整體建構多向關聯 核心問題分層進階

【摘?? 要】問題序列能有效鏈接知識概念，引發學生的認知沖突，并為探究路徑奠定基礎，從而促進學生對相關知識概念的深度理解和知識結構的建立。以“圓的再認識”的教學為例，通過“單元整體解讀，聚焦本質關聯；把握學情特征，明確目標定位；提煉核心問題，思維分項進階”的問題鏈驅動式教學策略，能引領學生的學習不斷走向深處，進而發展學生的高階思維。

【關鍵詞】問題鏈；多向關聯；分層進階

在實際教學中，不少教師在課堂上提出的問題或多或少都存在瑣碎、隨意、封閉等問題，導致數學本質指向模糊以及知識鏈接斷裂，進而使學生的思維空間受限。為解決這些問題，筆者所在團隊積極探索構建問題鏈的有效方式，以促進學生的深度學習并構建結構化認知。

問題鏈是教師根據教學內容和教學目標，精心提煉出核心問題及其驅動性子問題，從而形成的具有邏輯關聯的問題序列。這樣的問題序列能有效鏈接知識概念，引發學生的認知沖突，并為探究路徑奠定基礎，從而促進學生對相關知識概念的深度理解和知識結構的建立。下面以“圓的再認識”的教學為例，具體闡述問題鏈的生成、架構以及在教學中的應用。

一、單元整體解讀，聚焦本質關聯

中國古代數學著作《周髀算經》中說：“圓出于方。”這揭示了圓與方之間的內在關系。這里的“方”指正方形，有兩種解釋：一是以正方形對角線的中點為圓心旋轉對角線，即可得到圓（如圖1）。二是通過不斷切去正方形的角，將其逐漸轉化為邊數更多的正多邊形。隨著邊數的增加，其形狀逐漸逼近圓（如圖2）。這兩種解釋都揭示了正多邊形與圓之間的關聯，也為認識圓提供了教學思路。

目前多個版本的教材都對正多邊形與圓的關系進行了深入探討。其中，人教版教材和蘇教版教材都提及了劉徽的割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”意思是不斷增加正多邊形的邊數，使其從正六邊形逐漸變化為正十二邊形、正二十四邊形等。當邊數趨于無窮時，正多邊形的形狀將無限接近圓（如圖3），從而求得圓周率的近似值是3.14。而北師大版教材則引用了阿基米德的研究，通過對比圓的外切正多邊形和內接正多邊形，進一步驗證了“圓內接正多邊形邊數增加時，其面積逐漸逼近圓的面積”（如圖4）。

在教學中，教師可以引導學生沿著古人的研究路徑，自主發現正多邊形與圓之間的這種緊密聯系。同時，鼓勵學生深入探究正多邊形變化過程中周長和面積的變化規律。在后續的教學中，教師還可以引導學生利用劉徽的割圓術來探究圓周率，進而計算圓的周長。利用阿基米德的研究，進一步說明“圓內接和外切正多邊形的邊數越多，其面積越大，而圓的面積則是最大的”。

二、把握學情特征，明確目標定位

問題的來源不應僅限于教材，還應緊密關聯學生的學習基礎和經驗。教師需要根據學生的認知特點，明確教學目標，提煉核心問題。為此，筆者設計了相關的前測題，用以檢測學生的認知起點。

（一）對正多邊形的認知

【前測題1】下列哪些圖形是正多邊形？你認為怎樣的圖形是正多邊形？

從測試結果來看，大部分學生能夠準確識別正多邊形，部分學生還從邊的長度和角的角度對正多邊形進行了思考。盡管他們尚不能準確描述正多邊形的定義，但已對正多邊形有了初步的認識。

（二）對圓的數學史的了解

【前測題2】你知道有哪些數學家研究過與圓相關的內容嗎？他們分別有什么成就？

從測試結果來看，大部分學生僅知道祖沖之（如圖5），對其他數學家，如劉徽、阿基米德等，則知之甚少。這表明學生對數學史的了解相對有限，需要教師引導他們接觸更多的數學文化。

（三）對正多邊形與圓關系的認識

【前測題3】你認為正多邊形和圓之間有聯系嗎？如果有，請簡單說一說。

測試結果顯示，有12.8%的學生聯想到了方中圓（外方內圓）和圓中方（內方外圓）的情況。近三分之一的學生提到了圓與正多邊形的某種聯系（如圖6）。然而，他們主要關注的是兩者的外部特征，因此還需要通過活動引導他們關注兩者內部的結構關聯，深化他們對極限思想的理解。

基于教材研讀和學情分析，確立本內容的教學目標如下。

（1）通過比較正多邊形與圓，發現它們之間的內在聯系，建立平面圖形的知識結構，并在圖形的演變中感悟極限思想。

（2）在使用直尺畫圓、尋找正多邊形邊的過程中，運用正多邊形與圓的關系解決實際問題，想象圖形的變化，了解數學在現實生活中的應用，體會數學之美。

（3）了解圓的研究發展歷史，感受古人的智慧，感悟數學文化，掌握科學的數學學習方法。

三、提煉核心問題，思維分項進階

教師通過教材解讀和學情分析，明確本內容的研究主題：正多邊形與圓有什么聯系？進一步提煉出三個核心問題，并將這些核心問題分解為一系列具有驅動性的子問題（如表1），促進學生的思維不斷進階，學習逐步走向深處。

在研究主題下，核心問題呈現出遞進式關系，促進學生思維從感知向領悟、內化進階。而核心問題下的驅動性子問題既呈現遞進式關系，又存在并列式關系，共同促進研究主題的落實。

（一）在分析想象中感知正多邊形與圓的聯系

在探究正多邊形與圓之間聯系的過程中，教師需要幫助學生在頭腦中形成幾何圖形的表象。只有建立豐富的表象，才能進行幾何圖形的特征探究。而表象的形成離不開分析與想象。

【核心問題1】正多邊形與圓有關聯嗎？

● 驅動性子問題：將圓周等分，依次用線段連接等分點，會形成什么圖形？

教師出示一個圓，引導學生想象：圓上有3個點，將圓周等分成了3份。依次連接這3個點，會得到什么圖形？學生反饋是正三角形。教師順勢引導學生利用正三角形尋找圓的圓心與半徑，接著繼續提問：“若將圓四等分、五等分、六等分呢？”

● 驅動性子問題：能求出圓內接正多邊形的周長與面積嗎？

教師出示兩個問題：①如果圓的直徑是d，正方形的面積是多少？②如果圓的直徑是d，正六邊形的周長是多少？（兩題任選其一）

學生反饋：正方形可以分成2個高是[d2]、底是d的三角形，從而求出它的面積是[d2]×d÷2×2=[d22]（如圖7）；正六邊形可以分成6個邊長為[d2]的正三角形，從而求出它的周長是[d2]×6=3d（如圖8）。

在解決問題的過程中，學生發現圓內接正多邊形與圓之間確實存在緊密的聯系。在此基礎上，教師引導學生繼續想象：如果將圓周十二等分、二十四等分，依次用線段連接等分點后將會得到什么圖形？繼續分割下去又會發生什么變化？學生發現：正二十四邊形已經很像一個圓。若繼續分割，將逐步接近圓形。

通過對圓的不斷分割，學生從有限思考拓展到無限想象，從而得到極限思想的滲透與空間觀念的培養。而計算圓內接正多邊形的周長與面積，進一步展現了正多邊形與圓的結構化聯系。學生通過充分的想象與計算，初步認識到正多邊形與圓的聯系。

（二）在關聯類比中領悟正多邊形與圓的聯系

建立豐富的表象是探究幾何圖形特征的前提。教師要引導學生自主探究正多邊形與圓的特征，并關注這些特征在正多邊形變化過程中的變動，進一步感悟幾何圖形之間的聯系。

【核心問題2】隨著邊數的增多，正多邊形會發生哪些變化？

在邊數逐漸增加的過程中，除形狀外，正多邊形的面積、周長、對稱軸等都會發生相應的變化。教師要引導學生自選其中一個方面進行探究，進一步感受正多邊形與圓的聯系。

● 驅動性子問題：正多邊形的面積有哪些變化？

對比正多邊形與外接圓的面積，學生發現：外接圓與正多邊形之間空白部分的面積逐漸減小，因而正多邊形的面積逐漸增大（如圖9）。教師適時提問：“正多邊形的面積會無限增大嗎？”

● 驅動性子問題：正多邊形的周長有哪些變化？

通過圖形測量、計算、歸納、概括，學生發現：隨著邊數的增多，正多邊形的周長越來越長，逐步逼近圓的周長（如表2）。

● 驅動性子問題：正多邊形的對稱軸有哪些變化？

通過畫圖與想象，學生發現：正多邊形有多少條邊就有多少條對稱軸。隨著正多邊形邊數的增多，其對稱軸數量也逐漸增多。而圓有無數條對稱軸，且這些對稱軸均位于直徑所在的直線上（如圖10）。

圖10

基于此，教師用微視頻介紹劉徽的割圓術：劉徽通過極限思想，把圓分割成3072份，最終得到圓周率的近似值3.14，為圓周長和面積的計算作出了巨大貢獻。

實際上，正多邊形與圓的關聯遠不止于此，還有從中心點到頂點的距離均相等等。教師可以引導學生通過對對稱軸的探究，進一步認識圓的對稱性。同時，在周長與面積的變化過程中，再次深入滲透極限思想，為學生后續學習圓周率與圓面積奠定思維基礎。

（三）在應用操作中內化正多邊形與圓的聯系

具身操作是內化知識最好的方式。將正多邊形與圓的聯系用于解決問題，可以促進學生對知識的正向遷移與內化，使學生的思維水平從結構關聯走向抽象擴展。

【核心問題3】如何應用正多邊形與圓的關系解決問題？

● 驅動性子問題：你能利用正多邊形與圓的關系，只用直尺畫圓嗎？

教師引導學生思考：怎樣只用直尺通過不同的方法畫圓。學生反饋：一種方法是根據圓有無數條對稱軸畫圓；另一種方法是根據“圓出于方”，先畫一個正方形，然后不斷切割正方形的角，使正多邊形的邊數越來越多，進而“形成圓”。

無論是哪種方法，都體現了學生對圓更深入的理解和應用。學生在逆向運用圓與正多邊形關系的過程中，體會到圓與其他平面圖形的聯系，并在操作過程中將所學知識付諸實踐，從而體會到數學學習的魅力。

● 驅動性子問題：正多邊形的頂點兩兩相連，會變成什么圖形？

教師出示相關圖形，并引導學生觀察想象：如果邊數繼續增加，圖形會發生什么變化？通過動態呈現圖形的變化（如圖11），驗證了正多邊形與圓之間的緊密聯系。

教師引導學生在解決問題中兩次應用正多邊形與圓的聯系，將它們的關聯進行內化，并繼續滲透極限思想，引導學生想象，引發學生的認知沖突，讓學生將正多邊形與圓再次進行關聯，從而感悟數學的魅力與美學。

雖然正多邊形與圓在本質上是兩種截然不同的幾何圖形——一種是直線圖形，另一種是曲線圖形，但教師可以從數學史的視角出發，引導學生重走古人的探索之路，將這兩種圖形進行關聯。這不僅能滲透極限思想，提升學生的空間想象力，還有助于促進學生對知識的結構化理解。而這種結構化理解可以為學生后續學習圓周率及圓的面積奠定思維基礎。在教學設計上，筆者所在團隊則嘗試運用問題鏈驅動的方式，引導學生在學習過程中自主提問、自主探究、自主解決問題，從而形成一種自主學習的范式，以提高學生的學習能力。

參考文獻：

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（浙江省杭州市錢塘區臨江新城實驗學校）