泰勒級數視域下函數極值判別的“原點”與“遠點”

1.問題呈現——于平凡處見不凡

隨著新高考的實施，若干年來超越函數、lnx與帶參二、三次函數的綜合題霸占壓軸題位置的慣例被逐漸打破，函數導數與三角函數相結合的試題逐漸成為新高考壓軸題的常客，2023年新高考Ⅱ卷壓軸題中的函數便是由帶參三角函數與對數型函數復合而成.

題1 （2023年新高考Ⅱ卷第22題）（1）證明：當0

（2）已知函數f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍．

試題第（1）問源于教材中對不等式sinx

2.解法探究——于無疑處仍有疑

對于任何復雜的問題，解題的思維都是建立在概念理解的基礎上的，沒有概念的指引就是“盲人騎瞎馬”.對于函數極值的概念，普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（人教A版）第90頁是以圖形為主用描述性定義給出的，根據函數極值的定義，函數極值點有如下判別法.

函數值判別法：如果函數f（x）在點x0的附近有定義，且左右兩側附近的函數值都滿足f（x）f（x0）），則函數f（x）在點x0處取得極大（小）值.

一階導數判別法：如果函數f（x）在點x0的附近有定義，且在x0附近的左側f′（x）>0（f′（x）<0），右側f′（x）<0（f′（x）>0），則函數f（x）在點x0處取得極大（小）值.

說明：基于高中生對函數的認知，我們假定本文中的函數f（x）在極值點處都是n階可導的.

在學習中，學生處理極值問題積累的活動經驗普遍傾向于一階導數判別法，即認為判別函數極值的關鍵是研究函數的一階導函數在極值點左右的正負性，這種規范化的思維品質是清晰嚴謹的.但作為壓軸題，題1在規范化解答路線上設置了兩處挑戰：一是函數中含有的三角函數，增加了函數的“波動性”，進而增加了對導函數符號判斷的復雜性；二是函數中含有的參數，增加了函數的“模糊性”，進而增加了對導函數符號判斷的不確定性.

題意.

上述解法首先結合函數的性質（奇偶性），對參數進行分類討論，將不確定性問題轉化為確定性問題來處理.其次結合試題逐步遞進的特征，借助第（1）中的結論，利用放縮在導函數中實現“去三角化”來解決.雖然學生對于這樣的規范化解答能夠充分理解，但在實際求解過程中往往很難完整解答，甚至都無法給出最終答案，其根本原因是學生于無疑處仍有疑，其疑惑主要集中在以下兩點：一是解法1中參數a2與常數2進行討論的根據從何而來？二是對于涉及函數極值的具體問題，是否只能運用一階導數判別法來處理，函數值判別法是否不具備實際可操作性？

針對以上疑惑，筆者通過泰勒級數理論，回歸到函數極值判別最初的原點——函數值判別法，來揭開解法1中參數討論依據的神秘面紗.

3.逐本溯源——于原點處現原形

在高等數學中，泰勒級數用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得，具體形式如下：

若函數f（x）在點x0的某鄰域（x0－δ，x0+δ）內

以下是幾個常見函數在x0=0處的泰勒級數.

4.行遠升高——于遠點處辟蹊徑

借由二階導數判別法，我們給出題1的另一解法.

在判別函數極值的思維之路上，我們從“函數值判別法”這一“原點”出發，行至了“二階導數判別法”這一“遠點”，倘若函數在極值點處的二階導數也為0，則憑借泰勒級數這一相同原理通道，我們可以行至更遠處，運用高階導數判別法來處理.

高階導數判別法：如果函數f（x）在點x0的附近有定義，且f（k）（x0）=0 （k=1，2，3，…n－1），f（n）（x0）≠0，則（i）當n為偶數時，函數f（x）在點x0處取得極值，且當f（n）（x0）<0 （f（n）（x0）>0）時取得極大（小）值；（ii）當n為奇數時，函數f（x）在點x0處無極值.

5.觸類旁通——于同源處相交匯

在歷屆高考中，以函數極值為命題背景的高考試題較為普遍.

題2 （2018年北京高考卷理科第18題）已知函數f（x）=［ax2－4a+1x+4a+3］ex.

（1）略；（2）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

由題2可以看出，對于不在點0處取得極值的函數，由泰勒級數運用函數值判別法來判別極值時，可由平移思想，將函數f（x）在點x0（x0≠0）處取得極值等價轉化為函數g（x）=f（x+x0）在點0處取得極值，這樣就避免了計算推導函數在各個不同點處的泰勒級數.

題3 （2018年全國高考Ⅲ卷理科第21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）－2x.

（1）略；（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

由題3可以看出，利用高階導數判別法來判別極值，可能會面對多次的求導以及復雜函數求導的繁雜性.而根據泰勒級數，運用函數值判別法來判別極值，運算過程整體可控，既能預見問題結果，也能照見問題由來，例如函數中的“－2x”項看似多余，其實有效抵消了函數泰勒級數中的一次項，否則無論a取何值，x=0是都不會是函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）的極值點.由此我們也可以依托泰勒級數來重建函數結構，命制相似問題.

6.解題反思——于尾聲處談心聲

高考試題是教師研究解題的重要素材.在研究命題者給出的參考答案時，有些導數壓軸題的解答過程總給人感覺如同“魔術師帽子里的兔子”那么神奇.它的解法是如此巧妙，是如何想到的呢？事實上，解題的方向和結果的預見有賴于對問題本質的洞悉，先站在高處從命題者的視角得到答案，便能利用好數學對象的本質，自始至終地監控好解題.因此，我們應該加強高等數學與中學數學聯系的研究，提高自身知識儲備，才能站得高看得遠，明晰數學知識的源與流，從整體上把握數學知識的發展脈絡.

參考文獻

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