面向物理約束的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定最優(yōu)位姿集規(guī)劃方法研究

摘要：在物理約束下的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定過程中，標(biāo)定精度受到位姿集的影響，而位姿集的選取又受到標(biāo)定裝置的約束，針對(duì)以上問題，提出了一種采樣區(qū)間評(píng)價(jià)結(jié)合位姿集優(yōu)選的最優(yōu)位姿集規(guī)劃方法。首先建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及距離約束標(biāo)定模型，計(jì)算了機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)誤差約束方程及誤差雅可比矩陣；然后對(duì)機(jī)器人工作空間進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分，應(yīng)用拉丁超立方采樣結(jié)合可觀測(cè)指標(biāo)對(duì)各個(gè)網(wǎng)格區(qū)間進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到最優(yōu)采樣區(qū)間；再次基于離線數(shù)據(jù)建立標(biāo)定精度預(yù)測(cè)模型，在最優(yōu)采樣區(qū)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)位姿集的搜索；最后對(duì)中瑞RT-608機(jī)器人進(jìn)行最優(yōu)位姿集的規(guī)劃及驗(yàn)證，結(jié)果表明：基于最優(yōu)位姿集標(biāo)定后的平均擬合球半徑為0.3947mm，較隨機(jī)位姿集減小了57.98%。

關(guān)鍵詞：工業(yè)機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定；物理約束；最優(yōu)位姿集；區(qū)間評(píng)價(jià)

中圖分類號(hào)：TP242

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.03.009

0引言

為滿足工業(yè)機(jī)器人在高端制造領(lǐng)域的應(yīng)用需求，如何提高其定位精度是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)問題［1］。如今國(guó)內(nèi)工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度可達(dá)±0.013mm，但絕對(duì)定位精度始終無法突破毫米級(jí)。運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是提高機(jī)器人絕對(duì)定位精度的重要手段［2-3］。運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定主要針對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差進(jìn)行建模及補(bǔ)償，而不能補(bǔ)償?shù)奈唇Ｕ`差會(huì)導(dǎo)致不同標(biāo)定位姿集的辨識(shí)精度不同［4］。因此，選取最優(yōu)位姿集進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是提高機(jī)器人標(biāo)定精度的一個(gè)主要手段。

目前針對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定，主要采用可觀測(cè)指標(biāo)作為標(biāo)定位姿集優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。MENQ等［5］、DRIELS等［6］和NAHVI等［7］基于機(jī)器人誤差雅可比矩陣的奇異值，相繼提出了O1～O5這五個(gè)可觀測(cè)指標(biāo)。SUN等［8］研究發(fā)現(xiàn)5個(gè)可觀測(cè)指標(biāo)的選擇優(yōu)先級(jí)受實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡挠绊懀琌1不受非奇異線性變換的影響，具有比例不變性，是使用協(xié)方差矩陣時(shí)的最佳選擇；O3是最小化末端執(zhí)行器姿態(tài)不確定性的最佳選擇。

基于可觀測(cè)指標(biāo)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了關(guān)于最優(yōu)位姿集的局部搜索算法和全局搜索算法。最優(yōu)位姿集的局部搜索指在已有位姿中搜索出理想位姿集：呂仲艷等［9］依據(jù)可觀測(cè)指標(biāo)O1提出了一種改進(jìn)的迭代位姿搜索算法，通過優(yōu)化初始位姿集提高了搜索算法的效率，并用實(shí)驗(yàn)證明了所選位姿集的標(biāo)定效果；溫秀蘭等［10］采用行列式最大化（determinantmaximzation，DETMAX）算法確定最優(yōu)標(biāo)定位姿集，并通過測(cè)量不確定度和蒙特卡洛法進(jìn)行機(jī)器人幾何參數(shù)和末端位置不確定度的計(jì)算及評(píng)估；ZHOU等［11］利用隨機(jī)化搜索改進(jìn)了DETMAX算法，并基于所選最優(yōu)位姿集進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，證明了在機(jī)器人標(biāo)定過程中，測(cè)量噪聲魯棒性受到測(cè)量位姿集選擇的直接影響。最優(yōu)位姿集的全局搜索指在機(jī)器人的工作空間中尋找全局最優(yōu)解：LE等［12］提出了一種基于可觀測(cè)指標(biāo)O1的遺傳算法，依此進(jìn)行最優(yōu)標(biāo)定位姿集的選擇，通過在YS100機(jī)器人上進(jìn)行對(duì)比標(biāo)定實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性；JIANG等［13］為了確保評(píng)價(jià)結(jié)果的穩(wěn)健性和準(zhǔn)確性，選擇O4作為位姿集的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，并針對(duì)辨識(shí)參數(shù)的靈敏度劃分為兩個(gè)識(shí)別子空間，有效地改善了辨識(shí)效果；CHEN等［14］改進(jìn)了多目標(biāo)粒子群算法，并將O1和O3動(dòng)態(tài)加權(quán)得到可觀測(cè)指標(biāo)Oc，從而獲得最優(yōu)標(biāo)定位姿集，實(shí)驗(yàn)證明相較隨機(jī)位姿集的標(biāo)定精度提高了26.94%。

上述關(guān)于最優(yōu)位姿集的研究成果主要面向基于外部測(cè)量的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，該標(biāo)定方法需要使用高精度的測(cè)量設(shè)備對(duì)機(jī)器人末端位置進(jìn)行多點(diǎn)測(cè)量，然后構(gòu)建機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差方程進(jìn)行辨識(shí)補(bǔ)償，由于設(shè)備成本昂貴且需要專業(yè)技能人員操作，在一定程度上限制了該標(biāo)定方法的應(yīng)用推廣。而對(duì)于物理約束下的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)自標(biāo)定，只需通過控制機(jī)器人與特定裝置構(gòu)建點(diǎn)［15］、面［16］、距離［17］等約束，從而建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差方程即可實(shí)現(xiàn)標(biāo)定，此方法標(biāo)定成本低、耗時(shí)短，具有一定的研究意義和應(yīng)用前景。

目前關(guān)于物理約束下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定最優(yōu)位姿集的研究較少，主要面臨的問題是由于機(jī)器人的標(biāo)定位姿集受到標(biāo)定裝置的約束，導(dǎo)致通過全局搜索算法得到的最優(yōu)位姿集脫離了給定的物理約束，而通過局部搜索算法得到的最優(yōu)位姿集又不能保證全局最優(yōu)。本文針對(duì)已知物理約束的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定提出了一種采樣區(qū)間評(píng)價(jià)結(jié)合位姿集優(yōu)選的最優(yōu)位姿集規(guī)劃方法，在全局最優(yōu)的采樣區(qū)間中利用位姿集優(yōu)選模型進(jìn)行最優(yōu)位姿集的預(yù)測(cè)。

1多位姿探測(cè)器距離約束機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)

1.1標(biāo)定模型的建立

首先基于MDH（modifiedDenavit-Hartenberg）方法建立六軸連桿機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，相鄰連桿間位姿變換關(guān)系如下：

根據(jù)圖1所示的標(biāo)定原理，在機(jī)器人基座、末端和末端固接的激光器分別建立B系（指B坐標(biāo)系，下同）、E系和L系。則由機(jī)器人B系到E系的位姿變換矩陣表達(dá)式為

在4個(gè)位置探測(cè)器（positionsensitivedetector，PSD）的光敏平面中心分別建立P1、P2、P3和P4系。控制機(jī)器人，使入射激光線分別到達(dá)PSD1和PSD3的光敏平面，并反射至PSD2和PSD4的光敏平面。通過對(duì)PSD間的相對(duì)位姿精準(zhǔn)標(biāo)定，得到各PSD上的激光光斑在P1系下的坐標(biāo)。

1.2目標(biāo)方程的建立

根據(jù)光斑坐標(biāo)及機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、空間幾何和幾何光學(xué)等知識(shí)，分別計(jì)算基坐標(biāo)系下異面光線距離dB和PSD系下異面光線距離dO1［17］。理論上dB=dO1，但由于dB為基坐標(biāo)系下兩入射光線間的實(shí)際距離，dB的解析式中包含的24個(gè)機(jī)器人本體參數(shù)和6個(gè)激光器系參數(shù)均由理論參數(shù)和參數(shù)誤差兩部分組成，所以對(duì)n組光線兩兩求距后的n2組光線距離的差值建立目標(biāo)方程如下：

其中，Δη為待求的機(jī)器人本體運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差及L系位姿誤差；Hd為距離參數(shù)誤差模型的擴(kuò)展雅可比矩陣，其表達(dá)式分別為

2最優(yōu)位姿集規(guī)劃方法

2.1可觀測(cè)指標(biāo)

在對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的過程中，選取的位姿集會(huì)影響最終的標(biāo)定精度，因此，可觀測(cè)指標(biāo)作為一項(xiàng)可以反映當(dāng)前位姿對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差敏感程度的指標(biāo)，可用來衡量位姿集的優(yōu)劣。根據(jù)標(biāo)定誤差模型的擴(kuò)展雅可比矩陣H′d的奇異值，得到常用的可觀測(cè)指標(biāo)O1～O5的表達(dá)式：

式中，μ為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；L為待辨識(shí)幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)；σi為擴(kuò)展雅可比矩陣H′d的奇異值（i=1，2，…，L），且σ1gt;σ2gt;…gt;σL。

從數(shù)學(xué)角度分析，以上五種可觀測(cè)指標(biāo)雖然表達(dá)式不同，但主要思想均是為了最大化辨識(shí)雅可比矩陣所映射的超橢球體積，增強(qiáng)標(biāo)定位姿誤差相對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的敏感度，降低非幾何誤差對(duì)最終標(biāo)定精度的影響。由于待辨識(shí)模型參數(shù)的量綱和量級(jí)存在差異，對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行歸一化時(shí)，五種可觀測(cè)指標(biāo)中僅有O1不受非奇異線性變換的干擾，故本文選擇可觀測(cè)指標(biāo)O1作為標(biāo)定區(qū)間規(guī)劃的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

在式（13）中，μ為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，也表示根據(jù)機(jī)器人末端位姿構(gòu)建μ個(gè)誤差約束方程。而根據(jù)本文提出的多PSD距離約束標(biāo)定模型，任意兩個(gè)采樣點(diǎn)即可在仿真空間中構(gòu)建一組距離誤差約束方程。此處設(shè)定將μ個(gè)采樣點(diǎn)均分為2組，兩組間的采樣點(diǎn)兩兩組合，即可創(chuàng)建（μ/2）2組誤差方程，因此，多PSD距離約束標(biāo)定模型對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)指數(shù)O1表達(dá)式應(yīng)為

2.2拉丁超立方采樣

拉丁超立方采樣是一種多維分層采樣法，可將采樣空間的分布特征最大程度地通過采樣變量體現(xiàn)出來［18］。拉丁超立方采樣分為采樣和排序兩個(gè)步驟：采樣是指為保證采樣點(diǎn)對(duì)采樣空間的高覆蓋性，對(duì)各個(gè)隨機(jī)變量的采樣；排序是指為了最小化各采樣值間的相關(guān)性，用一定手段對(duì)采樣值進(jìn)行重新排序。

2.2.1采樣

假設(shè)采樣規(guī)模為N，采樣隨機(jī)變量維度為K，任意隨機(jī)變量表示為Ai（i=1，2，…，K），Ai的累積概率分布函數(shù)Pi=Fi（Ai）。

采樣方法如圖2所示，首先將縱軸Pi的值域依據(jù)采樣規(guī)模等分為N個(gè)長(zhǎng)度為1/N的子區(qū)間；再選取每個(gè)子區(qū)間的中點(diǎn)為Pi，則可通過Ai累積概率分布函數(shù)的反函數(shù)得到Ai，表達(dá)式如下：

將所得的一維N列采樣值隨機(jī)排列，則所有采樣值組成K×N階的初始樣本矩陣如下：

矩陣AKN的各行代表某一采樣值變量的隨機(jī)排列，各列代表各個(gè)隨機(jī)初始樣本。

2.2.2排序

當(dāng)使用拉丁超立方采樣得到的樣本進(jìn)行多輸入隨機(jī)變量的分析計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性受各采樣值間相關(guān)程度的影響。式（20）中各行元素隨機(jī)排序?qū)е赂鞑蓸又甸g的相關(guān)性無法確定，因此采用排序的方法降低各個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度。

Cholesky分解法可降低矩陣的行相關(guān)性［19］，其主要思想是通過Cholesky分解不斷更新排列矩陣LKN，再將初始樣本矩陣各行元素按照排列矩陣中各行元素的大小順序進(jìn)行重新排列，具體步驟如下：

（1）生成K行由整數(shù)1～N隨意排列的初始排列矩陣LKN，按照排列矩陣各行元素大小順序更新初始樣本矩陣。

（2）計(jì)算排列矩陣LKN的相關(guān)系數(shù)矩陣ρL，對(duì)正定對(duì)稱矩陣ρL進(jìn)行Cholesky分解，得到可逆非奇異下三角矩陣D：

（3）求得行相關(guān)性更小的排列矩陣L′KN：

由于L′KN中不能直觀表示各行元素大小排列順序，故需對(duì)其進(jìn)行順序排號(hào)，并依據(jù)打亂后的順序?qū)颖揪仃囍械脑剡M(jìn)行排列。不斷重復(fù)此步驟，即可大幅度降低樣本矩陣的行相關(guān)性。

本文選用拉丁超立方采樣生成區(qū)間評(píng)價(jià)所需要的樣本，既滿足了采樣樣本在區(qū)間內(nèi)的均勻分布，又可以最小化樣本各維度間的相關(guān)性，保證了所選樣本盡可能反映各個(gè)區(qū)間在同一種標(biāo)定模型下對(duì)幾何參數(shù)誤差的敏感度。

2.3最優(yōu)標(biāo)定區(qū)間

基于多PSD距離約束標(biāo)定模型的采樣區(qū)間規(guī)劃方法主要包括機(jī)器人工作空間的網(wǎng)格化劃分以及評(píng)價(jià)網(wǎng)格區(qū)間所需的樣本點(diǎn)位姿和數(shù)量的確定。首先，基于實(shí)際閉環(huán)標(biāo)定裝置的尺寸將機(jī)器人的工作空間劃分為一定數(shù)量的網(wǎng)格；然后，確定評(píng)價(jià)任意一個(gè)網(wǎng)格區(qū)間所需的樣本點(diǎn)的數(shù)量和位姿，實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)采樣區(qū)間的規(guī)劃。具體流程如圖3所示。在區(qū)間規(guī)劃流程中，以全空間下可觀測(cè)指標(biāo)O1達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)作為評(píng)價(jià)各網(wǎng)格區(qū)間的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，其原因如下：雖然不能保證各網(wǎng)格區(qū)間所需評(píng)價(jià)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，但由于評(píng)價(jià)子區(qū)間所需采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)一定不大于父區(qū)間，故評(píng)價(jià)全空間所需的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)一定滿足各個(gè)網(wǎng)格區(qū)間的最低要求。同時(shí)，后續(xù)實(shí)驗(yàn)也證明了過多的采樣點(diǎn)不會(huì)對(duì)O1的變化產(chǎn)生明顯影響。

2.4位姿集優(yōu)選模型

離線訓(xùn)練位姿集優(yōu)選模型是為了在最優(yōu)采樣區(qū)間的基礎(chǔ)上進(jìn)一步搜索最優(yōu)位姿集。模型的建立主要包括特征數(shù)據(jù)的獲取以及回歸模型的訓(xùn)練兩部分。

特征數(shù)據(jù)的獲取指利用灰度關(guān)聯(lián)算法對(duì)構(gòu)成位姿集的關(guān)節(jié)角進(jìn)行特征提取，并將機(jī)器人工作空間大量采樣點(diǎn)的理論坐標(biāo)與補(bǔ)償后坐標(biāo)的平均歐氏距離作為標(biāo)簽，然后采用支持向量回歸（supportvectorregression，SVR）預(yù)測(cè)模型對(duì)特征提取后的數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練。有關(guān)數(shù)據(jù)處理及模型訓(xùn)練的具體過程詳見本課題組的前期工作成果［20］。

3實(shí)驗(yàn)與分析

3.1確定最優(yōu)標(biāo)定區(qū)間

本文所采用的6軸連桿機(jī)器人中瑞RT-608的理論MDH參數(shù)見表1。需要對(duì)機(jī)器人末端固接激光器，其理論激光器系參數(shù)見表2。

根據(jù)表1和表2中的參數(shù)建立機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在機(jī)器人的全工作空間內(nèi)采用拉丁超立方采樣得到采樣點(diǎn)，并依據(jù)誤差雅可比矩陣計(jì)算可觀測(cè)指標(biāo)O1。

拉丁超立方采樣時(shí)，為降低樣本各維度間的相關(guān)性，應(yīng)用Cholesky分解法對(duì)樣本矩陣更新。如圖4所示，隨機(jī)選擇四組樣本矩陣，其相關(guān)系數(shù)矩陣ρ非對(duì)角線元素的均方根ρRMS的變化趨勢(shì)可以證明，Cholesky分解法對(duì)降低樣本矩陣的行相關(guān)性具有明顯效果，且樣本矩陣迭代約50次后ρRMS趨于穩(wěn)定。

為了避免選取采樣點(diǎn)的隨機(jī)性，將重復(fù)采樣10次后計(jì)算得到的O1均值作為該采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)條件下的穩(wěn)定O1值。在區(qū)間［0，2000］內(nèi)等梯度增加采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并觀察O1值的變化趨勢(shì)。如圖5所示，當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為900時(shí)O1值趨于穩(wěn)定，即評(píng)價(jià)機(jī)器人整個(gè)工作空間約需要基于拉丁超立方采樣得到900個(gè)采樣點(diǎn)。

圖6所示為本次區(qū)間規(guī)劃實(shí)驗(yàn)所使用的多PSD距離約束標(biāo)定裝置，該標(biāo)定裝置的實(shí)際尺寸約為480mm×300mm×240mm。為了進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分，首先需要利用MonteCarlo法得到機(jī)器人的工作空間，結(jié)果如圖7所示。

考慮到安放裝置需要的空間余量、機(jī)器人末端入射激光線長(zhǎng)度及機(jī)器人工作空間的不規(guī)則性，將機(jī)器人的絕大部分工作空間劃分為64個(gè)500mm×500mm×500mm的網(wǎng)格子區(qū)間。應(yīng)用拉丁超立方采樣在64個(gè)網(wǎng)格區(qū)間各取900個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算O1值，并將反復(fù)采樣10次后得到的O1均值作為最終的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。評(píng)價(jià)結(jié)果如圖8所示，在機(jī)器人基坐標(biāo)系下，網(wǎng)格區(qū)間{X∈［0，500］mm；Y∈［-1000，-500］mm；Z∈［-500，0］mm}為最優(yōu)采樣區(qū)間。

3.2位姿集優(yōu)選模型的建立

3.2.1構(gòu)建仿真數(shù)據(jù)

在仿真環(huán)境下建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及多PSD距離約束標(biāo)定系統(tǒng)。每次離線采集10組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)組成一組位姿集，同時(shí)不斷改變PSD與機(jī)器人間的相對(duì)位置關(guān)系，將獲得的200組位姿集及標(biāo)定后得到的對(duì)應(yīng)標(biāo)簽作為初始仿真數(shù)據(jù)集，部分關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)見表3。對(duì)初始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后得到特征數(shù)據(jù)集，部分特征數(shù)據(jù)見表4。

3.2.2SVR預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練及驗(yàn)證

將特征數(shù)據(jù)集的80%作為訓(xùn)練集，其余20%作為驗(yàn)證集。將訓(xùn)練集輸入SVR模型中，設(shè)置懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)σ的范圍和步長(zhǎng)，利用網(wǎng)格搜索方法得到最佳c和σ的過程如圖9所示。利用訓(xùn)練好的模型對(duì)驗(yàn)證集進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖10所示。根據(jù)圖10中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，驗(yàn)證集原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)間的回歸系數(shù)R2為0.7878，證明預(yù)測(cè)效果良好。

3.3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用中瑞RT-608機(jī)器人分別在最優(yōu)區(qū)間和隨機(jī)區(qū)間結(jié)合位姿集優(yōu)選模型進(jìn)行圖11a所示的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。最優(yōu)區(qū)間的標(biāo)定數(shù)據(jù)采集需先控制機(jī)器人末端達(dá)到最優(yōu)采樣區(qū)間中心，即（250，-750，-250）mm，將多PSD標(biāo)定裝置中心（約為PSD1中心和PSD3中心連線中點(diǎn)處）置于該位置。為了避免偶然性，需適當(dāng)改變標(biāo)定裝置的姿態(tài)和位置；為了保證機(jī)器人末端不超出最優(yōu)采樣區(qū)間的范圍，需盡量縮短激光器至PSD1入射光線的長(zhǎng)度。

同時(shí)，標(biāo)定前利用圖11b所示繞點(diǎn)法得到機(jī)器人在某一固定位置下的100組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，根據(jù)示教器得到補(bǔ)償前后的100個(gè)末端位置離散點(diǎn)，采用最小二乘法計(jì)算擬合球的球心和擴(kuò)散半徑，任意一組離散點(diǎn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖12所示。

擬合球的半徑可以反映擬合的數(shù)據(jù)集在三維空間中的離散程度，進(jìn)一步反映機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。因此，驗(yàn)證最優(yōu)標(biāo)定位姿集的具體實(shí)驗(yàn)流程如圖13所示。

依據(jù)圖13的流程進(jìn)行20次標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，對(duì)機(jī)器人本體運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)及末端激光器系參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)及補(bǔ)償。在補(bǔ)償后的機(jī)器人模型下計(jì)算100組位姿的擬合球半徑，最小擬合球半徑對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償數(shù)據(jù)即最佳標(biāo)定數(shù)據(jù)，見表5、表6。

對(duì)圖14中的四組標(biāo)定數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到標(biāo)定后的擬合球半徑統(tǒng)計(jì)圖（圖15），可知：在最優(yōu)區(qū)間內(nèi)應(yīng)用位姿集優(yōu)選后的全局最優(yōu)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定，其平均擬合球半徑為0.3947mm，較單獨(dú)在最優(yōu)區(qū)間或使用位姿集優(yōu)選模型標(biāo)定后的平均擬合球半徑分別減小36.77%和26.30%，較隨機(jī)數(shù)據(jù)減小57.98%，同時(shí)利用全局最優(yōu)數(shù)據(jù)標(biāo)定后的擬合球半徑中位數(shù)和方差也明顯低于其余三組數(shù)據(jù)，由此證明了最優(yōu)標(biāo)定區(qū)間及位姿集優(yōu)選模型均可有效改善標(biāo)定精度，且將兩者結(jié)合可以進(jìn)一步提高標(biāo)定精度及其穩(wěn)定性。

4結(jié)論

（1）針對(duì)物理約束下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定過程中的最優(yōu)位姿集搜索問題，本文提出了一種采樣區(qū)間評(píng)價(jià)結(jié)合位姿集優(yōu)選的最優(yōu)位姿集規(guī)劃方法，實(shí)現(xiàn)了在受約束條件下全局最優(yōu)位姿集的搜索，對(duì)提高運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的精度具有顯著效果。

（2）以中瑞RT-608機(jī)器人為研究對(duì)象，基于MDH方法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并根據(jù)多PSD距離約束模型計(jì)算誤差雅可比矩陣，得到可觀測(cè)指標(biāo)O1的特定表達(dá)式；然后將機(jī)器人的工作空間劃分為64個(gè)網(wǎng)格子區(qū)間，根據(jù)O1計(jì)算得出在拉丁超立方采樣下評(píng)價(jià)各個(gè)網(wǎng)格區(qū)間至多900個(gè)采樣點(diǎn)，從而對(duì)各個(gè)網(wǎng)格區(qū)間進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到最優(yōu)標(biāo)定區(qū)間；最后，利用基于離線數(shù)據(jù)訓(xùn)練的位姿集優(yōu)選模型，對(duì)最優(yōu)標(biāo)定區(qū)間內(nèi)得到的位姿集數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)選。

（3）經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在最優(yōu)區(qū)間內(nèi)應(yīng)用位姿集優(yōu)選后的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定，其平均擬合球半徑為0.3947mm，較單獨(dú)在最優(yōu)區(qū)間或使用位姿集優(yōu)選模型標(biāo)定后的平均擬合球半徑分別減小36.71%和26.06%，較隨機(jī)數(shù)據(jù)減小57.98%。結(jié)果表明，本文方法對(duì)提高機(jī)器人物理約束的標(biāo)定精度有顯著效果，對(duì)一類基于物理約束的機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

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