基于理性擴展熱力學的LS熱聲彈性理論框架

摘要：本文基于連續介質力學和理性擴展熱力學分析流程，將LS（Lord and Shulman）熱彈性理論與聲彈性理論相結合，建立LS熱聲彈性理論的基本框架，包括運動學、力學與熱力學、本構方程與演化方程、基本場方程四部分。在運動學部分，區分了Lagrange描述和Euler描述，以及3種不同的狀態和構形，同時針對熱聲彈性情況定義了兩類從自然狀態到初始狀態的轉變過程；在力學與熱力學部分，給出了質量守恒定律、動量守恒定律、角動量守恒定律、能量守恒定律以及熵產不等式，從而引出經典不可逆熱力學的局限性；在本構方程與演化方程部分，介紹了擴展不可逆熱力學原理，并基于理性擴展熱力學流程，推導了從自然狀態到初始狀態、從初始狀態到最終狀態的熱聲彈性本構方程與演化方程，將熱流作為本構自變量并考慮了熱流與應變和溫度的相關性；在最后一部分給出了基本場方程的運動方程形式和適用于數值模擬的一階速度應力熱流溫度微分方程。

關鍵詞：LS理論；熱彈性；聲彈性；連續介質力學；理性擴展熱力學

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230002

中圖分類號：P631.4

文獻標志碼：A

0引言

隨著對地球深層非常規油氣資源、深部礦產資源以及深部地熱資源勘探需求和開采深度的增加，復雜介質中地震波傳播的物理機制研究所要考慮的因素也越來越多。在這些因素之中，溫度和壓力的變化對地震波傳播特性的影響一直是研究的熱點5]。前人為了分別研究彈性波傳播特性與溫度變化、壓力變化的關系，引入了熱彈性理論11]和聲彈性理論[16]。

熱彈性理論研究物體在彈性范圍內溫度變化和應力、應變之間的關系。對于熱彈性理論而言，熱傳導過程自發且不可逆，與熵產有關，等溫和絕熱條件假設不復存在，本構關系除了應力和應變之外還需要考慮溫度和熵之間的關系；因為經典熱力學理論僅對熱平衡狀態有效，不足以描述熱彈性過程，所以需要利用不可逆過程的熱力學21]來描述。Biot基于不可逆熱力學原理和傅里葉熱傳導定律，開創了耦合熱彈性理論，為熱彈性理論的快速發展和應用奠定了堅實的基礎。然而，由于傅里葉熱傳導定律是擴散方程，導致熱傳輸方程是拋物型方程，從而產生熱傳播速度無窮大的悖論。為克服這一悖論，實現有限的熱傳播速度（即第二聲效應），一些學者提出了廣義熱彈性理論，如對LS（Lord-Shulman）理論、GL（Green-Lindsay）理論、GN（Green-Naghdi）理論等進行研究。其中，LS理論基于修正的傅里葉定律，即Maxwell-Cattaneo-Vernotte（MCV）方程27]，通過引入一個時間常數（熱流弛豫時間）來表示建立熱傳導穩態所需的時間延遲，使對應的熱傳輸方程是一個雙曲型方程，熱傳播具有了波動性質。盡管MCV方程是允許第二聲效應的最簡單、最經典的方程，然而，它從拋物型方程到雙曲型方程的轉變過程并不嚴格；這是因為不可逆熱力學沿用了可逆熱力學的局部平衡假設，即熱力學過程的任一時刻熵產都為正。但在實際情況中，熵是以振蕩的形式表現的，而非單調遞增。當熱力學過程時間與分子碰撞中的弛豫時間或電子、聲子之間微尺度熱化時間相當時，熱力學狀態的轉變以快速瞬態形式發生，在此過程中熱力學“狀態”在移動之前，可能沒有足夠的時間達到熱力學平衡。結果，熱力學過程變得不可逆，因此局部平衡假設失去依據，必須擴展經典不可逆熱力學的框架，從宏觀擴展到介觀狀態，來解釋快速瞬態效應和短時響應的不可逆性，從根本上消除傅里葉熱傳導定律導致的悖論。

20世紀60年代以來，處理連續介質的理性熱力學（rational thermodynamics， RT）提出31]，要求Clausius-Duhem不等式必須對質量守恒定律、動量守恒定律、能量守恒定律和本構方程的所有解成立，通過Coleman-Noll流程，Clausius-Duhem不等式可以作為本構函數通用性的約束，局部平衡不再需要作為先驗假設。理性熱力學充分利用了連續介質力學的物質標架無差異原則，使本構函數必須不包含慣性項，熱力學只需確定傳輸系數的不等式（如熱導率）。Truesdell34]視理性熱力學為非平衡熱力學的真正開端。理性熱力學用良好的論據和對基本原理的澄清豐富了熱力學，適當強調了熵不等式對本構函數形式起到的限制性作用。還有一個明確的聲明，即熵不等式必須對所有的熱力學過程（即場方程的解）都成立，從而，通過將熵流視為先驗的、與熱流無關的本構量，為將Clausius-Duhem不等式修改為真正的熵不等式提供了動力36]，并且通過引入Lagrange乘子來利用熵不等式。這種改進，即Müller-Liu流程，成為理性擴展熱力學（rational extended thermodynamics， RET）的重要組成部分。Müller和Liu的理性擴展熱力學填補了理性熱力學與氣體動力學之間的空白。

擴展不可逆熱力學（extended irreversible thermodynamics， EIT）40]是在經典不可逆熱力學的傳統之下，用耗散通量作為獨立變量的熱力學理論。對于熱彈性固體，經典不可逆熱力學變量包括內能、密度、變形張量、絕對溫度、熵等，而擴展不可逆熱力學添加了熱流以及熱流通量（flux of heat-flux）作為獨立變量。Machlup等發展了取決于通量的廣義熵假設，這構成了擴展不可逆熱力學的基本假設。Nettleton提出了一種更直接應用于流體的公式。Müller36]受分子運動論的啟發，獨立地提出了類似的模型。隨后，Lambermont等重新發現了熱傳導的廣義Gibbs方程。1976年以后，廣義熵假設開始得到廣泛認可和接受，激發了許多研究48]，Jou等50]和Sieniutycz等對這些后續的研究進行了綜述。Jou等提出了擴展不可逆熱力學的理性版本，也稱之為理性擴展熱力學，這與Müller和Liu提出的理性擴展熱力學存在密切聯系。

聲彈性理論基于有限變形連續介質力學54]，從宏觀唯象角度研究固體應力狀態與彈性波速度之間的關系。在存在初始應力的固體中，彈性波速度不僅取決于材料的密度、二階和三階彈性常數，還與固體的初始應力狀態有關。聲彈性理論的發展源于測量晶體三階彈性常數和多晶材料殘余應力的需要，后來，隨著超聲波原理與技術應用于測量三階彈性常數，聲彈性理論逐漸成形[16，57]。

已經有一些學者研究過應力場和熱場的耦合作用。早期的研究基于有限變形彈性理論和耦合熱彈性理論，不涉及高階彈性常數66]。后來Iesan69]基于這些研究發展了預應力作用下的線性熱彈性理論和非線性熱彈性理論。之后又有一些學者發展了預應力熱彈性動力學理論74]。隨著三階彈性理論和聲彈性理論的發展成形，一些學者在這些理論框架下考慮熱效應78]。最近，Chen等基于聲彈性理論和GL熱彈性理論，建立了聲熱彈性模型。但截至目前，尚未有學者將擴展不可逆熱力學原理引入預應力作用下的熱彈性理論。

本文基于連續介質力學和理性擴展熱力學分析流程，將LS熱彈性理論與聲彈性理論相結合，建立LS熱聲彈性（thermoacoustoelasticity， TAE）理論的基本框架，包括運動學、力學與熱力學、本構方程與演化方程、基本場方程四部分。基于理性擴展熱力學流程，推導了從自然狀態到初始狀態、從初始狀態到最終狀態的熱聲彈性本構方程與演化方程，將熱流作為本構自變量并考慮了熱流與應變和溫度的相關性；給出了基本場方程的運動方程形式和適用于數值模擬的一階速度應力熱流溫度微分方程，包括等溫形式的方程和絕熱形式的方程，并基于基本場方程進行了平面波分析。

1LS熱聲彈性理論框架

在聲彈性理論中，根據彈性體機械變形狀態，可以定義3種狀態：自然狀態、初始狀態和最終狀態，關于問題的描述，詳見附錄A.1。在熱聲彈性情況下，我們除了考慮3種機械變形狀態之外，還需考慮與之耦合的熱狀態，即溫度、熵、熱流的狀態。Gurtin等指出，如果溫度為T（上標代表參考狀態）的參考構形對所有擾動漸進穩定，則物體最終應該在T松弛到未變形的狀態，而T同時也是熱力學平衡態溫度，即E→0，T→T（E為應變，T為溫度）。此時的參考構形中沒有應力，彈性張量是對稱半正定張量，比熱容非負。這一參考構形被稱為自然參考構形。在接下來的熱聲彈性理論中，我們定義自然狀態為無初始應力和初始應變、無初始熱流、系統處于熱平衡、溫度保持為自然溫度T的狀態。從自然狀態到初始狀態的過程可以暫且分為比較簡單的兩類，而初始狀態也相應地存在兩類情況。

第一類過程（Type Ⅰ）：加載熱彈性力（固定大小和方向的純機械力和/或輸入熱源），由于在熱彈性模型中機械作用和熱作用耦合，因此產生初始應力、應變、熵變、溫度梯度、熱流，系統構形改變；假設在初始狀態已經達到熱平衡，溫度梯度和熱流消失。因此可以定義第一類初始狀態：只有初始應力、初始應變、初始熵和恒定初始溫度已知，沒有初始熱流和溫度梯度分布的初始狀態。這個定義有些類似于傳熱學的第一類邊界條件，即在邊界上給定了溫度值。

第二類過程（Type Ⅱ）：加載熱彈性力，產生初始應力、應變、熵變、溫度梯度、熱流，系統構形改變；但在初始狀態，新的熱平衡尚未建立。因此可以定義第二類初始狀態：具有初始應力、初始應變、初始熵、初始溫度和初始熱流的初始狀態。同樣，這類似于傳熱學的第二類邊界條件，即在邊界上給定了熱流值。

以地球深部作為所要研究的連續體，如果選取某一時刻作為初始時刻，選取該時刻的狀態為初始狀態，則從自然狀態到初始狀態的預變形過程實際上是第二類過程，因為地球內部總是存在熱流和地溫梯度。

我們在此約定，變量的上標、、分別表示所處的自然狀態、初始狀態和最終狀態。向量χ、X、x分別代表質點位置的自然坐標表示、初始坐標表示和最終坐標表示;3個向量在各自構形中的分量分別用希臘文下標、大寫羅馬文下標和小寫羅馬文下標表示。在本文中，除非特別強調，對物理量和物理定律一致使用Lagrange描述。

1.1運動學關系和守恒定律

連續介質力學理論框架主要分為三部分：運動學、守恒定律和本構關系。熱彈性理論、聲彈性理論和熱聲彈性理論都是在該理論框架下構建的，并且在運動學部分和守恒定律中的質量守恒定律、動量守恒定律以及角動量守恒定律部分，熱聲彈性理論與聲彈性理論一致。我們將LS熱聲彈性理論的運動學和守恒定律的相關方程寫出如下，其推導過程參見附錄A.2、A.3。

1.2基于理性擴展熱力學的LS熱聲彈性本構方程和演化方程

1.3本構方程和演化方程的線性化

1.3.1從自然狀態到初始狀態

對于從自然狀態到初始狀態的過程，我們假定存在一個基于耦合熱彈性理論的靜態變形過程，服從傅里葉定律，不涉及擴展不可逆熱力學。于是，以自然構形為參考構形，初始狀態下亥姆霍茲自由能的本構方程可以表示為

聲彈性理論中只保留線性項，忽略初始應力表達式中的三階彈性常數項，并將初始應變視為小應變。我們在熱聲彈性理論中沿用這些假設，用eγδ代替Eγδ。而以初始構形作為參考構形的本構方程對我們而言更為重要，它可以寫成關于這兩個模量，還有待于日后在物理模擬方面開展更多研究。

式（23）表明考慮了壓熱效應，即初始熱流導致的非均勻初始溫度分布（初始溫度梯度）與應變相關。如果初始溫度分布是均勻的，則不存在熱流，式（24）中的兩個模量都為0，式（23）退化為傅里葉熱傳導定律。而關于地溫梯度/熱流密度與地層壓力之間的關系，還有待于今后開展深入研究。

1.3.2從初始狀態到最終狀態

從初始狀態到最終狀態，我們視為基于LS理論的熱彈性動態變形過程。最終狀態處于熱力學非平衡態，因此使用非平衡溫度作為本構變量。而且我們承認快速瞬態熱力學過程存在的可能性，基于擴展不可逆熱力學原理，將增量熱流作為本構變量。

以初始構形作為參考構形，參照式（15），得到增量亥姆霍茲自由能的本構方程：

上標表示“等效”。這一張量將在熵本構方程的線性化過程中發揮重要作用。值得注意的是，MIJ是對稱正定張量分量，但并不一定是對角張量分量，只有當彈性系數矩陣對稱性高于正交各向異性（包括正交各向異性）時，可以將其視為對角張量分量。

CIJKL的對稱性與等溫彈性張量分量相同，滿足CIJKL=CJIKL=CIJLK=CKLIJ。它在聲彈性理論中發揮重要的作用，被稱為（等溫）等效聲彈性剛度張量分量，在等溫情況下，等效聲彈性剛度張量將使應力應變本構關系式變為線性本構關系式。于是，式（27）在熱聲彈性理論中通常寫成以下形式，以與熱彈性力學相類比：

從初始狀態到最終狀態，熱流由MCV方程控制，同時考慮了熱流與應變和溫度的相關性；但是熱流作為本構變量而非本構響應函數。增量熱流表示為

1.4熱聲彈性基本場方程

根據式（32）（34）（36），基于LS理論的熱聲彈性場方程組表示為：

對于地震波場正演模擬而言，一階速度應力微分方程相比于二階熱聲彈性運動方程，計算效率更高。在正演模擬過程中我們得到的是Lagrange描述的物理量，但對于實際應用而言，Euler描述的物理量更有價值，因此可能需要視情況在兩種物理量之間進行轉換。在熱聲彈性情況中，具有潛在應用價值的演化方程包括熱流和溫度演化方程，應當列入耦合的一階微分方程組中。接下來介紹兩種形式的一階速度應力熱流溫度微分方程。

1.4.1等溫形式的一階速度應力熱流溫度微分方程

考慮二維情況，一階速度應力熱流溫度微分方程可以寫為以下形式。

上述方程中，應力分量的本構方程是用AIJKL表示的，因此可以稱為等溫形式的一階速度應力熱流溫度微分方程組。然而由AIJKL決定的等溫波速并不出現在熱聲彈性耦合過程中，只有在設定非耦合情況（即熱膨脹系數或熱應力張量為0）時，等溫波速才會出現。

1.4.2絕熱形式的一階速度應力熱流溫度微分方程組

實際上，在熱彈性情況下，等溫壓縮（pressure， P）波速度的作用由絕熱P波速度所替代85]，而剪切（shear， S）波不受熱效應影響。考慮各向同性情況，絕熱P波速度與等溫P波速度之間的關系為：

1.4.3剛性問題

LS熱彈性方程組具有剛性，即傳播矩陣的特征值具有負實部且特征值之間大小相差懸殊。剛性方程組的數值解存在穩定性問題，為了求解剛性方程組，可以采用時間分裂法將方程組的剛性部分分離出來進行解析求解，作為非剛性方程組數值求解的初始值。

考慮式（50）的一維情況，將方程組寫成矩陣形式：

絕熱形式的方程組（式（50））相比于等溫形式的方程組（式（40）—（44）），物理意義更加明確，強調了熱流在熱聲彈性理論中的重要性。并且，剛性項集中于熱流的弛豫項，非剛性方程組保持了時間導數和空間導數的一階性，這對于編程實現和施加PML（perfectly matched layer）類邊界條件是很有利的。

1.5平面波分析

附錄A.6給出了基于LS熱聲彈性理論的平面波分析流程。考慮沿垂直方向傳播的平面波，可以求解出初始狀態下的兩種準橫波（qS波）速度：

式中：M33為Maxwell黏彈模型核函數；ω為角頻率。式（58）有兩個解，一個為彈性（elastic， E）模式（正號），一個為熱（thermal， T）模式（負號）。

由式（57）（58）可知，qS波速度與初始應變相關。在熱聲彈性情況下，等溫速度不僅由介質彈性參數和密度決定，還由初始應力（應變）決定。因為假定初始應力是熱彈性應力，包含機械加載產生的應力和由溫差產生的熱變形所對應的熱應力，如果初始溫度環境有變化，qS波也會隨之變化。所以，熱聲彈性qS波受熱效應影響。已知初始應力對聲彈性qP波、qS波都有影響，則可以推斷在熱聲彈性情況下，與溫度相關的熱彈性初始應力也會對熱聲彈性S波有影響。但式（58）只能證明熱聲彈性qS波與從自然狀態到初始狀態的溫度變化有關；對于波傳播研究而言，從初始狀態到最終狀態的熱效應是我們更加關注的。為了明確“熱效應”的概念，我們將從自然狀態到初始狀態的靜態過程中的熱效應稱為“靜態熱效應”，而將從初始狀態到最終狀態的動態過程中的熱效應稱為“動態熱效應”。

基于垂直方向傳播的平面波的討論并不全面，因為初始應力可能會引發各向異性，至少要在一個平面中進行進一步討論。我們選擇XOZ平面，并令入射角為45°。重復上面的流程，可以得到其中一個qS波解：

在考慮三維情況時需要求解速度的12次多項式（速度平方的6次多項式），想要得到速度的顯式方程幾乎是不可能的，只能隱式求解?？梢灶A期根據式（61）能夠得到4個具有物理意義的根，而其中兩個根與第一準橫（qS1）波相關。

Chen等基于GL理論，預測了聲熱彈性模型中的4種波傳播模式：P波、快S波、次S波和T波，并指出，在預應力熱彈性介質中，T波與P波和快S波耦合，引起能量耗散，而次S波不受動態熱效應的影響。而在無預應力的情況下，T波只與P波耦合，而不與快S波和第二S波耦合，這對應于Deresiewicz、Rudgers、Carcione等等的觀察結果。式（61）表明，在二維情況下，qP波、準熱（qT）波和第一準橫（qS1）波耦合在一起，并且波速明顯與熱物性參數（如熱導率、熱膨脹系數、比熱容）相關，可以推測，qP波具有E模式和T模式，而qS1波同樣也有E模式和T模式。因此，為了避免混淆，我們用qPE、qPT、qS1E和qS1T分別表示這些波傳播模式。于是，在LS熱聲彈性情況下，共存在5種波傳播模式，即qPE、qPT、qS1E、qS1T和qS2。

根據Carcione，可以由復速度計算相速度和衰減因子：

2數值算例與分析

2.1模型參數與初始應力條件設置

首先考慮基于經典不可逆熱力學的、忽略壓熱效應的LS熱聲彈性理論的情況。假設介質在自然狀態下為各向同性介質，自然狀態下的比熱容、熱導率、定壓熱膨脹系數等于初始狀態的對應值。介質物性參數如表1所示。

我們統一假定初始應力為熱彈性應力，并注意：

1）當初始參考溫度等于自然參考溫度時，則從自然狀態到初始狀態，熱彈性應力視為單純的彈性應力。

2）當初始參考溫度不等于自然參考溫度時，從自然狀態到初始狀態的熱彈性應力與這個過程中的溫差T-T相關。如果初始狀態是第一類初始狀態，即已經達到熱平衡，則在初始狀態下沒有熱流和溫度梯度，物體中溫度處處相等且等于T；如果初始狀態是第二類初始狀態，新的熱平衡尚未建立，則具有初始熱流和初始溫度梯度。

2.2相速度和衰減系數隨頻率的變化

2.2.1沿垂直方向傳播的平面波

對于沿垂直方向傳播的平面波，首先考慮相速度隨頻率的變化。當K= K=5 m·kg/（s3·K）、初始參考溫度為300 K、其余熱物性參數（單位體積定容熱容、定壓熱膨脹系數）取相同的正常值（c=110 m2/（s2·K）、α=3×10-6K-1）、靜水壓力分別為0、10和30 MPa時，相速度隨頻率變化的曲線如圖1a、b所示。由圖1a、b可知，靜水壓力0 MPa相當于LS廣義熱彈性情況。在低頻情況下，qPE波相速度為絕熱速度vqPE，隨著頻率增加，相速度增加直至高頻極限vqPESymboleB@。這與Carcione等針對LS熱彈性情況得到的結果相似。而隨著靜水壓力的增大：qPE波、qPT波、qS1波、qS2波相速度都有所增加，其中qS1波、qS2波相速度曲線在圖中重合；qPE波、qPT波相速度拐點向高頻方向移動。衰減系數隨頻率的變化如圖1c、d所示。根據式（57）（58）（63）（64），可知在平面波沿垂直方向傳播的情況下，qS1波和qS2波的速度為實速度，沒有虛部，因此沒有衰減；而qPE波、qPT波的速度為復速度，存在虛部并因此存在衰減。所以，在圖1c、d中沒有qS1波和qS2波衰減系數曲線，只有qPE波、qPT波衰減系數曲線。在低頻情況下，qPT波衰減系數處于高值，隨著頻率增加而逐漸減??；qPE波衰減系數隨著頻率增加，將出現一個衰減峰。隨著靜水壓力的增大，qPE波、qPT波的衰減系數曲線拐點向高頻方向移動，qPE波衰減峰頻率增大，峰值減小。初始應力不僅改變了密度、等效彈性系數，還改變了熱應力張量和體積熱容，從而影響了衰減系數。

接下來考慮在水平方向加載單軸壓力的情況。當水平方向單軸壓力分別為0、10和30 MPa時，相速度隨頻率變化的曲線如圖2a、b所示，衰減系數隨頻率的變化如圖2c、d所示。圖2曲線的總體特征與圖1相似，只有細微的差別。當施加水平方向的單軸壓力之后，qS波分裂為波速不同的qS1E波和qS2波，其中vqS1Egt;vqS2。當水平方向單軸壓力為0 MPa時，qS1E波、qS2波相速度曲線重合。隨著水平方向單軸壓力的增大，對于沿垂直方向傳播的平面波，qPE波、qS1E波、qS2波相速度減小，qPT波相速度增大，相速度拐點和衰減峰向低頻方向移動但不明顯，峰值增大。水平單軸應力使得各向同性介質表現得像具有水平對稱軸的橫向各向同性介質，產生了S波分裂現象。

當Z方向單軸壓力分別為0、10和30 MPa時，相速度隨頻率變化的曲線如圖3a、b所示，衰減系數隨頻率的變化如圖3c、d所示。圖3與圖2相比，曲線總體特征不變，但差別比較明顯。由于單軸壓力加載方向與波傳播方向相同，S波分裂現象消失，qS1E波與qS2波相速度曲線重合，并且沒有衰減。隨著垂直方向單軸壓力的增大，qPE波、qPT波、qS1E波和qS2波相速度明顯減小。qPE波、qS1E波和qS2波相速度拐點和衰減峰向低頻方向移動，峰值增大；qPT波相速度拐點向高頻移動，衰減系數曲線向低頻方向移動。

Chen等研究在單軸加載條件下，基于GL理論的聲熱彈性介質中波的特性，發現施加應力使得各向同性的熱彈性介質變得不均勻，導致快S波具有由熱損耗引起的小弛豫峰；E波和快波在地震頻率和超聲頻率之間具有強烈的擴散性，T波僅在低頻段具有強烈的擴散性；施加應力可以明顯提高P波、E波和第二S波在全頻段的傳播速度，對于具有小體積比熱容的熱彈性介質而言，在測井頻率（約103Hz）以上，施加應力將略微增加T波速度；增加應力會導致P波衰減因子減少，快S波衰減因子增加，T波衰減幾乎與應力無關。但在預應力熱彈性介質中，增加應力不能使3種波的衰減峰移動。降低體積比熱容會增加P波和快S波的衰減系數，但幾乎不能改變T波的衰減系數。本文與Chen等的工作類似，但是基于LS理論，這導致基本方程組不同，所得到的平面波分析結果可能也有差異。

（已經達到熱平衡）時的熱聲彈性平面波相速度（圖4a）和衰減系數（圖4b）隨頻率的變化。由圖4可知，初始溫度對qPE波和qPT波相速度的影響比較明顯，但對qS1E波、qS2波相速度沒有影響，因此，qS1E波、qS2波與圖1中顯示的規律相同，兩條相速度曲線重合。另外，值得注意的是，qPE波的弛豫峰頻率約為42.361 MHz，并不隨著初始溫度的增加而移動，但是衰減峰向低頻方向移動，峰值明顯減小。這是因為弛豫峰位置取決于熱導率和熱流弛豫時間，在靜水壓力相同的情況下，初始狀態的熱導率和熱流弛豫時間都相同；但衰減峰取決于衰減因子和相速度，二者都與參考溫度相關。在熱彈性理論中，弛豫峰與衰減峰可被視為近似相同，但在基于LS理論的熱聲彈性情況中存在差別。

最后，考察當初始溫度為300 K、外界加載溫度分別為300、1 300和2 300 K時的熱聲彈性平面波相速度（圖5a）和衰減系數（圖5b）隨頻率的變化。在初始時刻，會分別產生溫度差0、1 000和2 000 K以及其對應的熱應力。由圖5可知，1 000 K的初始溫差對相速度和衰減系數的影響較小，不如初始溫度的影響那般明顯。qS1E波、qS2波與圖1中顯示的規律相同，兩條相速度曲線重合。隨著溫差的增大，qPE波、qPT波、qS1E波、qS2波相速度均減小。這種條件設置類似于熱沖擊實驗，但在實際巖石的熱沖擊實驗中，熱沖擊會對巖石造成損傷，除了熱聲彈性效應之外，還需要考慮更復雜的機制（如熱破裂、相變等）。

與Carcione等、侯婉婷等和李元燮等針對基于LS廣義熱彈性理論的平面波分析結果相比，本文基于LS熱聲彈性理論的平面波分析體現了初始溫差和初始應力對相速度和衰減系數的影響。這對于解釋高溫高壓巖石波速實驗的結果具有一定的意義。

2.2.2在二維平面中傳播的平面波

對于各向異性情況，沿單一方向傳播的平面波分析并不能全面地反映波傳播特征；接下來，觀察二維相速度曲線以考察應力誘導的各向異性特征。假定主應變方向與材料各向異性主軸方向重合，令自然坐標軸與初始坐標軸重合（但自然坐標與初始坐標仍有差異）。

1）人工地震頻率條件

首先，指定主頻f0=25 Hz，K=5 m·kg/（s3·K），其余熱物性參數不變。圖6a顯示了預應力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當平面波入射角為0，即波傳播方向與Z軸夾角為0（β=0°）時，XOY平面中的相速度隨方位角（φ）的變化；圖6b顯示了同樣條件下，平面波方位角為0，即波傳播方向與X軸夾角為0（φ=0°）時，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6a可知，入射角為0意味著平面波沿Z軸傳播，qS1E波與qS2重合。隨著靜水壓力的增大，qPE波和qS1E波相速度增大。qPT波、qS1T波呈現擴散振型，顯示為圖中心處的小紅點，相速度非常小。由圖6b可知，平面波沿X軸傳播，qPE波相速度面呈現花瓣形狀，在與Z軸平行和相垂直的方向，相速度達到最大值，而在與Z軸成45°夾角的方向，相速度具有最小值。同時，qS波分裂為qS1E波和qS2波，其中：qS2波相速度面形態與圖6a相同，因為該模式不受動態熱效應影響；qS1E波相速度面呈現花瓣狀，并且隨著靜水壓力的增大，qS1E波相速度增大，花瓣趨向于十字形，在與Z軸平行（β=0°）和垂直（β=90°）的方向，qS1E波相速度具有最小值，而在與Z軸成45°夾角的方向，相速度達到最大值。出現這種現象，是因為耦合了熱彈性效應，并且我們假定熱物性參數的張量都是對角張量，只有在材料主軸上有值。熱膨脹效應發生在材料的主方向上，Maxwell黏彈模型核與靜水壓力產生的初始應變相關，這決定了E波相速度比較明顯的各向異性，因此在β=0°，90°方向上qPE波相速度達到最大值。qS波的分裂現象印證了Chen等的結論，即在初始應力作用下，存在一種傳播速度較快的S波，和另一種不受熱效應影響的S波。

圖6c顯示了預應力為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當入射角為0時，XOY平面中的相速度隨方位角的變化；圖6d顯示了同樣條件下，當方位角為0時，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6c可知：平面波沿Z軸傳播，qS1E波與qS2波重合。隨著Z方向單軸壓力的增大，qPE波和qS1E波在XOY平面中的相速度明顯減小，這對應于一維情況下的觀察結果；qPT波、qS1T波呈現擴散振型。由圖6d可以看出：隨著Z方向單軸壓力的增大，β=0°方向的qPT波相速度明顯減小，但β=90°方向qPT波相速度只是略微減小；qS1E波相速度曲線呈現花瓣形，相速度最大值所對應的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小。

圖6e顯示了預應力為X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當入射角為0時，XOY平面中的相速度隨方位角的變化；圖6f顯示了同樣條件下，當方位角為0時，YOZ平面中相速度隨入射角的變化。由圖6e可知：隨著X方向單軸壓力的增大，qPE波和qS1E波在XOY平面中的相速度只是略微減小，這對應于一維情況下的觀察結果；qPT波、qS1T波呈現擴散振型。由圖6f可以看出：隨著X方向單軸壓力的增大，β=90°方向的qPE波相速度明顯減小，但β=0°方向qPE波相速度只是略微減?。籷S1E波相速度曲線呈現花瓣形，相速度最大值所對應的與Z方向的夾角隨著X方向單軸壓力的增大而增大。

25 Hz頻率對應于典型的地震勘探頻率條件，同時在本文LS熱聲彈性背景下屬于低頻條件。在這樣的條件下，通常只能觀察到擴散型的qPT波、qS1T波。但初始應力對于相速度平面形態的影響比較明顯。

2）井中超聲頻率條件

接下來指定超聲頻率f0=3.5 MHz，K=5×106 m·kg/（s3·K），其余熱物性參數不變。圖7a顯示了預應力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當入射角為0時，XOY平面中相速度隨方位角的變化；圖7b為圖7a的局部放大圖。由圖7a和7b可知，在f0=3.5 MHz，K=5×106 m·kg/（s3·K）的情況下，qS1E波與qS2波重合，qPE波、qS1E波、qS2波相速度都隨靜水壓力的增大而有所增大，并且出現了明顯的qPT波，具有恒定的相速度而非擴散振型，隨著靜水壓力的增大而增大。

圖7c顯示了預應力為靜水壓力（0、10、30 MPa），當方位角為0時，YOZ平面中相速度隨入射角的變化；圖7d是圖7c的局部放大圖。由圖7c和7d可知，qPT波相速度曲線趨于正方形，在β=0°，90°時相速度最大；除此之外，還出現了qS1T波，相速度曲線呈現花瓣形狀，在β=0°，90°時相速度最小，接近于0，而在β=45°時相速度達到最大值。隨著靜水壓力的增大，qS1T波相速度增大，但與其他波模式相比并不明顯。

圖7e和圖7f顯示了預應力分別為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa）和X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當入射角為0時，XOY平面中相速度隨方位角的變化。圖7g和7h顯示了預應力分別為Z方向單軸壓力（0、10、30 MPa）和X方向單軸壓力（0、10、30 MPa），當方位角為0時，YOZ平面中相速度隨入射角的變化，并且是局部放大圖。由圖7g可知：隨著Z方向單軸壓力的增大，qPT波相速度在β=0°方向減小，而在β=90°，270°方向相速度最大；qS1T波相速度曲線呈現花瓣形狀，隨著單軸壓力的增大，相速度最大值所對應的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小。圖7g、圖7h中的qS1T波相速度隨壓力的變化規律與圖6d、6f中的qS1E波相似，相速度最大值所對應的與Z方向的夾角隨著Z方向單軸壓力的增大而減小、隨著X方向單軸壓力的增大而增大。

3.5 MHz是典型的超聲頻率。在超聲頻率下，如果熱導率和/或比熱容非常高，將有可能觀察到波動振型的qPT波、qS1T波。這適用于超高速加熱、微尺度傳熱的熱彈性問題。絕大多數金屬礦物的熱導率量級對于熱彈性波場特征的影響都不明顯。在迄今為止的地球物理學應用之中，滿足這樣條件的場景并不多見。

3結論與展望

本文將LS熱彈性理論與聲彈性理論相結合，建立LS熱聲彈性理論的基本框架。經過平面波分析以及二維相速度平面分析，推測在LS熱聲彈性介質中總共有5種波傳播模式：qPE、qPT、qS1E、qS1T、qS2。其中前4種模式與動態熱效應耦合，最后一種模式不受動態熱效應影響。

在LS熱聲彈性情況中，靜水壓力會引發各向異性，出現這種現象，是因為耦合了熱彈性效應，并且假定熱物性參數的張量都是對角張量，只有在材料主軸方向上有值。因此，如果只考慮材料主軸方向而不考慮其他方向，靜水壓力并不會引發各向異性，但如果考慮任意方向則顯然并非如此。在超聲頻率、極高熱導率情況下觀察到了qS1T波，在靜水壓力條件下45°入射角方向上相速度達到最大值，而在材料主軸方向上近乎為0。而在恰當的單軸壓力作用下，qS1T波相速度最大值所在的軸向將向材料的特定主軸方向傾斜。

擴展不可逆熱力學克服了經典不可逆熱力學和MCV方程的缺陷，而且理性擴展熱力學為推導本構方程和演化方程提供了方法，LS熱彈性理論的熱力學基礎得以鞏固，同時，在強調溫度作用的熱彈性理論基礎之上，擴展不可逆熱力學進一步強調了熱流的作用。但是，由于擴展不可逆熱力學引入了熱流作為本構自變量，使得方程變得更加復雜。另外，對于熱聲彈性理論而言，由于初始狀態可能存在熱流，有必要考慮壓熱效應，這導致出現了一些物理意義不明確的系數張量，有待于進一步研究。

LS理論是最簡單的廣義熱彈性理論，在提出之時便具有MCV方程所固有的缺陷。雖然在擴展不可逆熱力學框架下克服了這些缺陷，但理論變得更加復雜，和實際應用之間存在較大的距離。相比之下，其他廣義熱彈性理論，如GL理論、GN理論、雙相位滯后理論、三相位滯后理論等，具有更堅實的熱力學基礎，同時實際應用前景也相當廣闊。

本文在熱彈性理論和聲彈性理論適用的條件下，同時考慮了溫度和初始應力對波傳播特性的影響。研究工作將為后續的基于熱聲彈性理論的數值模擬和波傳播分析工作奠定基礎。

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附錄A理論推導流程

A.1問題描述

在連續介質力學中，運動的Lagrange描述和Euler描述、參考構形和當前構形是基本概念。而在勘探地震學領域，通常在線性彈性假設下忽略初始應力、考慮無窮小的彈性變形，采用Euler描述建立基本方程，來近似Lagrange描述下的對應量，在這種情況下不需要區分兩種描述，并且無需強調構形之間的區別。但如果考慮到有限變形，則需要對Euler描述和Lagrange描述進行區分。在聲彈性理論中，根據彈性體變形狀態，可以定義3種狀態：自然狀態、初始狀態和最終狀態。自然狀態指無應力、應變的原始狀態；初始狀態指已變形或處于施加載荷作用下達到平衡的狀態，對應于時間t=0時的狀態。從自然狀態到初始狀態的變形視為靜態變形，也被稱為預變形。在這個過程中，預變形不一定是無窮小的，也不一定是彈性的，盡管在實際情況中通常是有限非彈性變形，但在聲彈性理論中我們假設它是有限彈性變形，這樣根據已知的初始應力就可以推算初始應變，使變形成為一個已知量。由于預變形與我們所考慮的時間歷史無關，故稱為靜態變形。于是，在聲彈性理論中需要對Euler描述和Lagrange描述加以區分。最終狀態指在初始狀態時疊加一個無窮小的彈性位移、進一步變形達到的狀態，從初始狀態到最終狀態的變形過程視為與時間相關的動態變形。3種狀態分別對應3種構形：自然構形B、初始構形B和最終構形B，每一種構形都可以對應一個參考坐標系，因此每一種狀態都可以用不同的參考坐標系中的坐標來表示。

由于聲彈性理論研究關注室內實驗，需要測量物體從自然狀態到初始狀態的應變和加載應力，因此選取自然構形中的坐標系為參考坐標系會比較有利。但對于波傳播研究而言，選取自然構形作為參考構形會使問題復雜化并且意義不大；而選取初始構形作為參考構形，將初始應力和初始應變視為已知量，就類似于經典無窮小彈性情況下的波動研究，研究過程可以簡化。

A.2運動學：應變位移關系

熱聲彈性理論中的應變位移關系與聲彈性理論①中的應變位移關系一致。對于從自然狀態到初始狀態的預變形過程，以自然構形作為參考構形，可以將初始應變分量Eαβ表示為

A.3守恒定律

A.3.1質量守恒定律

A.3.2動量守恒定律

1）初始應力

2）增量應力

A.3.3角動量守恒定律

3種應力量度具有如下對稱性，即角動量守恒定律：

A.3.4熱力學第一定律：能量守恒定律

對于熱彈性固體，能量守恒定律表示為動能變化率與內能變化率之和，等于系統做功的變化率與提供給系統或從系統中輸出能量的變化率之和。我們可以用內能平衡方程的局部形式表示熱力學第一定律。另外，由于聲彈性理論采用增量形式建立方程，在此我們也宜采用增量形式與之匹配。由于涉及熱效應，因此有必要對先前定義的兩類過程進行分別討論。

A.3.5熱力學第二定律：Clausius-Duhem不等式

A.4傅里葉定律與Maxwell-Cattaneo-Vernotte方程：經典不可逆熱力學的局限性

A.5擴展不可逆熱力學

A.5.1擴展不可逆熱力學基本原理

A.5.2理性擴展熱力學流程

熱流的演化方程可以寫成如下一般形式：

A.6平面波分析流程