多角度探究等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和問題

江蘇省南京市板橋中學(210039) 紀明亮

等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中數(shù)學中的兩個最基本的數(shù)列.很多數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列組合而來,等差乘等比數(shù)列就是等差數(shù)列和等比數(shù)列的一種重要組合形式.等差乘等比數(shù)列可以概括為數(shù)列{(an+b)qn-1},(q0,q1),那么,這類數(shù)列如何求和呢? 因為(an+b)qn-1=anqn-1+bqn-1,其中bqn-1項在b0時構成等比數(shù)列,所以該項求和可根據(jù)等比數(shù)列求和公式,則數(shù)列{(an+b)qn-1}求和關鍵是對其中anqn-1項求和,其實就是對nqn-1項進行求和.下面對nqn-1項的求和展開探究.

問題設數(shù)列an=nqn-1(q0,q1),求數(shù)列{an}前n項和Sn.

1 錯位相減求和

評析教材[1]中等比數(shù)列求和公式的推導就是運用錯位相減消去中間項剩下首位兩項得到的.等差數(shù)列乘等比數(shù)列的求和通過錯位相減則能將其轉化為等比數(shù)列求和,這是對教材中的錯位相減法的拓展延伸,因此,這也是求等差數(shù)列乘等比數(shù)列前n項和的基本方法.

2 分組構造求和

解法2因為an=nqn-1,所以Sn=1+2q+3q2+···+(n-1)qn-2+nqn-1,則

評析將展開式進行分組

各組是等比數(shù)列求和,各組的和重新組合又能構成新的等比數(shù)列求和.即將等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和轉化為兩個階段的等比數(shù)列求和.

評析Sn展開式還可分組為

各組仍是等比數(shù)列求和,各組的和重新組合也能構成新的等比數(shù)列求和.其思路與解法二相同,只是分組方式不同.

3 待定系數(shù)法構造等差或數(shù)列求和

解法4因為an=nqn-1,所以當n≥2 時,Sn-Sn-1=nqn-1,則構造等差數(shù)列{Sn+(xn+y)qn},設Sn+(xn+y)qn=Sn-1+[x(n-1)+y]qn-1,則

4 運用導數(shù)求和

解法6因為將q看作變量有(qn)′=nqn-1,所以

評析根據(jù)冪函數(shù)的求導法則(xn)′=nxn-1,及和函數(shù)的求導法則(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x),則Sn=1+2q+3q2+···+(n-1)qn-2+nqn-1=(q+q2+···+qn)′,即可求出Sn.求導可以降階,這種方法可以推廣[x(xn)′]′=n2xn-1,則數(shù)列bn=n2qn-1(q0,q1)的前n項和

等差數(shù)列是以相鄰兩項差值關系建立的數(shù)列,等比數(shù)列是以相鄰兩項比值關系建立的數(shù)列,差值關系與比值關系是數(shù)學中的基本相互關系,因此,等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩大基本數(shù)列.很多數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列組合而來,等差乘等比數(shù)列就是等差數(shù)列和等比數(shù)列的一種重要組合形式.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),等差乘等比數(shù)列求和更是一類重要的函數(shù)模型.本文從等差數(shù)列與等比數(shù)列角度進行錯位相消,各項重新組合,重新構造等比數(shù)列或等差數(shù)列求和,從函數(shù)角度求導求和.得到了一系列探究等差乘等比數(shù)列的前n項和的方法.與此同時對每種方法還進行了拓展探究,使知識得到升華.

5 結束語

等差乘等比數(shù)列的求和問題蘊含豐富的數(shù)列知識,很多數(shù)列思想方法及函數(shù)思想方法在這里交匯,是數(shù)列教學的優(yōu)秀素材.因此,對等差乘等比數(shù)列求和問題進行系統(tǒng)探究能讓學生厘清等差等比數(shù)列的內(nèi)在深層次的含義,同時完備數(shù)列知識形成完整的知識體系.成體系的探究學習數(shù)學知識對學習數(shù)學至關重要,能使學生理解知識的本質內(nèi)涵,還可將碎片化的知識點編制成網(wǎng),形成完整知識體系.學生親歷探究的過程更能提升學生抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學建模能力,促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.