基于振幅放大機制的無砟軌道周期結構彎曲波調控研究

羅文俊 張梁 郭文杰 洪顯 李佳寶

摘要：【目的】軌道結構的振動一直是相關領域亟待研究和解決的問題。傳統減隔振裝置受到自身重量與列車行車安全性的限制，難以實現對軌道結構彎曲波的寬頻調控。【方法】通過引入振幅放大機制，設計了一種杠桿式軌道綜合減隔振裝置。以CRTSⅢ型板式無砟軌道結構為研究對象，采用能量泛函變分法和人工彈簧技術建立了配置有軌道綜合減隔振裝置的周期性軌道結構波動分析模型和振動響應分析模型，研究了軌道綜合減隔振裝置對彎曲波的調控能力，并分析了軌道綜合減隔振裝置工作能力與振幅放大系數的關系。【結果】結果表明：采用振幅放大機制，能夠有效增大減隔振裝置的慣性質量，增強減隔振裝置的阻尼特性和剛度特性，進而顯著提升其工作能力。【結論】實現了軌道綜合減隔振裝置“低頻隔振高頻吸振”的超寬頻彎曲波調控設計目標。

關鍵詞：振幅放大；波動分析；帶隙；周期性結構；彎曲波調控

中圖分類號：U213.2；O328 文獻標志碼：A

文章編號：1005-0523（2024）02-0025-08

本文引用格式：羅文俊，張梁，郭文杰，等. 基于振幅放大機制的無砟軌道周期結構彎曲波調控研究[J]. 華東交通大學學報，2024，41（2）：25-32.

Research on Bending Wave Control of Ballastless Track Periodic Structure Based on Amplitude Amplification Mechanism

Luo Wenjun， Zhang Liang， Guo Wenjie， Hong Xian， Li Jiabao

（State Key Laboratory Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure，

East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract： 【Objective】The vibration of track structure has always been a problem to be studied and solved in related fields. The traditional vibration isolation device is limited by its own weight and the safety of train operation， so it is difficult to realize the broadband control of the bending wave of the track structure. 【Method】By introducing the amplitude amplification mechanism， a lever-type track integrated vibration isolation device is designed. Taking the CRTSⅢ slab ballastless track structure as the research object， the energy functional variational method and artificial spring technology are used to establish the periodic track structure fluctuation analysis model and vibration response analysis model with and artificial spring technology. The control ability of track comprehensive vibration isolation device to bending wave is studied，and the relationship between the working ability of track comprehensive vibration isolation device and amplitude amplification coefficient is analyzed. 【Result】The results show that the amplitude amplification mechanism can effectively increase the inertial mass of the vibration isolation device， enhance the damping characteristics and stiffness characteristics of the vibration isolation device， and then significantly improve its working ability. 【Conclusion】The ultra-wideband bending wave control design goal of the track integrated vibration isolation device low frequency vibration isolation and high frequency vibration absorption is realized.

Key words： amplitude amplification; fluctuation analysis; band gap; periodic structure; bending wave control

Citation format： LUO W J， ZHANG L， GUO W J， et al. Research on bending wave control of ballastless track periodic structure based on amplitude amplification mechanism[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2024， 41（2）： 25-32.

【研究意義】高速鐵路噪聲的成分較為復雜，主要可以分為集電系統噪聲、氣動噪聲和輪軌噪聲三部分。基于振幅放大機制的無砟軌道周期結構彎曲波調控研究，在揭示軌道結構振動噪聲機理、指導軌道減振降噪工程實踐、發展軌道力學理論等方面具有重要的科學意義和工程應用價值。針對性地開展該項研究，對于提升高速鐵路服役性能、保障乘客舒適度和沿線環境質量具有重要意義。

【研究進展】動力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）由于其可靠性高、效率高、成本低等優點，目前已廣泛應用于鐵路軌道減振降噪領域。DVA通過傳遞和耗散主結構的能量來衰減其動力響應，當調諧到結構的基頻時，DVA可以使結構的共振響應最小化[1]。但常規DVA減振頻率固定，無法達到寬頻減振的要求。近年，學者們在常規DVA的基礎上通過優化吸振器參數又提出了一些基于新理論新結構的DVA。Liu等[2]使用基于攝動理論的方法推導出接地阻尼式DVA的最優阻尼比，得到了與固定點理論相同的結果；Cheung等[3]接地阻尼式DVA在較高調諧比下可以展現更優良的減振性能。

由于傳統鋼軌吸振器減振頻帶寬度依賴于有效質量的大小，但鋼軌安裝空間十分有限，增大工作帶頻難度大。所以需要選取一種能夠突破質量與吸振效果二者矛盾的新機制，以小質量達到較寬頻帶的吸振效果。越來越多的學者關注到了振幅放大機制，所謂振幅放大就是放大目標點的振幅，進而增加對振動能量的消耗。Yilmaz等[4]在隔振器中運用杠桿裝置，有效增大了隔振裝置的慣性質量，提高了隔振器在低頻的有效工作帶寬；Liu等[5]將杠桿裝置優化為X型剪式叉架機構隔振系統，進一步提高了杠桿式慣性增強型隔振裝置對低頻的隔振性能；Cheng等[6]采用四連桿式的慣性放大裝置代替普通杠桿裝置，驗證了慣性放大裝置能夠明顯增強系統工作能力。但相關研究還處于初步探索階段，特別是對于鋼軌和軌道板的綜合減隔振。因此，亟需提出一種可以同時消減鋼軌高頻振動噪聲以及傳遞到土體的低頻振動的綜合減隔振方法。

【創新特色】鑒于此，本文提出一種基于振幅放大機制的綜合減隔振裝置，以CRTSⅢ型板式無砟軌道結構為研究對象，采用能量泛函變分法建立了配置綜合減隔振裝置的周期性無砟軌道結構分析模型，對結構進行了波動分析和振動分析。【關鍵問題】利用模型驗證了綜合減隔振裝置阻絕低頻振動向下部基礎（環境）傳播以及降低高頻振動的能力，分析了綜合減隔振裝置振幅放大系數對其工作能力的影響，最終為無砟軌道結構的減隔振設計提供指導。

1 理論模型

1.1 減隔振設計

根據課題組前期研究[7]，在0～1 200 Hz CRTSⅢ型軌道結構中228.5 Hz以上的彎曲波均能在鋼軌中傳播，90.2 Hz以下以及122.3～228.5 Hz的彎曲波經由鋼軌傳遞至軌道板中，而90.2 Hz以下的彎曲波將直接傳遞至下部基礎中。

從抑制鋼軌輻射噪聲的角度出發，需要阻斷更多頻段的彎曲波在鋼軌中的傳播。從抑制振動通過基礎傳遞給環境的角度出發，需要針對特定頻率對軌道板采取隔振措施。減振裝置常見安裝于系統振幅最大處，然而系統振幅是有限的，若通過一些方法放大受控點的振幅，減振裝置的工作能力將大幅提高，即采用振幅放大機制[8-10]。傳統減振器只能針對特定的單個頻率進行減振，為了能夠同時實現對鋼軌高頻振動的減振以及對傳遞到土體（環境）振動的隔絕，本文提出一種由鋼軌減振器和軌道板隔振器組成的基于振幅放大機制的軌道綜合減隔振裝置。

1.1.1 鋼軌減振器

鋼軌減振器周期性排布于鋼軌上，布置間距與扣件間距一致。減振器布置于振幅最大處效果最佳，因此將鋼軌減振器布置在相鄰扣件之間的跨中位置。鋼軌減振器采用振幅放大裝置，一端與鋼軌剛性連接，一端設橡膠層和質量塊。將受控點實際位移通過振幅放大機制進行放大，從而同步增強等效質量、剛度、阻尼，擴大吸振端的減振能力。

1.1.2 軌道板隔振器

在軌道板上等間距周期性布置9個軌道板隔振器，間距為[ls/10]（[ls]為單個軌道板的長度）。軌道板隔振器采用振幅放大裝置，一端與軌道板剛性連接，一端設質量塊。將受控點實際位移通過振幅放大機制進行放大，增強軌道板慣性質量，提高其隔振能力。

1.2 波動分析模型

對于CRTSⅢ型無限周期軌道結構，取出一個典型周期單元（元胞）進行簡化，如圖1所示。其中，扣件與自密實混凝土支撐層（self compacting concrete，SCC）簡化為彈簧單元；為了同時考慮鋼軌和軌道板的彎曲和剪切性質，分別將鋼軌和軌道板考慮為Timoshenko梁和Mindlin板。本文基于鋼軌和軌道板的周期性與對稱性（假設結構對稱及載荷形式對稱），取一個周期下結構的一半進行建模。本文研究CRTSⅢ型軌道結構因此相鄰軌道板之間是不連續的，[s0]為軌道板間縫隙的大小；一個周期單元內鋼軌的長度[lr=ls+s0]，相鄰扣件間距為[l0]；[bs]為軌道板寬度的一半；[d]為鋼軌距軌道板外側邊緣的寬度。圖1為CRTSⅢ型軌道結構橫截面視圖。

采用能量泛函變分法和虛擬彈簧來計算周期性無砟軌道結構的帶隙特性。鋼軌和軌道板彎曲振動的位移場可以表示為基函數[φi（x）]、[ψi（x，y）]和一個未知的權重系數[ai（t）]的組合，即

[wr（xr，t）=ia1，i（t）φi（xr）=aT1φ=φTa1θr（xr，t）=ia2，i（t）φi（xr）=aT2φ=φTa2wsx，y，t=ia3，i（t）ψi（x，y）=aT3ψ=ψTa3θsxx，y，t=ia4，i（t）ψi（x，y）=aT4ψ=ψTa4θsyx，y，t=ia5，i（t）ψi（x，y）=aT5ψ=ψTa5] （1）

式中：[wr（xr，t）]，[θr（xr，t）]分別為鋼軌的垂向位移和截面轉角函數；[ws（x，y，t）]，[θsx（x，y，t）]，[θsy（x，y，t）]分別為軌道板彎曲振動位移，沿x方向轉角以及沿y方向轉角函數。

首先根據Bloch定理，計算出CRTSⅢ型無限周期軌道結構的一個周期性單元的頻散特性[11]。對于圖1所示的無砟軌道周期單元結構，參考課題組之前的研究[7，12]，鋼軌和軌道板的動能和彎曲應變能可表示為

[Ek，r=120l+s0ρrArwr2dxr+120l+s0ρrIrθr2dxr=12aHMra]（2）

[Up，r=120l+s0ErIr?θr?xr2dxr+? ? ? ? ? 120l+s0κrGrAr?wr?xr-θr2dxr=12aHKra] （3）

[Ek，s=120l0bsρshswr2dxsdys+? ? ? ? ? 120l0bsρshs312θsx2+θsy2dxsdys=12aHMsa] （4）

[Up，s=120l0bsDs?θsx?xs+?θsy?ys2+21-νs?θsx?xs?θsy?ys+121-νs?θsx?ys+?θsy?xs2dxsdys+120l0bsκsGsAsθsx+?ws?xs2+θsy+?ws?xs2dxsdys=12aHKsa]（5）

式中：[aH=aH1aH2aH3aH4aH5]；[Ek，r]，[Up，r]，[Ek，s]，[Up，s]分別為鋼軌和軌道板的動能和應變能；下標s為軌道板，r為鋼軌，p為應變能，k為動能；M，K分別為對應的質量矩陣和剛度矩陣，矩陣的具體形式參考課題組先前的研究[12]；[ρ]，[κ]，[ν]，A，E，I，G，[Ds]分別為密度，剪切系數，泊松比，截面積，彈性模量，慣性矩，剪切模量，軌道板的抗彎剛度。

模型中9個扣件的總彈性勢[Up，f]以及SCC層均布彈簧彈性勢能[Up，SCC]可分別表示為

[Up，f=12n=19Kfwrn-1?l0-wsn-1?l02=12aHKfa] （6）

[Up，SCC=120l0bsKSCCw2sdxdy=12aHKSCCa] （7）

式中：[Kf]，[KSCC]分別為扣件垂向靜剛度和SCC層支承剛度。

附加的綜合減隔振裝置8個鋼軌減振器的動能[ED，r]、彈性勢能[UD，r]可表示為

[ED，r=12mri=18w2i=12aHMD，ra]? （8）

[UD，r=12i=18Kq1+αqwsi-αqwri-wi2=12aHKD，ra] （9）

式中：[αq]表示減振器振幅放大機制放大系數（[αq=l0/l1]，[l0]，[l1]分別為杠桿連接質量塊側，連接鋼軌側的臂長）；[Kq]為減振器彈簧剛度，本文假定為不考慮阻尼損耗因子的理想狀態；[mr]為減振器質量塊質量。

9個軌道板隔振器的動能[ED，s]可表示為

[ED，s=12msαs2j=19w2sj=12aHMD，sa]? （10）

式中：[αs]為隔振器振幅放大機制放大系數；[ms]為隔振器質量塊質量。

[xsOsys]坐標系[ys=bs]處邊界為正對稱邊界；在[xrOryr]坐標系上[xr=0]和[xr=ls+s0]處為Floquet周期性邊界；CRSTIII型軌道結構相鄰軌道板之間存在板縫，因此軌道板沒有Floquet周期性邊界。利用作者先前研究中提出的人工彈簧法來模擬這兩類邊界條件[7]，即整體結構的邊界勢能可表示為

[Up，edge，s=120lkzw2sxs，bs+ktθ2sxxs，bsdxs=12aHKedge，sa] （11）

[Up，edge，q=12ktwr0-wrl+s0e-ikxl+s02+ktθr0-θrl+s0e-ikxl+s02=12aHKedge，qkxa]

（12）

式中：[Up，edge，s]，[Up，edge，q]分別為正對稱邊界的邊界勢能和Floquet周期性邊界的邊界勢能；[kx]為波數；[kz]和[kt]分別為用于模擬這兩類邊界條件的人工彈簧的剛度，剛度取值參考課題組之前的研究[12]。

綜上，單個周期單元的拉格朗日量L可寫為

[L=Ek，r+Ek，s+ED，r+ED，s-Up，r-Up，s-Up，f-Up，SCC-Up，edge，s-Up，edge，qkx-UD，r] （13）

進一步地，定義未知的與時間相關向量[at=][Aeiωt]，結合歐拉-拉格朗日方程[ddt?L?a-?L?a=0]推導出一個周期軌道單元的運動方程

[Kr+Ks+Kf+KSCC+Kedge，s+Kedge，qkx+KD，r-ω2Mr+Ms+MD，s+MD，r=0] （14）

式（14）是一個標準的特征值方程，在第一布里淵區[k=-πl+s0，πl+s0]內掃描波數，就能計算出配置有軌道綜合減隔振裝置的CRTSⅢ型無限周期軌道結構在諧荷載下的振動頻散曲線。

1.3 振動響應分析模型

用以表征周期性結構帶隙特性的方式通常包括能帶結構和振動傳遞率，通過分析有限長周期結構的振動傳遞率能夠清晰地描述該結構對振動波傳播的衰減能力。本小節將繼續基于能量法和虛擬彈簧求解CRTSⅢ型無限周期軌道結構鋼軌振動傳遞率，更清晰地分析結構對彎曲波的衰減能力。為了模擬無限長軌道結構，盡可能消除在鋼軌兩端邊界處反射波的影響，引入了完美匹配層（perfect matched layer，PML）。為了能夠有效地消除結構邊界處反射波的干擾，PML必須有漸變的阻尼系數并且PML的長度應與要消除的最大波長相匹配[12]。在本文中，通過修改復楊氏模量的損耗因子來實現PML的阻尼效果。如圖2所示，在CRTSⅢ型無限周期軌道結構中截取出3個周期性單元，并在鋼軌的兩個端點處布置PML，具體參數取值：LPML=6 m，[ηmax]=10。其中：LPML為PML的長度；[η]為損耗因子，并且在dj=Lj時取到最大值。

對于圖2所示軌道結構，計算時與上一小節計算相似。由于在鋼軌的兩個端點處布置了PML，所以需要將式（3）中的積分上限調整為[3（l+s0+Lj）]并且將彈性模量[Er]替換為[E*r]；同理，其余參數亦加上標*處理。式（6）中的扣件彈性勢能調整為

[Up，f*=12Kfn=19wrn-1?l0-wsn-1?l0，d2+n=1018wrm-1?l0-wsn-10?l0，d2+n=1927wrm-1?l0-wsn-19?l0，d2=12aHKf*a]（15）

簡諧荷載做功W，可表示為

[W=ft?wrx，t=aTftφ=ft] （16）

式中[ft=Feiωt]。綜上，可以得到固定簡諧力作用下圖2所示的有限長無砟軌道結構的拉格朗日量，即

[L=Ek-Up+W=12aTM*a-12aTK*a+aTft]? （17）

式中：矩陣M*，K*分別為考慮PML的由3個周期單元組成的CRTSⅢ型無砟軌道結構的質量和剛度矩陣。

式（17）中的M*，K*可進一步表示為

[M*=Mr*+MD，s+MD，rMs+MD，s+MD，rMs+MD，s+MD，rMs]（18）

[K*=Kr*+KD，rKs+Kedge，s+KD，rKs+Kedge，s+KD，rKs+Kedge，s+Kf*]（19）

結合上一小節提到的歐拉-拉格朗日方程將式（17）進一步處理為

[A=K-ω2M-1?F]? ? ? ?（20）

將式（20）計算得到的權重系數列向量[A]代入式（1）得到CRTSⅢ型無砟軌道結構的位移響應。振動傳遞率可通過式計算得到

[Tn=20log10wtw0]? ? ? ? ? （21）

式中：[wt]和[w0]分別為提取點和加載點的垂向位移響應。

2 數值分析

2.1 軌道減隔振裝置對帶隙的影響

本小節分析對比附加普通減隔振器與附加本文提出的振幅放大減隔振器對CRTSⅢ型無限周期軌道結構頻散特性的影響，結果如圖3、圖4。在計算中，鋼軌減振器的參數取值如下：mr=1 kg，αr=4，設計頻率為600 Hz（調控鋼軌高頻處噪聲）；軌道板隔振器的參數取值如下：mq=10 kg，αq=4。普通減隔振器的質量與剛度與振幅放大型減隔振器保持一致。

通過對比圖3，在軌道結構上周期性附加綜合減隔振裝置后，由于局域共振效應，CRTSⅢ型無限周期板式無砟軌道結構帶隙擴大到498.8～725.1 Hz，在設計頻率附近有效地拓寬了帶隙范圍，如圖3灰色陰影部分。相較于普通減隔振器，使用本文提出的綜合減隔振裝置后帶隙擴寬明顯。這表明基于振幅放大機制的軌道綜合減隔振降噪裝置能夠有效地調控鋼軌中的彎曲波。

90.2 Hz以下以及122.3～288.5 Hz的彎曲波將會經由鋼軌傳遞到軌道板中，其中90.2 Hz以下的彎曲波將直接傳遞至下部基礎（環境）中。從控制環境振動的角度，需要綜合減隔振系統能夠有效縮減第一階帶隙寬度。由圖4可以看出，相較于未使用振幅放大裝置的減隔振器，使用了振幅放大裝置后CRTSⅢ型無限周期軌道結構第一階帶隙的帶寬得到了大幅度地縮減，如圖4灰色陰影部分。這表明由于局域共振原理鋼軌的帶隙縮減，80.61～90.2 Hz的彎曲波將在鋼軌上傳播，不會傳遞到下部結構（環境）中。

2.2 軌道減隔振裝置對結構動力響應的影響

對比圖5中兩條曲線，可以明顯地看到第一階衰減域明顯縮減至0～80.61 Hz，這表明傳遞到地基中的振動減少，有更多低頻的振動在鋼軌上傳播。減振器設計頻率附近衰減域明顯拓寬，這說明在鋼軌上傳遞的彎曲波得到良好的調控。相較于普通減振器，振幅放大型減振器不僅能明顯拓寬振動衰減范圍，還能有效地提高衰減量。特別是中高頻區間振動得到衰減這將有效減小鋼軌的高頻噪聲，減少高鐵運營帶來的環境噪聲問題。

分別計算同一塊軌道板安裝普通減隔振器與振幅放大減隔振器的振動傳遞率，計算結果置于圖6。相較于常規減振器，安裝振幅放大隔振后第一階衰減域明顯縮減，這說明有更多的振動在軌道板上傳遞，減少了傳遞到下部基礎（環境）中的振動。印證了圖4中的結果，軌道綜合減隔振裝置對低頻振動傳遞到地基有較好的抑制效果。

3 參數分析

本節采用控制變量法，在其余參數不變的情況下，改變減隔振器的振幅放大系數，將其分別設定為1，2，3，4，5，探究振幅放大系數對減隔振器工作效果的影響規律。

首先分析放大系數對第一階帶隙也就是對于阻隔低頻振動向下部基礎（環境）能力的影響。從圖7中可以清晰地看出，隨著放大系數的增大綜合減隔振系統的隔振能力將會得到增強，并且隨著系數增大，工作能力增幅明顯增大。其原因在于：隔振器通過放大相應點的振幅，相當于系統的等效質量、剛度和阻尼都同比得到了放大，并且是大幅增強隔振器工作能力。

同樣的，分析了振幅放大系數對減振器設計頻率處帶隙的影響。綜合減隔振裝置鋼軌減振器設計頻率為600 Hz，從圖8可以看出，隨著系數的增大設計頻率處帶隙也隨之增大。并且增大幅度明顯大于圖7，軌道板質量遠大于隔振器質量，即使放大系數不斷增大，所增加的慣性質量相對于軌道板質量來說還是很小的，所以縮減的帶寬相對較窄。而鋼軌減振器連接的鋼軌質量與減振器放大后慣性質量接近，效果就更為明顯。

將不同的放大系數與不同質量的減隔振器工作能力進行對比，如表1。由表1易知，振幅放大裝置可以將減隔振器工作能力增加到原來的[α2]倍。其原因在于當振幅放大[α]倍時，減振裝置的質量、彈簧和阻尼都被放大[α2]倍，對應的工作能力也就會提高[α2]倍。這將提高減隔振器的工作能力，更有效地抑制彎曲波的傳播。

通過增加綜合減隔振裝置的振幅放大系數來提升其減隔振性能，但由于過大的系數可能導致杠桿的設計長度過度增加，從而占用更多軌道上的空間。同時過大的方法系數也可能使結構變形，影響整體的穩定性。所以應根據實際情況設置合理的振幅放大系數，達到減振效果與實用性的平衡。

4 結論

1） 由于不同頻率彎曲波傳遞路徑不同，為實現低頻隔振高頻減振，需要對鋼軌和軌道板分別安裝減隔振裝置。

2） 本文通過在鋼軌上周期性布置基于振幅放大機制的減振器實現對鋼軌彎曲波調控，由于局域共振效應，軌道結構在減振器設計頻率附近的帶隙明顯擴寬。這表明基于振幅放大機制的綜合減隔振裝置對高頻彎曲波調控效果明顯。

3） 通過在軌道板上周期性布置基于振幅放大機制的隔振器增大軌道板等效質量來實現對軌道板中彎曲波的調控，第一階帶隙明顯縮窄。

4） 振幅放大裝置可顯著提高抑振裝置的工作能力。更具體地說，當振幅放大[α]倍時，減隔振器工作能力增強[α2]倍。

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第一作者：羅文俊（1979―），女，教授，博士，博士生導師，研究方向為高速鐵路環境振動及噪聲控制。E-mail：lwj06051979@163.com。

通信作者：郭文杰（1991―），男，副教授，博士，碩士生導師，《華東交通大學學報》青年編委，研究方向為軌道交通振動噪聲。E-mail：guowenjie@ecjtu.com。