落實主體地位 構建生命課堂

周曉琳

在數學學習過程中，學生常用“枯燥”、“抽象”、“難學”來評價數學學習，表現為學習興趣不高，學習效率低下.出現這一現象大多與教師的教學相關，不少教師的課堂教學，常常獨占課堂，忽視學生的主體地位，使得學生在課堂上不能表達自己的所思、所想，限制學生學習能力和思維能力的發展.因此，在數學教學中，教師要將課堂還給學生，充分發揮學生的主體價值，以確保促進學生全面發展的數學教學目標的落實.本文筆者以一道解析幾何題的教學為例，談談如何將課堂還給學生，提升教學有效性的一些思考.

一、問題呈現

120°時，求證：（i）點P一定在經過A、B、C三點的圓M上；（ii）PA=PB+PC.

二、教學過程

1.互動交流，啟迪思維

師：若想證明一點在一定圓上，常用的方法有哪些？

生1：證明該點到圓心的距離等于半徑.

生2：證明該點的坐標適合圓的方程.

師：還有其他方法嗎？

生3：證明凸四邊形的對角互補.

師：非常好，生1和生2的方法本質上是一致的，接下來請大家選擇適合自己的方案給出分析過程.

設計意圖：教學中，教師將問題進行拆分，首先讓學生思考證明一點在一定圓上的方法，以此降低思維難度，喚醒學生的原認知，幫助學生探尋解題的突破口.

2.交流展示，拓寬視野

教學中，教師預留充足的時間讓學生獨立思考，并讓學生選擇適合自己的解題方案.幾分鐘后，大多數學生已經形成解題思路，教師重視展示學生的解題方法.

師：誰來說一說，你是如何證明點P一定在經過A、B、C三點的圓M上的呢？

師：很好，還有其他方法嗎？

生5：我是用生3的思路證明的.由β－α=120°可知，點P在x軸下方，如圖1，只需要證明∠BAC+∠BPC=180°即可.由已知可知∠BCP=α，∠CBP=180°－β.所以∠BPC=180°－（∠BCP+∠PBC）=180－（α+180°－β）=β－α=120°，又因為ΔABC是正三角形，所以∠BAC=60°，所以∠BAC+∠BPC=180°，問題獲證.

師：很好，生4是將幾何問題代數化，根據已知將α、β轉化為正切函數，通過證明點P的坐標適合圓的方程，證明了結論；生5直接運用幾何法解決問題，通過“對角互補的四邊形一定是圓的內接四邊形”這一性質，證明了結論.這樣從“數”和“形”兩個角度解決問題，彰顯了數形結合的魅力.

設計意圖：教學中，教師尊重學生、相信學生，鼓勵學生運用自己喜歡的方式解決問題，充分體現了以生為本的教學理念.同時通過互動交流，拓寬學生的視野，豐富學生的基本活動經驗，提高學生分析和解決問題的能力.

3.小組合作，激發思維

經歷以上自主探究過程，學生的學習興致高漲，教師將主動權交給學生，引導學生通過小組合作的方式共同探究（ii）的解法.教師預留時間讓各小組充分交流，然后展示學生的交流成果.

師：如何證明PA=PB+PC？你想如何表示線段PA、PB、PC的長度呢？

生6：運用兩點間的距離公式可以分別表示它們的長度.

生7：也可以將線段長度放在三角形中，運用正、余弦定理表示.

師：大家都說得非常好，請各組結合上面的分析，給出具體解法.

（學生積極運算、積極交流，課堂氛圍活躍）

師：很好，該方法思路簡單，易于理解，不過對運算能力的要求較高，大家在計算時一定要細心.還有其他方法嗎？

生11：我是將PA、PB、PC放在三角形中研究，利用正弦定理來處理.

生13：我是利用幾何法證明的.

如圖3，在線段PA上截取PD=PC.因為ΔABC是正三角形，所以有∠ABC=60°.根據同弧所對圓周角相等，易證∠PAC=PBC，∠DPC=60°，又PD=PC，所以ΔDPC也為正三角形.所以DC=PC，∠PDC=60°，∠ADC=120°，又因為β－α=120°，所以∠BPC=120°，∠BPC=∠ADC，圖3∠ACD=∠BCP，又AC=BC，DC=PC，所以ΔADCΔBPC，AD=PB，又PD=PC，所以PA=AD+PD=PB+PC.

師：能想到用初中所學的截長補短法來證明，非常棒.對于同一題目，從不同角度觀察，往往會得到不同的結果，在平時練習中，我們要嘗試從不同角度去分析，這樣往往可以獲得柳暗花明的效果.

設計意圖：教學中，教師啟發學生以“長度的表示”這一核心知識點為抓手，尋求不同的解決方案.學生通過交流分別從代數、三角、幾何的角度解決了問題，充分展示了解題方法的多樣性.在此過程中，教師讓學生以小組為單位，通過相互啟發、相互補充，讓不同思維碰撞出火花，順利地突破了這一難點問題，促進了學生解題能力的提升和思維能力的發展.

三、教學思考

在本案例教學中，教師相信學生，放手讓學生思考、交流、實踐，使課堂呈現了勃勃生機，讓學生充分體會了數學探究的興趣，使學生的自信心和實踐能力得到了有效的鍛煉，有利于發展學生的綜合能力和綜合素養.

事實上，真正有效的課堂離不開學生的參與，教學中要提供機會讓學生多參與活動，而不是教師在講，學生在聽.教師要變“主宰”為“主導”，既要提供時間和空間讓學生獨立思考和合作交流，也要給予適時的指導，讓學生充分體驗成功的快樂，增加學生對數學的熱愛，提升課堂教學效果.

總之，在課堂教學中，尤其在解題教學中，不應該是直接講授，更多的應該是啟發和點撥，將思考、展示、交流的空間還給學生，讓學生真正地走進數學課堂，獲得可以持續學習的必備品格和關鍵能力，提升學生數學核心素養.