？③多位數(shù)乘多位數(shù)的乘積最大是多少？（如圖3）這三個問題由淺入深，逐步引領(lǐng)學(xué)生探究乘積最大的秘密。學(xué)生則在依次解決這些問題的過程中，不斷加深對乘法意義本質(zhì)的理解。這樣的探究過程拓展了知識的外延，促使學(xué)生的思維不斷向深處延伸，提升了學(xué)生解決問題的能力。

2.并列式問題鏈：由聚到散，拓寬學(xué)生思維的廣度

思維的條理性源于問題的結(jié)構(gòu)化。教師要引導(dǎo)學(xué)生對模糊、無序的問題進(jìn)行梳理與提煉，明晰教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系與區(qū)別，形成結(jié)構(gòu)化的并列式問題鏈，從而使學(xué)生思考問題的角度更加全面、路徑更加清晰。

例如，在教學(xué)“折線統(tǒng)計(jì)圖的再認(rèn)識”時，教師對教材中的相關(guān)練習(xí)題進(jìn)行梳理，從中提煉出指向概念本質(zhì)的并列式問題鏈（如表1）。由此驅(qū)動學(xué)生展開自主探究，幫助學(xué)生將原本孤立的知識點(diǎn)融合在一起，形成一個縱橫交錯、脈絡(luò)清晰的思維結(jié)構(gòu)，從而拓寬學(xué)生思維的廣度。

在這一問題鏈的指導(dǎo)下，學(xué)生將折線統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而在圖形的選擇、信息的對比以及數(shù)據(jù)的分析中，逐步明確“離散數(shù)據(jù)”與“連續(xù)數(shù)據(jù)”之間的根本區(qū)別，不斷提升自身的認(rèn)知能力，完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而逐步建立結(jié)構(gòu)化的思維模式。

3.遷移式問題鏈：由此及彼，提升學(xué)生思維的靈活度

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是在原有知識基礎(chǔ)上不斷擴(kuò)展和深化的過程。這就要求教師必須緊密結(jié)合學(xué)生的既有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)遷移式問題鏈，引領(lǐng)學(xué)生擺脫思維定式，激發(fā)創(chuàng)新思維，從而生成新問題、形成新思考、獲得新發(fā)現(xiàn)，由此及彼，提升思維的靈活度。

例如，學(xué)生在五年級上冊學(xué)習(xí)了“小數(shù)乘法”和“小數(shù)除法”之后，能依據(jù)加減乘除的運(yùn)算意義列出算式，并根據(jù)算法進(jìn)行小數(shù)四則運(yùn)算，但對于四則運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系和一致性，卻缺乏深入的理解。為此，筆者進(jìn)行了“小數(shù)四則運(yùn)算的再認(rèn)識”教學(xué)研究。首先，引導(dǎo)學(xué)生探究“小數(shù)加減法之間有什么聯(lián)系”，幫助他們認(rèn)識小數(shù)加減法算理的一致性，即求“有幾個相同的計(jì)數(shù)單位”。其次，引導(dǎo)學(xué)生借助猜想、驗(yàn)證、辨析等數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法同樣是在求“有幾個相同的計(jì)數(shù)單位”，但計(jì)數(shù)單位會發(fā)生變化，從而深入感悟小數(shù)乘法計(jì)數(shù)單位變化的內(nèi)在邏輯。最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移思考：小數(shù)除法還是求“有幾個相同的計(jì)數(shù)單位”嗎？在這一系列對小數(shù)四則運(yùn)算的關(guān)聯(lián)與比較中，學(xué)生感悟到數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會到數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，發(fā)展了結(jié)構(gòu)化思維，提升了運(yùn)算能力和推理意識。

數(shù)學(xué)拓展教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)性理解、概括性思維、批判性思維和創(chuàng)新性思維等高級思維能力。教學(xué)時，教師借助問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生開展比較、歸納、遷移等思維活動，由此不斷拓展和延伸其思維“觸角”，使其實(shí)現(xiàn)思維能力的進(jìn)階和提升。

（三）依托問題鏈，展開“板塊推進(jìn)”式教學(xué)

佐藤學(xué)教授提出：課程設(shè)計(jì)越簡單越好，如果要點(diǎn)過多，教師往往會專注于自己是否達(dá)成目標(biāo)，而忽略了孩子的反應(yīng)。因此，實(shí)施問題鏈驅(qū)動策略的關(guān)鍵在于提煉出核心問題，以核心問題構(gòu)成學(xué)習(xí)活動的基本板塊，再通過各個子問題鏈驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行深度思考和全面探究，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。這樣的教學(xué)摒棄了傳統(tǒng)“線性串聯(lián)”的教學(xué)方式，轉(zhuǎn)向“板塊推進(jìn)”的探究方式，使課堂不再受到固定流程的束縛，而是展現(xiàn)出更為豐富多元的過程。

綜上，以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)拓展教學(xué)，能有效解決當(dāng)前課堂中教師提問多、散、淺，學(xué)習(xí)活動缺乏聚焦、邏輯不強(qiáng)、深度不足等問題。既有助于教師明確學(xué)習(xí)主線，簡化課堂教學(xué)，又有助于學(xué)生聚焦學(xué)習(xí)主題，深化數(shù)學(xué)理解，理清學(xué)習(xí)思路，提升思維水平。不過，在實(shí)施拓展教學(xué)策略的過程中，也會遇到一些新的挑戰(zhàn)。這就要求教師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特性和學(xué)生思維的特點(diǎn)，精準(zhǔn)把握核心問題，明確教學(xué)的主次關(guān)系，以高屋建瓴的姿態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考、自主探究和主動建構(gòu)，逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。

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（浙江省杭州市錢塘區(qū)教師教育學(xué)院）

*本文系2022年浙江省教研課題“問題鏈：大概念統(tǒng)攝下‘一題一課教學(xué)的區(qū)域探索”（課題編號：G2022013）的階段性研究成果。