平行線間“百變蝴蝶型”面積問(wèn)題的思考

張國(guó)川 任曉紅

為體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，將九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間劃分成四個(gè)學(xué)段.小學(xué)生在一所學(xué)校完整地學(xué)習(xí)完六年一貫制的整體課程，初高中由于升學(xué)原因?qū)е轮袑W(xué)課程割裂明顯.隨著國(guó)家對(duì)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的探索，發(fā)現(xiàn)割裂數(shù)學(xué)學(xué)段之間的聯(lián)系對(duì)學(xué)生的發(fā)展極為不利，因此必須整合中學(xué)數(shù)學(xué)課程，有序推進(jìn)一體化教學(xué).本文中以一道中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，談?wù)勅绾胃鶕?jù)一體化教學(xué)要求開(kāi)展解題教學(xué)，依據(jù)不同學(xué)段學(xué)生認(rèn)知水平的差異，給出同一試題的不同解法，引導(dǎo)學(xué)生用整體觀、統(tǒng)一觀正確看待中學(xué)數(shù)學(xué)一體化教學(xué)［1］.

3 解法提煉

本題在動(dòng)點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，線段CE，BE的長(zhǎng)度比恰好等于△ABE與△CEF的相似比，很自然聯(lián)想到線段的定比分點(diǎn)，因此得到解法1；運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)三角形始終保持CE+BE=4，基于此可設(shè)單變量t，并用t表示線段CE，BE的長(zhǎng)度，再聯(lián)立方程得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而求出△ABE與△CEF面積之和，得到解法2；本題是三角形面積問(wèn)題，觀察圖形發(fā)現(xiàn)，求面積選用△ABE與△CEF的對(duì)頂角作為夾角比較合適，設(shè)∠AEO=θ，則夾角就是π－θ，計(jì)算面積時(shí)約去未知量θ實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求，這是解法3.

解法1～3用坐標(biāo)法求面積，將幾何問(wèn)題代數(shù)化；解法4利用“共邊定理”和相似三角形的性質(zhì)，是幾何直觀解法［2］；解法5基于《大學(xué)先修課程》用行列式計(jì)算三角形的面積［3］，根據(jù)解法1求出的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用行列式求面積水到渠成.

4 結(jié)束語(yǔ)

上述中考?jí)狠S題很接地氣，非常契合當(dāng)下高中教學(xué)的需要，以函數(shù)為載體，以拋物線為背景，設(shè)置“蝴蝶型”面積計(jì)算問(wèn)題，充分考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.試題為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)打牢基礎(chǔ)，避免初高中教學(xué)脫鉤，實(shí)現(xiàn)不同學(xué)段教學(xué)一體化.

文中給出的解法將高中直線平行的充要條件、基本不等式、三角形的面積等內(nèi)容適時(shí)進(jìn)行初等化處理，合理等價(jià)化歸.作為教學(xué)探索，筆者希望引導(dǎo)學(xué)生自主思考，從不同視角研究問(wèn)題，聚焦幾何直觀等關(guān)鍵能力，發(fā)展分析問(wèn)題和解決問(wèn)題素養(yǎng)，創(chuàng)新性地給出問(wèn)題解決的方案.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］任曉紅，張國(guó)川.高觀視角賞勝景 直觀教學(xué)能致遠(yuǎn)［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（4）：20-22.

［3］張國(guó)川，任曉紅.解三角形“圓”來(lái)如此精彩［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（9）：38-40.