“多題一解”視角下的高考數學解題教學
——橢圓焦半徑公式推導及在高考解題中的應用

南京市天印高級中學(211100) 袁根福

1 問題的緣起

課堂解題教學中,提倡多角度、多解法、多層面看待和解決問題的教學方式誠然對培養學生發散性思維、創新思想等關鍵能力大有裨益,在此基礎上幫助學生形成創造性學習模式、批判性認知模式,以期發揮數學的育人價值.但就目前高中數學教學實況而言,相當一部分學生達不到中檔題與難題一題多解的思維水準.甚至部分基礎扎實的學生在學習多種解法時不求甚解,或長時間后遺忘,導致考試過程中因解法多樣,無法在短時間內調取解決問題的關鍵邏輯通路,運算指向不明而導致答題失敗,浪費大量時間.“多題一解”教學方式在上述問題和要求的基礎上被提出,教師指導學生主動發現不同數學問題中的聯系與共性,尋求通性通法,為不同層次學生提供適合自己的解題范式,從知識本位向學生中心轉變,提高高中數學教與學的質量.

2 橢圓焦半徑公式推導及在高考解題中的應用

問題解決的本質要牢牢契合思維發展的本質: 知其然,知其所以然,公式的學習并不是簡單地記憶與套用.公式的推導是理解、記憶、掌握和應用的基礎,公式推導的過程給學生呈現的應當是一種甚至多種問題處理的新的思維方式或運算技巧.焦半徑公式的推導即可從兩點間長度處理的通法——兩點距離公式或橢圓的第二定義展開,明晰公式的算理可以幫助學生更好地應用公式解決相關高考問題,從容應對高考.

2.1 焦半徑公式的推導

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中寫到: 學一個活動的最好方法是做[1],焦半徑公式熟練使用的前提是學生理解并掌握公式的推導與生成過程,并將之內化到自身的知識結構與體系中.從學生解題的基本活動經驗出發,橢圓=1 兩焦半徑PF1,PF2,F1(-c,0),F2(c,0)分別為橢圓左右兩焦點,P(x,y)為橢圓上任意一點,x ∈[-a,a].本質上為兩點間的線段,故可使用兩點距離公式證明;從學生概念學習的基本思想出發,依據橢圓第二定義,橢圓上任意一點到焦點的距離與它到相應準線的距離之比為一個常數,這個常數就是橢圓的離心率以左焦點F1為例,=e.

下面介紹焦半徑公式的兩種證明方法(本文只研究焦半徑長與點P位置間的關系,對焦半徑其他形式的推導與呈現不作贅述).

2.2 高考真題中的應用

理在用中方識妙,學生在關于原理性知識的運用中,熟悉知識的結構,從而理解知識,記憶知識,進而掌握知識.在橢圓中存在著至簡的焦半徑公式,如何應用到解決具體問題中去呢? 我們看幾個例子:

例1(2019 年高考全國ⅠⅠ卷(文)第20 題)已知點F1,F2是橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的兩個焦點,P為C上一點,O為坐標原點.

(1)若ΔPOF2為等邊三角形,求C的離心率;

(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且ΔF1PF2的面積等于16,求b的值與a的取值范圍.

分析(1)略;(2)由題意知,PF1·PF2=(a+ex)(aex)=a2-e2x2=16×2=32.又有勾股定理+==4c2,即(a+ex)2+(a-ex)2=2a2+2e2x2=4c2,e2x2=2c2-a2=c2-b2≥0,a2-(c2-b2)=32,

則2b2=32,b=4.a2=c2+b2≥2b2=32,a≥

本題作為必做題倒數第二題,主流參考答案無外乎需借助向量數量積為0 或斜率之積為-1,再聯立點P縱坐標與面積的關系求解,大量的演算過程隨之伴生,給學生解題造成困難.但學生若能善用焦半徑公式解決本題,不僅可以繞開對圖形的觀察,還能將演算鎖定在點P橫坐標,運算程序優化,在高考中脫穎而出.

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第5 題) 已知F1,F2是橢圓C:=1 的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為()

A.13 B.12 C.9 D.6

分析利用焦半徑公式可知

分析∠F1PF2作為橢圓兩焦半徑的夾角,OP此時也作為中線,立刻可以聯想到以極化恒等式為媒介,將焦半徑和所求聯系起來,設點P(x,y),即

解得x2,回代得|OP|.一道單選壓軸題,利用焦半徑公式一步得到答案,深刻體現了知識間的緊密聯系,強化了形與數之間的聯系,不僅能培養學生理性思維,還能在此間滲透數學運算這一核心素養.

上述三道題都是新課標背景下近五年高考對橢圓焦半徑相關計算的考察,外延考察形式不同,內核思路一致.當然,這三道題也有其他優秀的解法,但在審題時,以焦半徑為知識起點與思維“啟點”,這一類題型都可以被焦半徑公式“秒殺”,不僅可以縮短學生的思考和運算時間,還能極大增強學生在后續答題中的自信心,兼顧智力因素與非智力因素,可謂一舉兩得.2019～2023 年各高考卷也不乏有雙曲線與拋物線焦半徑的相關題型,若以橢圓焦半徑的研究為生長點,促使教師與學生對另兩類圓錐曲線的焦半徑作出思考,進行類比與遷移,以此提升自身能力與素養,從而決勝高考.

3 “多題一解”教學模式的應用策略

一線教師精研解題與教學,陳述性知識積累豐富,問題處理的程序化手段多樣,在高等教育期間也接受過數學學科專業知識與技能培訓,多題一解對教師而言可謂信手拈來.但學生囿于數學思維、知識體系、學習經歷、學習方法,多題一解的模式對學生來說幾乎是全新的、困難的,教師要試圖打破這一困境,就要從自身出發,不斷提升自身的教學水平,換位思考,尊重學生的認知規律與知識發展規律,適時利用專題教學在“多題”的題組設置中幫助學生認識“一解”的共性,提升學生能力.

3.1 精研課標,精選問題

“精選課程內容,處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系”[2]在《普通高中數學課程標準(2017 年版2020年修訂)》中作為課程育人的基本理念被提出.多題一解的施教過程是一個具體到抽象,特殊到一般的過程,它是師生協同從“多題”向“一解”中所含共性推進的一個抽絲剝繭的過程,題的選取是考驗教師備課水平的關鍵.

從宏觀教學理念而言,新課程標準頒布,國家和人民對教育的要求進一步提高,人才選拔制度得到進一步完善.在這種新的社會與時代背景下,教育教學人員基于課程標準對數學問題的思考、編寫和創新得到進一步加強,也體現在了近幾年高考命題的過程中.這就要求教師要熟悉課程標準,利用好這些優秀的教育教學資源,以課程標準為指導進行選題教學.在一線教學過程中,不斷學習,不斷思考,與時俱進地更新自身的眼界和腦海中的問題庫.教師題庫容量的多寡很大程度上決定著“多題”的水平,最終也會影響學生對“一解”中共性的理解與掌握.

從微觀課堂教學而言,基于維果斯基的“最近發展區”理論,教師選題應重視班級全體學生的實際學情,使用好學生歷次作業與統計手段明確學生學情所對應數學問題的難度系數范圍,在同一知識技能體系與框架下設置一定難度跨度,激發和提高學生的課堂參與度,以面向全體學生.若將問題都設置于“現有發展區”,則學生無法感受到學習帶來的挑戰性,就會產生消極怠學的情緒.相反,如果跨度太大,就會加重學生的學習負擔而產生逆反厭學的心理[3],所以選題要遵從基礎性和發展性兩個原則,為全體學生的發展提供共同的基礎,在全體學生收獲“多題一解”中共性的同時,隨著難度水平與思維層次的拔高,不同的學生在學習中汲取不同的收獲.

3.2 尊重規律,改進教學

高考試題的命制主要圍繞對學生數學學科核心素養的考查展開,故數學教學活動的開展應以發展學生數學學科核心素養為導向,但數學學科核心素養的形成不是一蹴而就的,它依賴于教師通過高考題、教材等教育媒介施教下的學生內在生成與建構.“多題一解”數學教學模式中,課程內容的呈現,應注意數學發展的規律,以及人們的認識規律,體現從具體到抽象,特殊到一般的原則[4].總的來說,教師在進行“多題一解”教學時,教師為主導,學生為主體,要充分尊重學生的認知規律與知識的發展規律.

從學生認知規律的角度出發,學生的知識建構與思維發展依賴于學生熟悉的現有經驗,這也是建構主義的基本理論之一.教師在施教前與施教時要注意學生現有的經驗水平,以施教內容銜接學生的新問題與舊經驗.“多題一解”的施教方式要契合學生的心理偏好,如利用焦半徑公式進行高考解題教學時,以上文3 個例題為例,上文例題的呈現以時間線為序,但在解題教學時,首先應呈現例2,例2 難度較低,以圖形輔助,學生很容易就能從現有經驗中調取焦半徑公式解決問題.例3 的圖形接著呈現,讓學生主動尋找兩題求解中都無法避開對焦半徑PF1,PF2求解的共性,最后呈現例1,同樣方法求解,由易到難,在變化中找共性,符合學生認知.

從知識發展規律的角度出發,教育心理學將學生學習的知識大體分為兩類,陳述性知識與程序性知識,前者為公式、定理、概念等記憶性內容,后者為解題技能、運算技巧等特定的程序化操作,陳述性知識是程序性知識的操作基礎,程序性知識的使用反過來強化陳述性知識的記憶.本文例舉的3道例題“一解”的核心技巧都是焦半徑公式的使用,其使用基礎是焦半徑公式的推導、記憶與掌握.學生在學習這一內容時,教師首先要呈現橢圓與焦半徑的圖象,學生在讀圖時教師標上焦半徑對應的字母符號,激活學生的符號意識,讓學生在信息提取階段以“PF1”“PF2”字符的呈現激活腦海中“焦半徑”的概念,達到文字語言、數學符號語言與幾何圖形的統一,而后基于兩點距離公式與第二定義的公式的推導過程和結果則能深刻地內化到學生知識結構中,在解題教學中完成從陳述性知識到程序性知識的躍遷,形成學習正遷移.

3.3 專題教學,潛移默化

波利亞無不在自己的論著中體現著這樣一個關于數學學科的基本觀點: 數學具有雙重性,即數學既是一門演繹科學,又是一門歸納科學.多題一解教學的思路和方法亦如是,從“多題”中逆向歸納出“一解”,從“一解”的策略中高屋建瓴地正向演繹出“多題”的統一解法.但正是由于題與題之間的聯系與遷移作為逆向思維難以暴露和發現,多題一解教學方式的實施和效果達成才顯得難度頗高.

這時,專題教學的效果得以顯現.不同于傳統課堂教學的知識逐級萌生與邏輯層次遞進,學生所學內容繁復.專題教學的設計與實施依賴于范圍小而明確的知識體系與解題技巧,系統性與遷移性強.“多題一解”角度看似單一,但通過專題教學的題組設計(一般以2-5 道題為宜),針對性強、指向性明確后學生參與度高,潛意識中會循著這條知識脈絡在審題的過程中不斷挖掘“多題”中的數學本質,強化對共性的認知.如焦半徑公式專題教學中,由本文例2 設置如下題組.

上述題組的設置由焦半徑公式的內部運算、再到公式與函數、向量等知識的雜糅,由易到難、由簡及繁,或顯或隱都離不開焦半徑公式的使用,多題一解的教學目標得到實現.這種層層障礙的設置有助于學生在問題突破后把握問題結構,認清問題本質.專題教學的題組設置可以潛移默化幫助學生形成自身一套獨有的“發現、提出問題——分析、解決問題”的邏輯系統.長此以往,這一邏輯系統經過不斷完善會形成學生特定的認知模式與問題解決模式.廣義上來說,它實現了數學課程目標的根本任務即立德樹人,學生形成了自己的世界觀方法論,狹義上來說,這套邏輯系統下沉到不同的數學知識技巧,就會形成不同類型數學問題的通性通法,在這一過程中,數學抽象的核心素養得以滲透,學科的育人價值也得到體現,完成“多題一解”教學模式的教育閉環.

4 反思

通過探究具體數學問題解題思路的行為活動,鼓勵學生萌生與定型具體的數學觀念,進而形成數學觀念系統是重要的教學目標[5].本文以橢圓焦半徑公式在高考解題教學中的應用作為切入點研究多題一解的教學模式,精心選題,滲透符號意識,以PF1與PF2的呈現觸發學生對焦半徑公式的信息提取,繼而從同一角度思考并解決不同層次的問題,實現知識技能躍遷,培養學生數學學科核心素養,潛移默化提高學生的認知和思維水平.這種教學模式的目標區分于“一題多解”,意在實現全體學生共同基礎的夯實與不同層次學生的多樣化選擇,使不同的學生在數學上得到不同的發展.當學生形成以焦半徑為問題中心信息觸發利用焦半徑公式解決問題的觀念機制,此時不失時機地將“橢圓焦半徑”格局提高至“圓錐曲線焦半徑”,多題一解視角下高屋建瓴地看待所有焦半徑問題,學生由知識和技巧的主人蛻變為問題與思維的主人,繼而駕馭高考.