兩道征解題的多解探究與統一推廣

廣東省佛山市石門實驗學校(528200) 李輝義

安徽師范大學數學與統計學院(241002) 曹明響

1 引言

《數學通訊》2023 年第2 期問題征解系列有如下兩個問題:

2 三個引理

為證明主要結論,先引入三個引理.

證明(1)p=q+1 時,即為我們所熟知的權方和不等式,此時結論成立,這里不再證明.

(2)p ＞q+1 時,由(1)的結論和冪平均不等式可得

綜上,引理3 得證.

3 問題的證明

3.1 問題1 的證明

證法2由引理3 可得

不妨設a≥b≥c,則有a2≥b2≥c2,從而,由切比雪夫不等式得

3.2 問題2 的證明

證法1由均值不等式有a2+1 ≥2a,可得

4 問題的統一推廣

推廣1設a,b,c,k都是正數,p,m,n ∈N+,a+b+c=3s,m≥n≥p,則有

(2)p=n時,由1○的證明顯然可得.

注需要說明的是m≥p ＞n時不等式仍然成立,這從證明的過程中顯然可以得到,因此本題條件可放寬至m≥max{p,n},在推廣1 中取s=,m=6,n=3,p=2,k=2即為問題1,取s=1,m=3,n=2,p=1,k=即為問題2,在證明的過程中,我們發現了兩個特殊情況.

1○m=2 max{n,p}時,還可以通過問題1 的第二種證明思路來證明,先利用引理3 放縮,再運用切比雪夫不等式也可證明結論.

在推廣1 中,取s=p=2,n=3,m=4,k=5,可以得到以下試題:

改編題1已知正數a,b,c滿足a+b+c=6,證明:

后續證明由推廣1 的證明可得,這里不再贅述.

在推廣2 中,取k=λ=4,b1=2,b2=3,b3=4,b4=5,c1=2,c2=8,c3=5,可以得到以下試題:

改編題2已知正數a,b,c,d滿足a+b+c+d=4,證明: