在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)中滲透建模素養(yǎng)

摘" "要：“雙減”政策背景下，如何做好作業(yè)設(shè)計(jì)與課后服務(wù)是眾多教育工作者研究的熱點(diǎn)。教師利用課后服務(wù)時(shí)間和課余時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)，以項(xiàng)目式作業(yè)的形式選取源于生活實(shí)際的，新穎有趣的題材，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)融合多學(xué)科知識(shí)進(jìn)行求解。通過(guò)分析當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)建模與作業(yè)設(shè)計(jì)的現(xiàn)狀，提出在作業(yè)設(shè)計(jì)中滲透建模素養(yǎng)的基本路徑與案例分析，能為教師作業(yè)設(shè)計(jì)中建模題材的設(shè)計(jì)提供一定借鑒。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模； 雙減；作業(yè)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6" " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " 文章編號(hào)：1009-010X（2024）05-0032-04

一、“雙減”背景下，在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)中滲透建模思想的必要性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模是其中之一 ，《課標(biāo)》指出“數(shù)學(xué)建模是一種素養(yǎng)，它需要對(duì)要解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并將其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建出適合的模型從而解決實(shí)際問(wèn)題”。《課標(biāo)》提出“四基”“四能”與核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。當(dāng)前《課標(biāo)》都在強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，同時(shí)這也是我國(guó)中小學(xué)生核心素養(yǎng)中較為薄弱的模塊。

“雙減”政策要減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)，提升學(xué)校課后服務(wù)水平，作業(yè)要少而精，要有針對(duì)性、代表性和新穎性，要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。而數(shù)學(xué)建模旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，整個(gè)建模過(guò)程需要多次迭代重復(fù)檢驗(yàn)才能完成，這一過(guò)程在時(shí)長(zhǎng)有限的課堂教學(xué)中很難完成。因此，教師在減少書面作業(yè)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)既能鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，又能提高學(xué)生建模素養(yǎng)的作業(yè)，并利用課后服務(wù)時(shí)間和課余時(shí)間組織的建模活動(dòng)是十分有必要的。

二、融入建模思想的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的基本原則

1.達(dá)標(biāo)性。嚴(yán)格按照《課標(biāo)》的要求，深入探究教材的設(shè)計(jì)目的，了解學(xué)生的心理特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的興趣點(diǎn)，設(shè)計(jì)開發(fā)在減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)上，有助于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、發(fā)揮作業(yè)延伸與補(bǔ)充功能的題材。

2.減負(fù)性。要符合國(guó)家的“雙減”政策要求，提升學(xué)校課后服務(wù)水平，創(chuàng)新數(shù)學(xué)作業(yè)形式，充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生在作業(yè)中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

3.實(shí)踐性。要讓學(xué)生真正的參與到數(shù)學(xué)作業(yè)中，按照“最近發(fā)展區(qū)”的原則為學(xué)生選取難度適宜的作業(yè)題目，引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)探究、嘗試與創(chuàng)造的過(guò)程，讓其真正感受到用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的成就感與價(jià)值感，獲得直接經(jīng)驗(yàn)。

4.啟發(fā)性。作業(yè)設(shè)計(jì)要有創(chuàng)新性、啟發(fā)性，要引導(dǎo)學(xué)生探尋規(guī)律、訓(xùn)練思維、培養(yǎng)素養(yǎng)。不僅要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)作業(yè)中鞏固知識(shí)點(diǎn)，還要學(xué)會(huì)舉一反三，進(jìn)一步應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)。

三、在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)中滲透建模思想的基本路徑

（一）開發(fā)校本化作業(yè)，利用課后服務(wù)時(shí)間推進(jìn)實(shí)施

“雙減”政策背景下，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以作為校本化作業(yè)，充分利用課后服務(wù)時(shí)間推進(jìn)和實(shí)施。通過(guò)建立興趣小組，按照項(xiàng)目式作業(yè)的形式，以學(xué)生自主解決為主，教師適時(shí)引導(dǎo)為輔的方式組織。此類校本化作業(yè)題材的選取可運(yùn)用與改進(jìn)教材中“綜合與實(shí)踐”模塊，也可由教師選取有價(jià)值的，能鞏固、延伸和補(bǔ)充所學(xué)知識(shí)的題目。

在利用課后服務(wù)時(shí)間落實(shí)建模活動(dòng)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生以小組分工合作的方式，通過(guò)網(wǎng)頁(yè)搜索或?qū)嵉赜^察與咨詢，采集數(shù)據(jù)，做好模型準(zhǔn)備工作。當(dāng)正式開展活動(dòng)時(shí)，教師可利用多個(gè)課后服務(wù)時(shí)間分步實(shí)施，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ图僭O(shè)、建立、求解、檢驗(yàn)與分析的過(guò)程，最終解決實(shí)際問(wèn)題。教師要按照學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”引導(dǎo)各小組設(shè)立變量和概括限制條件，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，并在小組質(zhì)疑討論中，不斷完善模型。整個(gè)建模過(guò)程需要教師做好充分的前期準(zhǔn)備，盡可能預(yù)設(shè)學(xué)生在建模過(guò)程中可能遇到的困境，從而在課后服務(wù)中能夠高效地指導(dǎo)學(xué)生順利完成數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。

（二）開發(fā)學(xué)科整合式作業(yè)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模題材大多是現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)情境問(wèn)題，需要學(xué)生挖掘題材中隱藏的有效信息，通過(guò)深度整合多學(xué)科知識(shí)進(jìn)行求解。這就需要學(xué)生具備綜合應(yīng)用和遷移跨學(xué)科知識(shí)，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力。然而，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與作業(yè)一直比較重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部之間的聯(lián)系，對(duì)于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系重視度不夠。為了改變這一現(xiàn)狀，提升學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程方案》）首次提出跨學(xué)科學(xué)習(xí)，以加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求。隨著《課程方案》的提出，學(xué)校和教師逐漸開始重視跨學(xué)科的知識(shí)融合，并開始探索和實(shí)施跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)。

在數(shù)學(xué)建模作業(yè)設(shè)計(jì)中如何引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地整合與應(yīng)用多學(xué)科知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與建模素養(yǎng)？我們可以借鑒新加坡的特色課程—跨學(xué)科的項(xiàng)目作業(yè)（Interdisciplinary Project Work，簡(jiǎn)稱PW），學(xué)生一般由4～5人組成研究小組，自己選擇所要研究的課題，然后學(xué)校委派相應(yīng)的指導(dǎo)教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)。這種作業(yè)形式不但增強(qiáng)了各學(xué)科內(nèi)部之間的聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)統(tǒng)籌應(yīng)用各學(xué)科的知識(shí)，提升學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)整體的掌握，而且由學(xué)生自主選擇研究課題，也大大提升了學(xué)生的研究興趣和參與度，在潛移默化中提高自身的綜合素養(yǎng)。

（三）在建模活動(dòng)中，有效發(fā)揮作業(yè)的評(píng)價(jià)功能

評(píng)價(jià)為高質(zhì)量的作業(yè)設(shè)計(jì)提供了方向，為課堂教學(xué)提供了必要的反饋信息。學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)是組織高質(zhì)量建?；顒?dòng)的前提，學(xué)生建模素養(yǎng)提升的程度需要評(píng)價(jià)進(jìn)行測(cè)量與評(píng)估。但是，當(dāng)前學(xué)生評(píng)價(jià)大多以紙筆考試為主，雖然這種考試形式比較方便和客觀，但是檢測(cè)結(jié)果存在局限性，無(wú)法評(píng)估學(xué)生創(chuàng)造、合作、交流等高階思維能力。

數(shù)學(xué)建模題材大多選取于生活生產(chǎn)實(shí)踐的真實(shí)情境問(wèn)題，活動(dòng)中教師需要注重過(guò)程性評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生知識(shí)的綜合與創(chuàng)造性應(yīng)用及時(shí)進(jìn)行有針對(duì)性的評(píng)價(jià)，有效發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向作用，為建?；顒?dòng)的順利開展提供保障。尤其在模型假設(shè)與模型建立階段，教師要根據(jù)各小組的進(jìn)展情況及時(shí)給予評(píng)價(jià)與引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成薄弱環(huán)節(jié)。建?；顒?dòng)結(jié)束后教師要組織學(xué)生開展個(gè)人評(píng)價(jià)與小組互評(píng)，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)方案可參照梁貫成等編議的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書中提出的“數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)量表”。邵光華，蔣周渠提出可以規(guī)定獲得“數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)量表”中相應(yīng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平總分的60%，就可以認(rèn)定學(xué)生達(dá)到了該水平。

四、基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)的案例分析

在作業(yè)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，一是要了解所授學(xué)生的年齡特點(diǎn)，已具備的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)；二是要了解所設(shè)計(jì)開發(fā)的作業(yè)是否能鞏固課堂新知，是否新穎有趣能吸引學(xué)生主動(dòng)參與；三是要反思作業(yè)設(shè)計(jì)能否提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生舉一反三的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與建模素養(yǎng)。下面以三個(gè)具體案例加以說(shuō)明。

案例1：在小學(xué)生學(xué)習(xí)了加法運(yùn)算后，筆者設(shè)計(jì)了“擲骰子”的趣味性作業(yè)：老師最近發(fā)明了一個(gè)擲骰子的小魔術(shù)，請(qǐng)同學(xué)們回家準(zhǔn)備三個(gè)骰子，隨意擲出這些骰子，現(xiàn)在老師就能預(yù)測(cè)到你隨意擲出的骰子正面和背面各數(shù)字相加的結(jié)果都是21。請(qǐng)同學(xué)們回家自己做實(shí)驗(yàn)并記錄下來(lái)，驗(yàn)證老師這個(gè)未卜先知的能力準(zhǔn)不準(zhǔn)，并試著證明這個(gè)原理。

學(xué)生們?cè)诩依锿ㄟ^(guò)多次擲骰子實(shí)驗(yàn)驚奇的發(fā)現(xiàn)，每個(gè)骰子正面和背面的數(shù)字相加的結(jié)果都是7，那么三個(gè)骰子正面和背面各數(shù)字相加的結(jié)果就是7+7+7=21，識(shí)破了教師未卜先知的能力。

這個(gè)“擲骰子”的作業(yè)，讓學(xué)生帶著懷疑，主動(dòng)應(yīng)用課堂新知“加法運(yùn)算”去驗(yàn)證教師“未卜先知”能力。學(xué)生們主動(dòng)參與性高，趣味性足，此作業(yè)不但有效地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，潛移默化地鞏固了新知，而且通過(guò)使用列舉的方法尋找規(guī)律，也有效地訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

案例2：在初中生學(xué)習(xí)了取整函數(shù)和分段函數(shù)后，筆者設(shè)計(jì)了“今天我做地鐵售票員”的作業(yè)：石家莊地鐵的開通大大緩解了市內(nèi)交通擁堵的問(wèn)題，現(xiàn)在石家莊公共交通系統(tǒng)推出“2元暢享地鐵”活動(dòng)，即地鐵單程票價(jià)不限里程均為2元。那你知道石家莊地鐵開通時(shí)是如何設(shè)置收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的嗎？如果地鐵恢復(fù)原先的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案，幫助乘客很快地買到合適的車票嗎？

學(xué)生們或通過(guò)網(wǎng)上搜索或通過(guò)咨詢地鐵售票員了解到石家莊地鐵設(shè)置的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：

單程票價(jià)：起步價(jià)6公里以內(nèi)2元，6～20公里每遞增7公里加1元，20～36公里每遞增8公里加1元，36～54公里每遞增9公里加1元，54公里以上每遞增10公里加1元。

由于石家莊地鐵票收費(fèi)是按“分級(jí)遞進(jìn)，遞遠(yuǎn)遞減”的原則，所以即便總路長(zhǎng)按照分級(jí)計(jì)算后，最后的路長(zhǎng)不足相對(duì)應(yīng)遞增的公里數(shù)也要增加1元。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)用取整函數(shù)無(wú)法解決而陷入困境，有的學(xué)生則通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索學(xué)習(xí)到上取整函數(shù)與下取整函數(shù)，有效地設(shè)計(jì)了地鐵售票方案。

這個(gè)作業(yè)從常見(jiàn)的生活問(wèn)題入手，不但有效鞏固和應(yīng)用了分段函數(shù)與取整函數(shù)的知識(shí)，而且通過(guò)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)，學(xué)生們進(jìn)一步拓展學(xué)習(xí)到上取整函數(shù)與下取整函數(shù)。提升了學(xué)生主動(dòng)查閱的自學(xué)能力，讓學(xué)生們感受到數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力。

案例3：在高中生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列后，筆者設(shè)計(jì)了“模擬落實(shí)漸進(jìn)式延遲退休”的作業(yè)。

“十四五”規(guī)劃綱要提出，要綜合考慮人均預(yù)期壽命提高、人口老齡化趨勢(shì)加快、受教育年限增加、勞動(dòng)力結(jié)構(gòu)變化等因素，按照小步調(diào)整、彈性實(shí)施、分類推進(jìn)、統(tǒng)籌兼顧等原則逐步延遲法定退休年齡。以下是漸進(jìn)式退休方案模擬表，假定2023年開始實(shí)行此方案，你能推算哪年出生的男性首次以65歲退休嗎？你能根據(jù)此表制作實(shí)際退休年齡隨出生年份變化的計(jì)算模型嗎？

（注：本表格以男性60歲退休年齡為例，假定每年延長(zhǎng)退休時(shí)間為2個(gè)月，自方案實(shí)施之年起逐年累計(jì)遞增，直至到達(dá)擬定的退休年齡65歲，此表格僅為漸進(jìn)式退休方案的模擬表，僅供參考。）

由漸進(jìn)式退休方案模擬表的數(shù)據(jù)可知，隨著出生年份數(shù)據(jù)的遞增，延遲退休時(shí)間與實(shí)際退休年齡數(shù)據(jù)也在遞增，即呈現(xiàn)等差數(shù)列。假設(shè)男性的出生年份為數(shù)列xn，xn=x0+nd1，實(shí)際退休年齡為數(shù)列yn，yn=y0+nd2。根據(jù)模擬表，2023年年齡為60歲的男性，出生年份x0=1963，d1=1實(shí)際退休年齡y0=60，d2=因此，xn=1963+1n，yn=60+n。對(duì)于首次以65歲退休男性，將yn=65代入yn=60+n，得n=29。又由xn=1963

+1n可知xn+1992，即1992年出生的男性將首次以65歲退休。由此可發(fā)現(xiàn)數(shù)列長(zhǎng)度n是連接出生年份xn與實(shí)際退休年齡yn的中間變量，即=，整理可得yn=60+（xn-1963），由于漸進(jìn)式退休方案達(dá)到擬定的退休年齡65歲后將均以65歲退休，因此數(shù)列長(zhǎng)度n的取值范圍為：1≤n≤29。綜上可知，男性的實(shí)際退休年齡隨出生年份變化的計(jì)算模型為yn=60+（xn-1963）（n∈n+且1≤n≤29）。

這個(gè)作業(yè)從社會(huì)熱點(diǎn)入手，容易引起學(xué)生的興趣，通過(guò)觀察梳理表格中的數(shù)據(jù)，學(xué)生易發(fā)現(xiàn)均呈等差數(shù)列的規(guī)律。學(xué)生只需模仿等差數(shù)列的模型，設(shè)置參數(shù)，尋找關(guān)系式，即可建立實(shí)際退休年齡隨出生年份變化的計(jì)算模型。但是該計(jì)算模型還需要考慮實(shí)際背景，漸進(jìn)式退休達(dá)到擬退休年齡65歲后便不再逐年延長(zhǎng)退休時(shí)間，因此n的取值范圍是學(xué)生容易忽略的點(diǎn)。而本題通過(guò)提前引導(dǎo)學(xué)生推算首次以65歲退休的男性的出生年份，也間接點(diǎn)撥了學(xué)生。該作業(yè)設(shè)計(jì)在鞏固等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，旨在增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，即通過(guò)篩選有效數(shù)據(jù)，利用已掌握的知識(shí)點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

“雙減”政策頒布后，如何保障作業(yè)在發(fā)揮其功能與價(jià)值基礎(chǔ)上落實(shí)好政策要求是眾多教育工作者研究的方向。因各地學(xué)情與教情不同，還需教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行個(gè)性化設(shè)計(jì)。培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)在短時(shí)間內(nèi)對(duì)提高學(xué)生成績(jī)并不顯著，所以很多教師不重視對(duì)學(xué)生該素養(yǎng)的培養(yǎng)，且其自身建模能力與建模知識(shí)體系也很缺乏。希望通過(guò)本文的研究對(duì)當(dāng)前的教育現(xiàn)狀引起一定的改變。