次線性期望下寬相依隨機變量的完全f -矩收斂性

張子峰，華志強

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

在眾多統計問題中，常常假設隨機變量是相互獨立的，但在解決實際問題時，這種獨立性假設通常不成立。為了更好地理解和解決這些問題，研究相依隨機變量的極限理論問題變得非常重要。因此，WANG等［1］提出經典概率空間中WOD隨機變量的定義，如下：

定義1［1］隨機變量X1,X2,…,Xn被認為是寬上相依（WUOD）隨機變量，如果存在一個有限正數序列gU(n)，使得對于所有有限實數xi,1 ≤i≤n，有

隨機變量X1,X2,…,Xn被認為是寬下相依（WLOD）隨機變量，如果存在一個有限正數序列gL(n)，使得對于所有有限實數xi,1 ≤i≤n，有

當一組隨機變量X1,X2,…,Xn同時具有寬上相依（WUOD）和寬下相依（WLOD）時，稱它們是寬相依（WOD）隨機變量，其中gU(n)、gL(n)稱為控制系數。如果一個隨機變量序列{Xn,n≥1} 的每個有限子集都是WOD 的，那么將其稱為WOD 隨機變量。另外，如果對于每個n≥1，{Xni,1 ≤i≤kn} 都是WOD 的（即每個子集都滿足WOD性質），那么將這個隨機變量陣列{Xni,1 ≤i≤kn,n≥1} 稱為行內WOD隨機變量。

由于華志強等［2］的深入研究，使得有關寬相依（WOD）隨機變量的研究理論得到進一步推廣。完全收斂的概念由HSU等［3］引入，CHOW［4］在完全收斂的基礎上引入了完全矩收斂概念，它在概率極限理論和數理統計等不同領域的應用中起到了關鍵作用，已經得到了許多不同類型的結果。完全f-矩收斂的概念最早由WU等［5］提出，它比完全矩收斂更強，如下所示。

定義2［5］設{Sn,n≥1} 為隨機變量序列，{an,n≥1} 為正常數序列，f:?+→?+為非遞減函數，且f( 0 )=0。那么可以說{Sn,n≥1} 完全f-矩收斂，如果對于任意ε＞0，

在某些適當的條件下，可以選擇函數f，使得這種收斂性質得到廣泛適用，意味著完全f-矩收斂包含了完全矩收斂和完全收斂，關于完全f-矩收斂的更多內容，可以參考LU等［6］的研究內容。

在實際應用中，許多不確定性現象并不總是滿足期望值的可加性假設。因此，在這種情況下，PENG［7-9］引入了次線性期望的概念，這是對經典線性期望的擴展。

本文中使用了PENG［8］提出的框架和概念。令(Ω,? )是一個可測空間，令? 是被定義在(Ω,? )上的一個由實值函數組成的線性空間，對于任意的φ∈Cl,Lip(Rn)，如果X1,X2,…,Xn∈?，那么φ(X1,X2,…,Xn)∈?，其中Cl,Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數。即對任意φ∈Cl,Lip(Rn)，存在常數c＞0,ε∈N 取決于φ，都有

也稱? 是由隨機變量所構成的空間，并記X∈?。

定義3［8］稱E:? →:=[-∞,+∞]為次線性期望。如果對任意X,Y∈? 都有以下的性質：

1）單調性：如果X≥Y，則E[X]≥E[Y]；2）保常數性：E[c] =c；3）次可加性：E[X+Y]≤E[X]+E[Y]；4）正齊次性：E[λX]=λE[X]，其中λ≥0 稱三元組(Ω,?,E )為次線性期望空間。給定一個次線性期望E，定義它的共軛期望? 為?[X]:= -E[-X]，?X∈?。

定義4［8］令? ??，一個函數V:? →[0 ,1] 成為容度，如果

1）V(φ)=0,V( Ω )=1；2）對任意A?B,A,B∈?，都有V(A) ≤V(B)。

如果對所有的A,B∈? 且A?B∈?，都有V(A?B)≤V(A) +V(B)，則稱V 具有次可加性。在次線性空間(Ω,?,E )，定義一對容度（V，V），即對任意A∈?，有

其中Ac是A的補集。

定義5［8］Choquet 積分為可以用V 和V 代替V得到相應的積分。

1 預備知識

在本節中，提供一些引理來證明主要結果。下面給出了WOD 隨機變量的一個基本性質，可以在WANG等［10］中找到。

引理1［10］設{Xn,n≥1} 為WOD 隨機變量序列，如果{fn(·),n≥1} 為均非升（或非降）函數，則{fn(Xn),n≥1} 仍為WOD隨機變量序列。

下面介紹CHEN等［11］中2個次線性期望下的重要不等式。

引理2［11］（切比雪夫不等式）令f(x)＞0 是一個在R上的不減函數，那么對任何x＞0 ，有V(X≥x)≤E[f(x)]f(x)。

引理3［11］（Jensen不等式）令f(x)是R的凸函數，若E[X]和E[f(X)]都存在，則E[f(X)]≤f(E[X])。

下一個是V的指數不等式，其證明類似于孟垚［12］中的引理3.2，因此，省略這部分的證明。

引理4［12］令{Xn,n≥1} 是(Ω,?,E )下的WOD 隨機變量序列。假設對任意n≥1 有E[Xn] =0，那么對所有x＞0,y＞0 有

由次線性期望的定義和性質，很容易可以得到以下引理。

引理5設X和Y是(Ω,?,E )上的2個隨機變量，那么|E[X]-E[Y]|≤E[|X-Y|]。

LIN等［13］首次給出了在次線性期望下WOD隨機變量的定義和相關的結論。

引理6［13］令X1,X2,…,Xn+1是(Ω,? )上的實值可測隨機變量，Xn+1在次線性期望下寬相依于(X1,X2,…,Xn)。如果對于每一個非負可測函數φi(·) 在? 上有相同的單調性，且E[φi(Xi)]＜∞,i=1,…,n+1，存在一個正的有限的實數h(n+1) 滿足

在次線性期望空間中，I(|X|≤a)并不一定是連續的。因此，E[I(|X|≤a)]未必成立。所以對定義在Cl,Lip上的函數，需要對示性函數進行修正。于是，對函數∈Cl,Lip(? )進行如下定義：

對于0＜μ＜1，設(x)∈Cl,lip(R)在x≥0 是單調下降的，且是一個偶函數，使得對?x∈R，0 ≤≤1，且當 |x|≤u(x)=1；當 |x|＞1~(x)=0，則

鑒于上述觀點，得到了類似孟垚［12］中定理3.1的結論。

引理7［12］設{Xnk,1 ≤k≤kn,n≥1} 是在(Ω,?,E )下的行內WOD隨機變量陣列，且{an,n≥1} 是一列正的常數列。假設滿足以下2個條件：

（Ⅰ）對任何θ＞0，設

（Ⅱ）存在常數η＞0,0＜p≤2和δ＞0，使得

那么，對于任意的ε＞0，有

2 主要內容

定理1設{Xnk,1 ≤k≤kn,n≥1} 是一列在(Ω,?,E )下的行內WOD 隨機變量陣列，{an,n≥1} 是一列正的常數。設f(x)＞0,x∈( 0,∞)為增函數，f( 0 )=0。且η≥1，0 ≤μ≤1為常數。假設以下條件成立：

1）對任意θ＞0，

2）對任意κ＞0，

3）存在常數0＜p≤2 和δ＞0，使得

4）當n→∞時，有

5）定義g(x)為f(t)的反函數，即g(f(t))=t,t≥0。且

證明因為f(x)遞增且η≥1，0 ≤μ≤1，根據條件（1），所以有

對所有θ＞0，根據引理2和條件（2），有

這滿足了引理7的條件（Ⅰ），條件（3）顯然使引理7的條件（Ⅱ）成立。

對n≥1，定義，對?ε＞0，通過Choquet積分的定義，有

由引理7可知

下一步，為了證明式（3），僅需要證明I2＜∞

對于I3，根據引理2和式（4），有

為了證I4＜∞，定義兩列隨機變量{Ynk} 和{Znk} ，對n≥1，1 ≤k≤kn和t≥f(δ)，定義

通過引理1，很容易看出{Ynk-E[Ynk],1 ≤k≤kn,n≥1} 是一個行內WOD隨機變量陣列，通過條件（4），當n→∞，有

因此，當t≥f(δ)時，結合引理5，對所有足夠大的n，有

于是對所有足夠大的n

從而可得

對于I5，根據引理2和式（4），有

對于I6，有E[Ynk-E[Ynk] ]=0，應用引理4，令，得到

通過條件（4），當n→∞，得到

因此，對所有足夠大的n，

從而可得

對于I8，通過引理3、引理5和Cr-不等式，有

因為g(t)是遞增的，且η≥1，所以0＜g-η(t)≤g-η(f(δ))=δ-η，而S(t)是不減的，所以，因此有g-η(t)≤δ-η-1f(δ)S(t)和g-2η(t)≤CS(t)g-η(t)。

為了估計I9，因為和1＜p≤2，根據條件（3）和條件（5），有

對于I10，顯然有

從條件（4）可得出，對所有足夠大的n，

根據條件（2）和條件（5）

最后，對于I11，因為t≥f(δ)，由引理2和條件（4）可得，對所有足夠大的n

于是再次由式（4），可以得到

因此，從式（5）～式（16）能夠得出式（3）。

綜上，完成了定理1的證明。

3 結束語

對次線性期望空間中WOD隨機變量的完全f-矩收斂性進行了研究，推廣了LU等［6］的經典概率空間下WOD隨機變量的完全f-矩收斂，得到了次線性期望下WOD隨機變量的完全f-矩收斂。