《數(shù)學(xué)通訊》628 問題的多解探究及變式推廣

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550025) 徐鳳旺 尹正波 成敏

1 問題呈現(xiàn)

分析這是《數(shù)學(xué)通訊》2023 年第9 期問題解答的628問題,求函數(shù)的最值問題.可以看出該題的條件式子和結(jié)論結(jié)構(gòu)對稱,具有數(shù)學(xué)的美感.本文擬對該題的求解方法、變式及推廣做進(jìn)一步的探究,與大家一起分享.

2 問題解析

分析此解法首先根據(jù)問題中等號成立的條件通過基本不等式進(jìn)行放縮,對式子進(jìn)行配湊并再次結(jié)合基本不等式,即可求得E的最大值.

解法2(基本不等式+權(quán)方和不等式)由基本不等式得

分析此解法首先利用基本不等式進(jìn)行放縮,然后結(jié)合權(quán)方和不等式即可求得E的最大值.

分析此解法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)切線的性質(zhì)求得E的最大值.

分析此解法通過對函數(shù)二階求導(dǎo),與函數(shù)的凹凸性結(jié)合起來,利用琴生不等式即可就得E的最大值.

3 問題變式

變式1(2022 年克羅地亞女子MO 試題) 已知正數(shù)a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,求證:

分析此變式是通過改變條件式子和不等式左邊每一項分母的未知數(shù)的冪得到的,證明方法與解法2 類似.

故變式2 得證.

分析此變式是通過改變條件式子和不等式左邊每一項的分母的結(jié)構(gòu)得到的.

分析變式3 和變式4 是通過改變條件式子和不等式左邊每一項的結(jié)構(gòu)得到的,其證明方法分別與下面的推廣6 和推廣8 的證明方法一致.

4 問題推廣

分析此推廣是在不等式的基礎(chǔ)上,將條件式子從“2”推廣到“4”,不等式左邊每一項分母的常數(shù)項從“2”推廣到“λ”得到.

分析此推廣是在推廣1 的基礎(chǔ)上,將不等式左邊每一項分母的未知數(shù)的冪從“2”推廣到“m”得到的.

推廣3已知正數(shù)a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,m ＞1且m ∈N*,λ≥m-1,求證:

分析此推廣是在推廣2 的基礎(chǔ)上,將不等式左邊每一項分母的結(jié)構(gòu)從二項推廣為三項得到的.

推廣5已知正數(shù)a,b,c,d,滿足a+b+c+d=4,mn且m,n ∈N*,求證:

分析此推廣是在變式3 的基礎(chǔ)上,將不等式左邊每一項分母的未知數(shù)的冪分別從“4”和“3”推廣到“m”和“n”,分母的常數(shù)項從“5”推廣到“m+n-2”.

推廣7已知正數(shù)a,b,c,d,滿足a2+b2+c2+d2=4,m ∈N*,求證:

分析此推廣是在變式4 的基礎(chǔ)上,將不等式左邊每一項分母的未知數(shù)的冪分別從“4”和“4”推廣到“m”和“m”,分母的常數(shù)項從“6”推廣到“2m-2”.

分析推廣4、推廣6 和推廣8 分別是在推廣3、推廣5和推廣7 的基礎(chǔ)上,將條件式子的“4”推廣到“μ”,未知數(shù)的個數(shù)從“4”元推廣到“n”元得到的,推廣的形式不變.

上述推廣1 到推廣8 的證明方法與解法2 類似,下面給出推廣4、推廣6 和推廣8 的證明過程,其余推廣的證明過程不再敘述.

推廣4 的證明由基本不等式的推廣得

推廣6 的證明由基本不等式的推廣得

推廣8 的證明由基本不等式的推廣得

故推廣8 得證.