圖形的旋轉以及旋轉的性質

譚婷

1 教學分析

1.1 教材內容分析

北師大版八年級數學下冊第三章第二節“圖形的旋轉”共有2個課時.其中第一課時，主要學習旋轉的定義，理解圖形旋轉的性質.本節課在內容上以新華社最新的報道引入，引起學生的興趣.再通過將生活場景抽象為平面圖形，引導學生準確地描述旋轉，自然引出旋轉的定義.通過趣味分類和及時練習，一方面加深學生對旋轉的理解，另一方面為性質的探索打下基礎.最后由學生一起合作探究，得出旋轉的性質.這節課能夠培養學生觀察、探究、抽象、概括等能力和數學思想方法，為學生的創新學習、主動學習打下基礎.

1.2 學情分析

學生在七年級下冊“全等三角形”的學習中，已經見過以旋轉變換為基礎的全等三角形，對旋轉變換的圖形有熟悉感.同時，學生也具備了一定的邏輯推理能力，為本節課做了一定的知識儲備.但是，旋轉是初中要求掌握的三種圖形全等變換中難度較大的一種，在探索的過程中對學生的觀察能力、動手能力、交流歸納能力以及對數學方法的運用能力要求較高.因此，探究圖形旋轉的性質，從多角度理解圖形旋轉的發生過程，對學生來說仍會有較大的困難.筆者所教班的學生好動，愛發表見解，希望受到老師的表揚，在教學中筆者抓住學生這一特點，通過直觀演示，引起學生的興趣，把他們的注意力集中在課堂中，學生通過動手參與、發表見解，發揮學習的積極性.

1.3 教學目標

（1）掌握旋轉的概念，會確定旋轉前后圖形的對應點、對應線段、對應角以及旋轉中心和旋轉角.

（2）探索并理解旋轉的基本性質.

（3）在發現、探究的過程中，完成對旋轉這一圖形變化從直觀到抽象、從感性認識到理性認識的轉變，體會類比和分類思想，發展直觀想象能力以及觀察、分析、抽象概括的思維能力.

2 課堂實錄

掃碼看報道

2.1 環節一：創設情境，引入新課

師：同學們，本節課的開始我們先來看一則報道.

如圖1，在這段運動過程中，隱含了哪種圖形的變換？

生：旋轉.

師：同學們觀察得很仔細.前面我們對圖形的平移與翻折已經有了深入的研究，今天我們就將目光聚焦于圖形的旋轉.你能舉出生活中旋轉的例子嗎？

生：旋轉的指針、摩天輪、旋轉木馬……

師：生活中的旋轉無處不在，除了剛才同學們說的現象外，還有轉動的車輪、打開的風扇、風力發電等.

設計意圖：上課開始，教師通過多媒體給學生播報了一篇新聞報道，將學生從數學課堂帶入到現實生活情境中，打破了數學概念教學的枯燥無味，激發了學生的學習興趣，注入思想興奮劑.由舉出生活中的旋轉實例，引出課題.

2.2 環節二：自主探究，合作交流

探究一：旋轉的定義.

（1）師生互動，描述旋轉

師：請同學們觀察三角形的旋轉過程（演示動畫），如圖2，如何用數學語言描述這一旋轉過程呢？

生：將△ABC繞點B逆時針方向旋轉60°得到△A′B′C.

（2）學生嘗試，給出定義

師：結合剛才的描述，你能試著給旋轉下一個定義嗎？

定義：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.“旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度”稱之為旋轉的三要素.

師：請同學們觀察時針和分針的旋轉過程，如圖3，旋轉中心是哪個點？

生：點O.

師：旋轉方向呢？

生：順時針.

師：旋轉的角稱為旋轉角，旋轉角是多少度？

生：旋轉角是120°.

師：除此之外還能怎么定義旋轉角？

生：對應點與旋轉中心連線所形成的角稱為旋轉角.

設計意圖：從常見的三角形出發，感受圖形的旋轉.這里讓學生多說多想，在說的過程中提升學習自信心，在不知不覺中說出旋轉的定義.通過時針和分針的旋轉加深對概念的理解.

（3）即學即練，檢測運用

（Ⅰ）通過希沃小游戲將生活中的平移、旋轉現象分類，如圖4.

（Ⅱ）如圖5，四邊形ABCD是長方形，四邊形AEFG也是長方形，點E在AD上，如果長方形ABCD旋轉后能與長方形AEFG重合，那么：

（ⅰ）旋轉中心是______.

（ⅱ）旋轉角是______度.

（ⅲ）點B的對應點是______，點F的對應點是______.

（ⅳ）線段AD的中點M的對應點位于______.

設計意圖：及時鞏固旋轉及其相關概念，為下面探究旋轉的性質做好鋪墊.

探究二：旋轉的基本性質.

師：請同學們想一想研究圖形的旋轉，除了定義，你還想研究哪些內容？

生：性質和應用.

師：非常棒！剛才我們對定義已經有所了解，下面我們一起來探究旋轉的性質.如圖6，將△ABC繞點O按順時針旋轉一個角度，得到△DEF.觀察并思考，旋轉前后△ABC的什么變了，什么沒變？

生：位置變了，形狀和大小沒有變.

師：旋轉前后的圖形全等.有哪些線段、哪些角相等？

生：AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，即對應邊相等，對應角相等.

師：連接各對應點與旋轉中心，你發現了什么？

生：OA=OD，OB=OE，OC=OF.

師：你能用文字語言描述一下你的結論嗎？

生：對應點到旋轉中心的距離相等.

師：還有其他發現嗎？

生：∠AOD=∠BOE=∠COF，也就是對應點與旋轉中心的連線所成的角都相等.

師：針對以上猜想，請同學們動手操作，量一量，驗證猜想.

師：現在老師利用幾何畫板軟件進行驗證，看能否得到與大家相同的結論.從改變旋轉中心的位置、改變旋轉方向、改變旋轉角，改變圖形不同角度來驗證.

通過上述探究，歸納出旋轉的基本性質，如圖7：

旋轉的基本性質

對應線段相等、對應角相等

對應點到旋轉中心的距離相等

任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都 相等（都等于旋轉角）

設計意圖：學生在觀察猜想、合作探究的過程中，完成對旋轉這一圖形變化從直觀到抽象、從感性認識到理性認識的轉變，得出旋轉的性質.教師最后用幾何畫板進行二次驗證，完善了學生新知識的構建，同時也體現了數學學科的嚴謹求實.

2.3 環節三：遷移應用，旋轉作圖

師：通過探究，同學們對旋轉的性質已經有了一定的認識.事實上，在探究的過程中我們始終都在關注圖形變化中的不變量，基于這樣的不變量，能否畫出旋轉圖形呢？下面我們一起來探究旋轉的應用——旋轉作圖.

師：點動成線，線動成面.會畫一個平面旋轉圖形，歸結于會畫什么的旋轉呢？

生：點.

師：很好！那么請同學們想一想，如何利用刻度尺、圓規等工具在圖8中畫點B繞點A順時針旋轉90°后的點？試一試！請一位同學上講臺板演，邊畫邊解釋.

生：連接BA，因為是順時針，所以過點A作一條垂直BA的射線，用圓規截取BA的長度，交射線于點B′.

師：表述得很清楚！請同學們繼續畫出三角形ABC（如圖9）繞點O順時針旋轉60°所得的圖形.將三角形轉動，需要作出幾個點呢？

生：3個點即可.

師：作圖的依據是什么呢？

生：旋轉的性質.

師：對，就是性質.同學們根據旋轉的性質利用直尺、量角尺、圓規等工具畫出了三角形旋轉后的圖形，實現了復制粘貼的過程.那我們可以不借助這么多工具畫出旋轉圖形嗎？你有什么好辦法？

生：我發現利用網格紙作圖會更簡單.

師：非常好！那請你畫出三角形ABC（圖10）繞點O逆時針旋轉90°所得的三角形，旋轉180°，270°呢？

展示學生畫的圖，如圖11.

設計意圖：由點的旋轉作圖到三角形的旋轉作圖，讓學生明白作圖的本質就是利用旋轉的性質，體會旋轉作圖的基本思想.由尺規作圖到用網格紙作圖，提高學生由特殊到一般的作圖能力，同時也加深了學生對旋轉性質的理解.

師：改變旋轉中心得到的這個圖形（圖12），大家熟悉嗎？

生：是風車.

師：繼續改變旋轉中心，這個圖形（圖13）是？

生：趙爽弦圖.

師：沒錯，趙爽弦圖是2002年國際數學家大會的會標，在八年級上冊第一章“勾股定理”的學習中也常出現它的身影.其實不僅可以改變旋轉中心，還可以改變旋轉的角度、方向，甚至可以改變初始圖形的形狀，創造出很多美麗的圖案，如圖14.

師：事實上，圖形的旋轉被廣泛應用于美學設計、建筑建造中，對我們的生活有著十分重要的意義，如圖15.

設計意圖：通過作基礎圖形的旋轉圖形，得到各種各樣的圖形，感受千變萬化的數學之美.

2.4 環節四：智慧闖關，訓練鞏固

師：圖形的變換有美也有趣，下面我們一起來智慧大闖關.

第一關：

（1）用數學的方式理解“當窗理云鬢，對鏡貼花黃”和“坐地日行八萬里”（只考慮地球的自轉），其中蘊含的圖形運動是（? ）.

A.平移和旋轉

B.對稱和旋轉

C.對稱和平移

D.旋轉和平移

第二關：

（2）如圖16，將線段AB繞點O順時針旋轉90°得到線段A′B′，那么A（-2，5）的對應點A′的坐標是（? ）.

A.（2，5）

B.（5，2）

C.（2，5）

D.（5，-2）

第三關：

（3）①如圖17，線段AB繞著點O旋轉，能使得線段AB與線段CD重合嗎？為什么？

②若線段AB繞點O旋轉后會與線段CD重合，請在圖18中作出旋轉中心點O.說一說你的方法.

設計意圖：激發學生探索精神的同時，夯實了學生之前學習的知識，達到了前后知識點的融合，培養和發展了學生的思維能力.

師：同學們，學習就像一段旅程.今天我們的探索之旅即將接近尾聲，關于本節課你有什么收獲呢？

生：本節課我知道了圖形旋轉的定義、旋轉的三要素、以及旋轉的性質.

師：很好.還有沒有補充？

生：我還學會了根據旋轉的性質作圖.

師：同學們總結得非常好！今天這節課我們認識了一種新的圖形變換，即旋轉；掌握了旋轉的定義和性質.老師也根據本節課的知識作了一首打油詩：

一個中心數個點，同向等角一起轉；

旋轉前后圖萬千，變化之中有不變！

哪位同學能解釋一下嗎？

生：一個中心是指旋轉中心，平面圖形上的無數個點都繞著同一個方向旋轉相同的角度；根據旋轉可以設計出千變萬化的圖形，圖形的旋轉就是要把握住變化之中的不變量.

師：解釋得非常棒！

設計意圖：在小結環節中，先讓學生暢談收獲，再讓學生補充，最后教師點評，不僅可以檢驗學生對本節課內容的認知情況，更能增強學生的自信心.用一首打油詩把本節課的知識都總結其中，方便好記，朗朗上口.

師：本節課的最后，老師想送給同學們一句話——

當你覺得生活很累很苦，不妨旋轉一個角度看世界，轉變我們的心態，相信所有的困難都將變成一份讓你成長的禮物.祝大家每天都有好心情！