基于n階剪切變形理論的表面梯度脫碳汽車前軸彎曲分析

摘要：汽車前軸在熱鍛和熱處理過程中，材料的表面會發生一定深度的脫碳，脫碳層的力學性能隨脫碳深度呈梯度變化，影響了前軸在載荷下的彎曲性能。利用分段函數構建兩側表面功能梯度變化、內部性能均勻的簡支夾芯梁，根據n階剪切變形理論研究梁在兩點載荷作用下的彎曲行為。利用虛功原理推導出位移場控制方程，采用Navier解析方法得到簡支邊界條件下梁的彎曲行為，并與相關文獻中的實例進行比較。結果表明：n階剪切變形理論具有良好的精度與可靠性；梁的撓度與轉角隨脫碳指數k的增大而增大，并于k≈10處達到準穩態；脫碳深度大于5mm時，脫碳層厚度對梁彎曲時產生應力的影響比梁的高度變化帶來的影響更大；兩側脫碳深度不對稱時，物理中性面發生遷移；梁的彎曲撓度與轉角隨梁的厚度、寬度的增大而減小，但梁的厚度變化的影響更大。

關鍵詞：汽車前軸；脫碳；梯度夾層梁；n階剪切變形理論；彎曲分析

中圖分類號：TG113.25;O31

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.03.004

0引言

汽車前軸是傳遞車架與前輪之間作用力、承擔車輛質量并承受汽車中彎矩和扭矩的裝置，特別是在緊急制動時，汽車前軸將承受總負載的2/3。作為汽車的關鍵結構和安全部件，汽車前軸需要良好的強度、剛度、沖擊韌性以及優異的抗疲勞性能［1-3］。重型載重汽車的前軸形狀復雜，截面多變，前軸對成形工藝的要求嚴格，而熱鍛有助于金屬晶粒細化并消除材料中存在的孔隙、收縮和偏析等缺陷，所以鍛造而成的部件通常具有非常好的機械性能。目前國內應用最廣的前軸成形工藝是制坯輥鍛+整體模鍛［4-6］。

鍛造前軸的材料一般為42CrMo鋼，采用整體成形方式，其鍛造工藝流程一般如下：下料→中頻感應加熱（1100～1250℃）→輥鍛制坯→壓彎成形→熱切邊及矯正→正火（850～950℃）→噴丸→淬火（850～880℃）→硬度檢測→高溫回火（500～650℃）→性能檢測→噴漆→入庫。在鍛造和熱處理過程中，42CrMo鋼表面會出現脫碳現象［7］，使鋼材表面硬度、強度和延展性降低，還可能使結構件裂紋敏感性增加，導致早期失效［8］。脫碳的本質是鋼內部的碳原子在高溫作用下發生熱擴散并遷移到材料表面與大氣發生反應，導致鋼表面到內部一定距離出現碳原子損失的現象。影響鋼脫碳的因素有很多，如加熱溫度、保溫時間、加熱氣氛和鋼的成分等。主要脫碳反應式為［9］

在42CrMo鋼的表面相鄰區域，鋼基體中碳原子的損失產生微米級的完全脫碳層和部分脫碳層［10］。完全脫碳即碳濃度低于碳在鐵素體中的固溶度，在光學顯微鏡下觀察為單一的鐵素體組織，完全脫碳層與基體有明顯的分界線。部分脫碳層碳含量低于鋼內部未發生脫碳區域的碳含量，但高于碳在鐵素體中的固溶度，此區域無明顯分界線［11］。碳是鋼中主要強化元素之一，碳含量的減少阻礙了高強度馬氏體的形成，因此，馬氏體含量會隨著脫碳程度的增加而減少［12］。

隨著鐵素體占比的增加，以及碳含量、珠光體和馬氏體的減少，在脫碳區域，鋼材性能（強度、剛度、彈性模量及泊松比）沿厚度分級變化（類似于功能梯度材料），影響了汽車前軸在載荷下的彎曲行為。對于汽車前軸鍛件，主要關注成形工藝優化［6］、結構輕量化［4］，而關于鋼材脫碳問題，主要研究脫碳機理［10］、脫碳影響因素［13］、脫碳對性能的影響［14-15］，很少關注載荷下脫碳對汽車前橋彎曲行為帶來的影響。

目前，作為新型材料的功能梯度材料（functionallygradedmaterial，FGM）應用范圍已從航空、機械和海洋領域擴展到核、生物、熱電、醫學和電磁等領域。功能梯度材料一般由兩種或兩種以上的材料組成，其成分和性能隨著位置呈連續性變化［16］，常用冪律函數、指數函數或S型函數表示材料性能的變化，可針對不同的服務環境定制不同材料或尺寸的板和梁［17］。已有大量的研究來分析具有功能梯度特性的板和梁的彎曲、振動及力學特性。陳淑萍等［18］基于Timoshenko梁理論研究了各向異性功能梯度材料梁的自由振動。ZHAO等［19］基于歐拉伯努利梁理論研究了具有彈性約束邊的功能梯度梁的自由振動。曹源等［20］基于修正的偶應力理論及正弦剪切變形理論研究了功能梯度梁的靜態彎曲和自由振動。QADERI等［21］利用Redddy的高階剪切變形理論（higher-ordersheardeformationtheory，HSDT）分析了石墨烯片復合材料在熱環境下的自由振動。石峰等［22］利用n階剪切變形理論分析了復合材料層合板的屈曲問題。

目前脫碳層對汽車前軸彎曲行為的影響報道較少，而汽車前軸鍛件表面脫碳區域的材料力學性能與功能梯度材料相似。本文將汽車前軸鍛件視為兩側涂有功能梯度涂料的厚矩形夾層梁，梁的材料性能用分段冪函數表示。基于n階剪切變形理論并利用虛功原理推導出位移場控制方程，通過Navier解析法得到了兩點載荷下梁的彎曲響應。通過與相關文獻中的結果進行比較來驗證理論模型的準確性。從脫碳指數、脫碳深度、梁的尺寸等方面研究梁的撓度、轉角、軸向應力和剪切應力，有助于優化梁的尺寸與結構，減少脫碳對前軸帶來的不利影響。而且n階剪切變形理論不僅是經典的Reddy剪切理論的推廣，還可以將不同階層的數值結果進行比較，用更高階剪切理論進行數值分析，使結果更加準確，提高了精確度。

1表面梯度脫碳梁的力學性能

某款重型載重汽車的前軸如圖1a所示，該車前軸脫碳情況如圖1b所示。

汽車前軸材料為AISI4140（42CrMo），其化學成分見表1。材料經過高溫熱鍛及熱處理后成為前軸，表面的鋼完全脫碳，由單一的鐵素體相組成，芯部材料經歷淬火處理，主要由馬氏體組成，鐵素體的含量從表面到芯部逐漸減少，而馬氏體含量逐漸增加。因此，將表面脫碳的汽車鍛造前軸簡化為材料表面功能梯度變化、內部性能均勻的簡支夾芯梁。

表面梯度脫碳梁模型如圖2所示。由汽車前軸尺寸可知，長度L=1950mm，寬度b=90mm，高度h=114mm，脫碳深度Hd用h1到頂部（h/2）和h2到底部（-h/2）表面之間的距離表示。同時，汽車前軸在行駛過程中有緊急制動、側滑和越過崎嶇路面三種危險工況［4］，前軸最大作用力發生在越過崎嶇路面工況下，其承受載荷為垂直載荷，脫碳梁承受兩點載荷（Z1=Z2=70kN），載荷位置（x1，x2）到兩端距離為L1=L2=0.28L。

圖2中，脫碳區域的材料是低強度的鐵素體和其他高強度的相（馬氏體、殘余奧氏體）的混合物，鐵素體在梁表面的占比為100%，從兩側表面向芯部逐漸減少，至h1和h2處為零。相反，馬氏體在梁表面的比例為0，并沿厚度不斷增加至h1和h2處，h1和h2中間的區域為未脫碳區，皆為馬氏體相。有效材料性能P（z）（彈性模量、剪切模量，泊松比或密度）可根據材料混合法則計算：

其中，k為體積函數冪指數（k∈［0，+∞］），表示梁厚度方向上材料性質的變化，k=0代表梁為純馬氏體；k=1代表在脫碳區域馬氏體體積分數呈線性梯度變化；k=+∞表示脫碳區為純鐵素體相。

梁在靜態彎曲時，泊松比對撓度的影響較小，因此，設脫碳梁的泊松比恒為0.3。而梁的彈性模量在高度方向上呈冪律指數變化，如圖3所示，其中，鐵素體相的彈性模量Ef=178GPa，馬氏體相的彈性模量Em=215GPa。

冪律指數k隨鐵素體相濃度的增加而增大，故k也稱脫碳指數。有效彈性模量在梁的厚度方向上平滑變化，并隨鐵素體相的增加而減少，圖3中梁上下兩側表面的數值為純鐵素體相的彈性模量，芯部區域的數值為馬氏體相彈性模量。當k=0時，脫碳區域彈性模量等于芯部區域彈性模量，梁退化為均質梁；當k→+∞時，脫碳區近乎為純鐵素體相，彈性模量在脫碳區域和非脫碳區連接處發生突變，類似于層壓梁；當k∈［0，+∞］時，脫碳區域平滑變化，功能分級明顯。

2彎曲剪切變形理論及解決方法

2.1剪切變形理論

梁彎曲變形時，根據n階剪切變形理論，梁任意位置的位移場如下［24］：

式中，u（x，z）、w（x，z）分別為梁上任意點沿x和z方向的位移函數；u（x）、w（x）分別為中心表面（z=0）沿x和z方向的位移；φ（x）為中心軸上的橫截面繞y軸的旋轉角度；h為梁的總厚度；n=3，5，…，而n=3（Reddy）是n階剪切變形理論的特例。

根據位移場與應變場之間的關系，應變場通過下式計算得到：

式中，εx為沿x方向的正應變；γxz為xz平面上的剪切應變。

軸向應力和剪切應力可以通過應力應變關系得到。彈性模量E（z）隨梁上位置的變化而變化。由彈性模量和泊松比可得剪切模量G（z），其計算公式如下：

式中，ν為泊松比；σx為沿x方向的正應力；τxz為xz平面上的剪切應力。

如圖2所示，在表面分級脫碳的簡支梁兩端邊界，一端為固定單支，另一端為可移動單支。當x=0時，簡支梁由固定鉸鏈支座固定，邊界條件的表達式如下：

當x=L時，簡支梁由滾動鉸鏈支座固定，邊界條件的表達式如下：

2.2求解方法

分析梁的靜態彎曲時，梁的位移用三角函數的和表示：

為了獲得解析解，將分布載荷用傅里葉級數展開：

傅里葉級數表示的兩點載荷分布如圖4所示，傅里葉級數展開的分布載荷與原始載荷的相似性隨著N值的增大而增大。

3結果與討論

3.1數值驗證

分析梁彎曲行為之前，需驗證脫碳梁模型的彎曲剪切變形理論及求解方法的可靠性和準確性。由于以往關于脫碳層級配梁彎曲的數據未見報道，故通過本文理論模型計算由鋁和氧化鋁陶瓷組成的兩側功能分級，中間為均質氧化鋁陶瓷的夾層梁彎曲實例，將所得結果與LI等［27］基于經典的Reddy剪切變形理論（higher-ordersheardeformabletheory，HOST）以及KOUTOATI等［28］基于歐拉伯努利梁理論（Euler-Bernoullibeamtheory，EBT）所得到的簡支梁中心撓度進行比較，結果見表2。其中，E（Al）=70GPa，E（C）=380GPa，L=2m，h=200mm，b=50mm，h1=0.2h，h2=-0.2h，ν=0.3，q（x）=5kN/mm。

表2結果表明，本文理論方法求解結果與HOST理論［27］結果基本吻合，結果中最大誤差為0.19%。特別地，當n=3（Reddy）時，結果基本一致。而與EBT理論［28］相比，結果存在一定的偏差，但最大誤差不超過1.8%，導致誤差的原因可能是梁的理論建立時對常剪應變的假設條件不同。表3與圖5比較了相鄰階層之間的中心撓度，結果基本吻合，最大誤差不超過0.019%。隨著階層n值的增大，梁的撓度基本相似，最大撓度略微呈遞減趨勢，然而中心撓度慢慢趨于穩定，相鄰階層之間的誤差也越來越小。表4比較了不同階層下的最大偏轉，發現結果吻合很好，誤差基本為0。這表明利用n階剪切形變理論預測梯度脫碳梁彎曲行為的方法具有良好的可靠性和精度。由于n階剪切變形理論在更高階層結果較穩定，故在后續討論中采用較高階層。

3.2梯度脫碳層冪律指數的影響

首先討論梯度脫碳層冪律指數k對脫碳梁靜態彎曲行為的影響。脫碳梁的尺寸、承受的載荷及作用位置不變，兩側脫碳深度相等且不變。圖6所示為簡支梁在不同冪律指數下的撓度和轉角隨梁長度的變化。在長度方向上，軸向位移u=0，梁兩端撓度為零，最大撓度在中心點處。而最大轉角在梁的兩端，中心點處轉角為零。當k=0時，Vm（z）=1，z∈（-h/2，h2）∪（h1，h/2），梁視為均質材料，脫碳區域材料與未脫碳區域一致，為純馬氏體，此時脫碳區域剛度最大，梁的撓度與轉角最小；當k=100，z∈（-h/2，h2）∪（h1，h/2）時，Vm（z）→0，脫碳梁類似于層壓梁，脫碳區域幾乎完全脫碳，材料為純鐵素體，剛度最小，此時梁的撓度與轉角最為明顯；當k∈（0，100）時，脫碳區為部分脫碳，剛度處于上述兩種極端情況之間，導致撓度與轉角也處在這兩種情況之間。圖7所示為不同冪律指數下梁的最大撓度與轉角的變化。可以看出隨著k的增大，最大撓度與轉角急劇增大，最大撓度在6.859～7.638mm范圍內變化，最大轉角在0.01123～0.01251rad范圍內變化，并在k≈10處達到準穩態，此后最大撓度與轉角變化緩慢。

圖8所示為不同冪律指數k下梁的軸向應力與剪切應力隨高度的變化。梁下半側的軸向應力大于零，為拉應力；上半側軸向應力小于零，為壓應力，軸向應力在梁的上下表面達到峰值，中間表面為零。剪切應力在梁的物理中性面達到極值，在上下表面時為零，這是由剪切變形理論的形函數所決定的。由于兩側脫碳層分布一致，梁的幾何中性面（z=0）與物理中性面（σ=0處）重合，故兩種應力都圍繞幾何中性面對稱。當k=0時，由于材料性能均勻，故軸向應力隨梁的高度呈線性增加。剪切應力通過梁的高度呈拋物線變化。當k=100時，由于脫碳層彈性模量減小以及連接處材料性能的不連續，連接處軸向應力與剪切應力顯著減小，這可能造成梁的應力集中和早期疲勞失效。當k∈（0，100）時，軸向應力與剪切應力在界面附近變化平穩，在內部未脫碳區域，應力隨k的增大而增大。在脫碳區域，當k∈（0，1.0）時，彈性模量的減小導致軸向應力的減小，但界面附近的軸向應力隨著高度絕對值的增大而增大。當k∈（1，100）時，界面處的彈性模量迅速減小，導致界面附近的軸向應力突然減小，此時，彈性模量變化對應力的影響比梁高度的變化帶來的影響更加顯著。當k=1時，脫碳區域彈性模量呈線性變化，因此，軸向應力變化比較平穩。

梁在不同高度下的兩種應力隨長度的變化如圖9所示，橫向截面的軸向應力與剪切應力都是對稱的，梁兩端的軸向應力為零，在中間處達到極值，而在載荷作用點x1和x2之間，剪切應力接近于零，在兩端達到峰值。

3.3梯度脫碳層深度的影響

梁的尺寸以及承受載荷不變，兩側脫碳層仍然對稱相等。取k=10，討論梁的底部與頂部表面脫碳深度Hd對彎曲行為的影響，圖10所示為梁的撓度與旋轉角隨長度的變化，圖11所示為最大撓度與旋轉角的變化。隨著脫碳深度的增大，最大撓度與旋轉角也隨之增大，這是由于脫碳層的彈性模量低于內部區域的彈性模量，梁的剛度隨脫碳深度的增大而減小，故在相同載荷條件下，梁也越容易發生彎曲。但梁的最大撓度與旋轉角增量隨著脫碳深度的增大而減小。當脫碳深度在0～30mm時，最大撓度與轉角分別在6.859～8.308mm和0.01123～0.01317rad之間，最大撓度增量為0.0239～0.0561mm/mm，最大旋轉角增量為3.919×10-5～9.246×10-5rad/mm。

當k=1.0時，梁的軸向應力與剪切應力隨高度的變化如圖12所示，在非脫碳區域，梁的軸向應力隨絕對高度的增大呈線性增加，直到脫碳界面出現。當脫碳深度Hd＜5mm時，脫碳區域的軸向應力隨著絕對高度的增大反而減小，這是由于脫碳深度較小時，彈性模量由馬氏體相急劇減小為鐵素體相，導致軸向應力迅速減小。此時，脫碳深度變化對軸向力的影響大于梁的高度變化帶來的影響。當Hd＞5mm時，脫碳區域的軸向應力隨著高度呈現非線性增加，但變化速率小于非脫碳區域。這是由于脫碳深度較大時，彈性模量變化緩慢，梁的高度變化帶來的影響仍占據主導地位。脫碳區域的剪切應力隨脫碳深度的增加而減少，而中間非脫碳區的剪切應力隨深度的增加而增大。

3.4兩側不對稱脫碳分布的影響

在前軸熱鍛過程中，底部與頂部表面的脫碳深度不一定相同，造成材料性質關于幾何中心面不對稱。因此，在兩側設有不同的脫碳深度，研究不對稱脫碳分布對梁彎曲行為的影響。兩側脫碳深度見表5，兩側脫碳深度之和保持在18mm。

當k=10時，在不同脫碳深度下，梁的撓度、轉角和軸向位移隨長度的變化如圖13所示，圖中脫碳深度Hd前后兩個數字分別表示頂部和底部表面脫碳深度。總脫碳深度不變，在相同載荷作用下，梁在不同脫碳分布下的撓度與轉角相似，偏差較小。但軸向位移不再為零，最大軸向位移位于梁的兩端。

隨著頂部脫碳深度的減小與底部脫碳深度的增大，梁左端的軸向位移由正值減至負值，僅當兩側脫碳深度一致時，軸向位移為零。

圖14所示為非對稱脫碳引起的最大撓度、轉角、軸向位移和物理中性面遷移的變化，圖15為梁中間表面附近軸向位移示意圖。當頂部脫碳深度大于底部脫碳深度時，頂部的剛度低于底部的剛度，因此，軸向應力和位移為零的物理中性面遷移至幾何中心面以下的位置，此時幾何中心表面左端的軸向位移為正，右端軸向位移為負，物理中性面以下的材料被拉伸，而中性面以上的材料被壓縮。當頂部脫碳深度小于底部脫碳深度時，變化相反。同時，當兩側脫碳深度差異越大時，物理中性面遷移距離也會增大，其值在-0.624～0.624mm；最大撓度與轉角隨著中性面遷移距離的減小而增大，最大撓度在7.277～7.325mm，而最大轉角在0.01192～0.01200rad；最大軸向位移變化則相反，在-0.013～0.013mm之間變化。當兩側脫碳分布相反時，梁的最大軸向位移、轉角和軸向位移相等，而中性面遷移距離關于幾何中心面對稱。

當k=1時，非對稱脫碳分布下梁的軸向應力與剪切應力的變化如圖16所示。由于兩側脫碳分布不同，軸向應力不再關于中心表面對稱。在中間非脫碳區域，軸向應力呈線性變化。而非脫碳區域的軸向力由脫碳深度和冪律指數k所決定，脫碳深度較小時，由于彈性模量的迅速減小，界面附近軸向應力會減小，脫碳深度較大時，軸向應力隨絕對高度的增大而增大。對于剪切應力，內部區域分布相似，而兩側脫碳區域分布不同。在底部，剪應力隨脫碳深度的增加而減小；而在頂部，剪應力隨脫碳深度的減小而增大。

3.5梁的尺寸的影響

討論梁的尺寸對脫碳梁彎曲行為的影響。兩側脫碳深度一致且保持恒定，冪律指數保持在k=10。圖17、圖18所示分別為梁在不同寬度和厚度下撓度與轉角的變化。圖19所示為梁在不同寬度與厚度下最大撓度與轉角的變化。結果顯示，梁的撓度與轉角隨著梁厚度和寬度的增大而減小，但增大趨勢會隨之變得平緩。當梁的寬度b為50～130mm時，最大撓度和轉角分別在5.033～13.086mm和0.0082～0.0214rad之間變化，撓度的增量范圍為0.042～0.218mm/mm，轉角的增量范圍為3.572×10-4～0.687×10-4rad/mm。當梁的厚度H為74～154mm時，最大撓度與轉角分別在3.059～24.057mm和0.0050～0.0395rad之間變化，撓度的增量范圍為0.066～0.697mm/mm，轉角的增量范圍為1.08×10-4～11.48×10-4rad/mm。由此說明梁的厚度對彎曲行為的影響大于梁的寬度的影響。

4結論

（1）本文方法與相關文獻中的結果基本吻合，這表明利用n階剪切形變理論預測脫碳層級配梁彎曲行為的方法具有良好的可靠性和精度。

（2）隨著冪律指數k的增大，梁的最大撓度與轉角急劇增大，并在k≈10處達到準穩態。在脫碳區，梁的應力受冪律指數和高度的影響。當k較大（k＞1）時，界面附近的軸向應力變化明顯，材料性能的降低對應力的影響大于梁高度的變化帶來的影響。

（3）隨著梁脫碳深度Hd的增大，最大撓度與轉角也隨之增大，但最大撓度和轉角的增量會減小，當Hd＞5.0mm時，彈性模量變化帶來的影響小于梁高度變化帶來的影響。

（4）當兩側脫碳深度分布不對稱時，軸向位移不再為零，撓度、轉角、軸向應力與剪切應力也不再對稱。物理中性表面的遷移距離隨兩側脫碳深度分布差異的增大而增大，最大撓度與轉角隨著中性面遷移距離的減小而增大，最大軸向位移的變化則相反。

（5）梁的撓度與轉角隨著梁厚度和寬度的增大而減小，但梁的厚度對彎曲行為的影響大于梁的寬度的影響。

（6）研究表面脫碳對汽車鍛造前軸彎曲行為的影響有助于優化梁的尺寸和結構，從而減少表面脫碳造成的不利影響。

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