高觀點視角下的函數極限保不等式性問題及高考應用

陜西省榆林市吳堡中學(718200) 郭蒙

陜西省榆林市吳堡縣教學教研室(718200) 薛小強

《普通高中數學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)第88 頁在考試命題原則中強調: 考查內容應圍繞數學內容為主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧.把握數學核心概念的本質,明晰什么是數學的通性通法[1].在第97 頁中強調: 我們教師應關注理解與高中數學關系密切的高等數學的內容,能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質[1].函數極限保不等式性屬于必要性探路的一種特殊方法,是一種通性通法,本文主要研究其在導數壓軸題中的應用.

1 保不等式性[2]

定理設=c.如果存在實數δ ＞0.對滿足0＜|x-a|＜δ的x,都有f(x)＜g(x),那么b≤c.

證明因為=c,所以對任給的ε ＞0,分別存在正數δ1,δ2,使得當0＜|x-a|＜δ1時有b-ε ＜f(x);當0＜|x-a|＜δ2時有g(x)＜c+ε.令δ3=min{δ,δ1,δ2},則當0＜|x-a|＜δ3時,再利用不等式f(x)＜g(x)與上兩式,就有b-ε ＜f(x)＜g(x)＜c+ε,從而b ＜c+2ε,由ε的任意性知b≤c.

評注此定理是大學《數學分析》的課程內容,現已調整到數學選修課程A 類微積分一書中第二章函數的極限第26頁,這樣處理為學生高等數學的學習打下堅實的基礎.由定理的證明過程知,條件中的f(x)＜g(x)改為f(x) ≤g(x)時,結論仍然是成立的,詳細證明參考文獻[3]第49 頁.

2 函數極限保不等式性在導數中的應用

例1(2023 年高考全國乙卷數學(理) 16 題)設a ∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是____.

解法1極限保不等式性+必要性探路

注意到f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a) ≥0 在(0,+∞) 上恒成立,由極限保不等式性質得,lna+ln(1+a)≥0,解得≤a ＜1.下證充分性.

評注此題利用參數將兩個指數函數巧妙組合,要求考生利用單調性得到參數的取值范圍,試題注重基礎,強調函數基本性質,導數的概念,性質,運算法則與應用,符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求,突出了函數與導數基本性質之間的關聯,利用極限保不等式性得到參數范圍,在充分性證明即可,此法為分類討論法提供了參數的分界點.

解法2分類討論

評注利用方法一得到的參數分界點進行分類討論,縮小了參數的范圍,降低了思維的成本.

解法3端點策略

由題意可得f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0 在(0,+∞)上恒成立,f′′(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,因此f′(x)在(0,+∞)上單調遞增,f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立等價于f′(0) ≥0,解得≤a ＜1,故a的取值范圍為

評注此題也可以這樣解答,由f′(x)≥0 可得

例2(2023 年新課標全國ⅠⅠ卷數學第6 題)已知函數f(x)=aex-lnx在區間(1,2)上單調遞增,則a的最小值為()

A.e2B.e C.e-1D.e-2

解法1極限保不等式性+必要性探路

評注試題通過導數將函數的單調性、不等式知識有機融合到問題情境中,考察全面,試題重視基礎,考察學生化歸與轉化的能力,能夠很好地引導中學數學教學,有助于實現高考立德樹人、服務選材、引導教學的核心功能,利用極限保不等式性得到參數范圍,在進行充分性證明,此法是一種通法.

解法2分離參數

評注先對a進行分類討論,再將參數a分離出來,也可將其轉化為≤a,再求出參數a的范圍.

例3(2023 年高考全國乙卷文科第20 題) 已知函數f(x)=(+a)ln(1+x),若函數f(x)在(0,+∞)單調遞增,求a的取值范圍.

解法1 極限保不等式性質+必要性探路

由題意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

評注利用極限保不等式性質,縮小了參數a的范圍,在檢驗其充分性,完美解答,在解題過程中,利用對數單身狗,可以減少求導次數,從而減少運算量.

解法2分類討論

評注利用極限保不等式性質得到參數a的分界點,以此分界點展開分類討論,進而完美解答此題,綜合考察了考生的邏輯推理、運算求解和推理論證能力以及分類討論的思想.

評注以方法一中的3 為分界點進行分類討論,本解法要求學生具有較強的數學運算能力,當a ＞3 時,可以直接對原函數進行放縮或者利用導函數找矛盾區間(矛盾點).

解法3分類討論+連續函數局部保號性

評注以方法一中的3 為分界點進行分類討論,當a ＞3時利用連續函數局部的保號性得到g(x)在(0,δ)上大于零,得到矛盾,進而得到參數的取值范圍,解題過程中用到了連續函數的保號性.

例5(2023 年高考全國甲卷文科第20 題) 已知函數f(x)=ax-,x ∈(0,),若f(x)+sinx ＜0,求a的取值范圍.

解法1分離參數+極限保不等式性質

評注利用極限保不等式性縮小了參數的范圍,在進行充分性證明,使得問題得以解決,此法為我們用分類討論解題提供了參數的分界點.

解法2切線放縮法+分類討論法

評注本解法要求學生具有較強的數學運算能力,當a ＞0 時,利用切線不等式sinx ＜x,x ∈(0,) 放縮,推導出矛盾,進而得出參數a的取值范圍,本題其它解法見文獻[5]-[7].

例6(2023 年高考新課標ⅠⅠ卷第22 題)

(1)證明: 當0＜x ＜1 時,x-x2＜sinx ＜x.

(2) 已知函數f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

評注此解法充分利用極值點的概念,由于極值點為函數的局部性質,只需將區間限制在充分小的區間上,再利用極限保不等式性,得到答案的必要條件,使得參數范圍縮小,在進一步驗證充分性,完美解答此題,此題其它解法見[4].

3 應用提升

題1(2019 年高考新課標1 文數第19 題) 已知函數f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數.

(1)證明:f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點;

(2)若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析(1)略;(2)a的取值范圍是(-∞,0].

題2(2018 年新課標3 卷理科第21 題) 已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明: 當-1＜x ＜0 時,f(x)＜0;當x ＞0 時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

解(1)略;(2)a=-

題3(2016 年高考全國2 卷文科數學第20 題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4 時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)當x ∈(1,+∞)時,f(x)＞0,求a的取值范圍.

解(1)略;(2)a的取值范圍是(-∞,2].

4.總結

函數極限保不等式性是解決導數恒成立問題的一把利器,是一種通性通法,在高三復習時,要重視教材的基礎作用和示范作用,講清數學概念、原理、方法等,落實四基、四能.對導數中的一些經典問題既要講清通性通法的求解,又要深入挖掘其中的本質,優化解題方法,要不厭其煩地將其中的分析求解過程呈現給學生,培養學生的分析推理能力,優化學生的思維品質,提升學生數學核心素養.由于歷年高考試題具有較強的指導意義,因此要加強真題研究,挖掘高考題的作用,舉一反三、融會貫通,進而提升備考效率,希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用.