基于“運算素養”的單元教學重構與實踐

潘麗麗

培養學生的核心素養是學科育人理念的具體實現方式.《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，運算能力是初中階段核心素養的主要表現之一，其內涵指向為：能明晰運算的對象和意義，能理解算法和算理的關系，能選擇合理的運算策略，能用運算促進數學推理能力的發展.故運算教學不僅是提升學生計算能力，更重要的是構建推理過程，形成數學化思考的方式，養成嚴謹的學科學習態度.

“二次根式”是初中代數中“數與式”教學內容的最后一章，在經歷了有理數、實數、整式和分式的學習后，學生在理解運算對象、研究運算方法等方面的能力逐步形成.教師有必要把“二次根式”的教學設計置于數式整體發展中重構，發展學生的類比學習和自主探究能力，真正提升運算素養.

1 單元重構之需求

1.1 學生層面的問題解析

二次根式學習過程中，學生往往會出現以下典型問題：32÷18=62÷88=62÷228=62×822=26×22×2=23.主要表現為學生死搬硬套公式，未能優化計算.產生這些表面現象的本質原因何在？筆者認為是忽視了性質產生的必要性，導致不理解計算本質、不能選擇合適的運算順序.

基于已有的整式、分式的經驗，學生能類比得到二次根式的研究套路是“概念—性質—運算—應用”.學習性質后，學生先入為主，認為對形如ab的算式都要轉化為ab的形式，使后續計算過程迂回曲折、繁瑣易錯，未能理解算理和算法，從而失去了優算的先機.

這就需要教師不僅從單元整體視角，還要從主題單元之間的聯系去尋求教學策略.故知識生長邏輯鏈的發展需要進行單元教學重構.

1.2 主題單元的結構聯系

數學的核心概念是數學學科的主干知識，在學生的認知結構中，“具有重要的、不可或缺的基礎地位”；在研究方法上，“具有邏輯的連貫性和一致性”.整式這個核心概念是研究其余代數式的基礎，其研究的路徑和方法對研究其他代數式起到了不可替代的借鑒作用.圖1表明，二次根式是數與式這個核心知識體系中概念發展的必經階段.

本章教學不該只是類比整式、分式的研究套路“穿新鞋，走老路”，應當基于前面的探究挖掘更多的價值，進一步厘清運算規則的內涵，使教學策略不僅基于經驗，又要重在創新.故單元整體教學的創新性促進單元重構的必要性.

1.3 思維層級的進階需求

在整個學習中，學生的思維進階是教學的根本落腳點.學生在學習整式、分式后，逐漸積累認識事物的方式.（1）初步形成研究新的“式”的思維方式，即通過“實際情境—抽象研究對象—下定義—概念辨析—概念精致—概念應用”對新主題展開探究；（2）能通過特殊到一般、一般到特殊的方法歸納性質.但性質如何產生是學生思維進階時的障礙點，突破障礙是本章學習的思維進階點.單元整體教學時，要注重如何承襲“舊”，突出“新”，如何設計學習活動才能發現問題、推理并解決問題.故單元整體教學的“四能”培育觸發了單元整體重構的必然性.

2 單元教學重構之路徑

2.1 厘清核心問題和單元主線

2.1.1 挖掘前結構的價值

運算中的規律或不變性就是代數的性質，繼而通過代數運算系統解決各類問題.隨著數的范圍擴大，已學的運算規則在新數域中仍成立；數式發展中，由于字母表示數，運算規則在式的領域中仍成立.基于此，運算法則既符合實際又滿足理論的相容性，從而明確數與式發展中的通性以及代數運算規則的沿襲性.

2.1.2 厘清現結構的主線

本單元的核心問題是：①如何理解二次根式的性質；②如何化簡二次根式；③如何優化二次根式的計算.也就是說，本單元要解決“性質怎么來”“怎么用”的問題.需要達成的教學功能，一是讓學生立足基礎感受性質產生的必要性；二是體會性質是二次根式化簡的依據，同時也是優化計算的依據.研究的主線是學生在“嘗試計算”二次根式加減乘除的過程中，試一試、究一究，自主確定運算對象，明晰計算需要依據一定的規則，體會性質是解決二次根式運算問題的核心.把“算算看”作為研究性質的基本方法，“從運算開始”成了教學設計的必然.

2.2 單元課時的重組

基于上述分析，本文中對浙教版教材二次根式性質和計算部分進行課時重組（見表1），體現知識基礎的價值理解和運算的需要，體現性質學習的“知識背景—知識形成—揭示聯系”的過程.具體表現為在“二次根式”概念之后增加一個課時，設計“嘗試運算”的學習活動，自主發現和提出問題，并能初步猜想和驗證規律，從而更有邏輯地連結單元內容.

2.3 單元—課時教學目標的確定

根據已有知識基礎、認知水平及學習要求，系統規劃了單元教學目標，對重組后的課時目標作更細化安排和精準描述（見表2），使教學目標和設計更易操作和可檢測.把握知識圖譜，體現單元之間的關聯以及單元內部的關聯，是一覽眾山小的高瞻遠矚，是整體到局部的了然于心；從單元目標到課時的具體目標有利于局部到微觀的靶向施策.

課時1：二次根式的性質1+乘除法運算法則經歷二次根式的四則混合運算的嘗試計算，發現和歸納性質，體會到性質是根據運算的需要而產生的；能用代入的方法驗證運算規律，并能規定字母的范圍水平三

課時2：二次根式的性質2+二次根式化簡與計算優化

能通過性質的產生過程發現應用性質的時機；會用性質化簡二次根式；通過比較二次根式乘除法的運算方法，進一步明確算理算法，達到優化計算的目的水平三

課時3：二次根式的四則混合運算習題課類比整式的運算規律，熟練掌握二次根式的四則混合運算水平二

課時4：拓展資源：靈活運用整式變形化簡二次根式深化整式計算和二次根式計算的聯系，提升二次根式計算的熟練程度，整體建構體系水平二

2.4 核心素養的滲透

重構的單元教學更充分體現了數學知識的內在邏輯關系，更密切展現了學習內容和核心素養之間的關聯.通過課時重組，單元相關核心素養（見表3）目標找到了借力點和生長點，揭示其融入學習活動的具體方式和載體.整體教學使核心素養在單元中完整呈現，課時教學使核心素養培育在課時中充分彰顯.

3 單元重構之實施

限于篇幅，現主要對性質教學的實施過程的主要片段作如下闡述.

3.1 整體規劃，建設研究路徑——構建主線

問題1 前面已經學習了二次根式的概念（回顧復習），后面將要學習什么？

追問1：學習運算性質的作用是什么？

追問2：一些運算規律在新的式子中延續相同的運算規律，我們是否可以從“算算看”開始研究？

設計意圖：明確二次根式“概念—性質—運算—應用”的學習過程，但又異于該過程，引發挑戰欲望.

3.2 創設情境，明確運算對象——提出問題

真實情境包括實際生活情境、科學情境，或者已有的數學經驗等.教學實施中，基于數式的運算經驗創設如下問題情境.

問題2 你能嘗試計算下列算式嗎？

（1）25+5－2；

（2）（3－2）2；

（3）6－26；

（4）27－313+148.

追問1：說說你這樣算的想法？有什么依據嗎？

追問2：碰到了哪些新運算？你能歸歸類嗎？

追問3：對于這些新運算？你會作怎樣的猜想？

設計意圖：通過“算算看”，體驗計算規則的順承性，同時整理和歸納新運算（表4），聚焦研究對象，并做大膽的猜想歸納，激發學生自主思考.

運算類別二次根式加法二次根式平方一個平方數的算術平方根二次根式乘法二次根式除法能作為最后結果嗎

3.3 類比經驗，歸納運算規律——分析問題

問題3 你能將猜想的結論一般化嗎？

追問：這樣的猜想合理嗎？理由是什么？

設計意圖：此環節意在體現兩個伏筆.一是學生的猜想源自特例，不夠嚴謹，為性質修正埋下伏筆；二是調動學生的認知經驗，提取學過的計算方法，理解轉化計算的思想，為優化計算埋下伏筆.

學生猜想：（a）2=a，a2=a，a·b=ab，ab=ab.上述追問觸發學生的認知經驗，有互逆運算思想、有理數運算中先定號再算絕對值的轉化思想、異分母分數（式）相加減轉化為同分母分數（式）相加減的化歸思想等.值得關注的是，基于順勢而為的研究，二次根式乘除法則的產生先于性質2.

3.4 尋求方法，驗證運算規律——解決問題

問題4 你們會如何驗證這些運算規律呢？

追問：什么時候用呢？

設計意圖：讓學生經歷研究代數規律的基本方法，也可進行邏輯推理論證，讓不同的學生在思維上得到不同的發展.追問的目的是明確二次根式運算特征，確定“何時用”，知道“怎么用”.

學生賦值驗證（a）2=a時，需從a取正數、零、負數三個角度選取，體現完整性；修正后得到（a）2=a（a≥0）時追問——能用幾何圖形作出直觀解釋嗎，體現數形結合思想的直觀力；進一步引發其余三個猜想的字母取值，再次修正得到a2=|a|，體現思考的改進力；得到a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），體現了法則先于性質而出的合理性.

3.5 深化關聯，優化運算策略——建立體系

問題5 能否把13，8作為最后的運算結果？

追問1：你能化簡以下二次根式嗎？（書本練習）

追問2：聯系比較法則a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0）和ab=a·b（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），分別在什么條件下使用？

追問3：由此，如何探究二次根式的相關性質？

設計意圖：能逆用法則得到性質2.追問1的目的是通過練習，了解性質2的使用條件，體會二者的不同作用，感受性質產生的先機.

該問題繼續激發學生的復雜思維，“能化簡”的合理性基于分數、整式、分式計算中都有化簡情形，故新“式”亦可化簡；“怎么化簡”的關聯性推理基于a2=|a|，發現8=4×2，聯想逆用法則實現化簡，從而理解二次根式化簡的依據，以及該依據產生的先機；“什么時候化簡”的特征性總結基于一組小練習之后的歸納提煉.基于算理的理解，大部分同學作如下計算：32÷18=32÷18=12=23.對比文中一開始的過程，優化計算的價值不言而喻.

從“算算看”開始，到熟練利用法則系統解決二次根式運算，教師還要有意識地引導學生總結性質的使用步驟，提供操作流程，滲透程序意識達成計算程序化、系統化和自動化，真正把握算理，掌握算法，形成算力，綜合提升運算素養.

4 單元重構之價值

單元整體重構教學通過關聯主題單元之間的價值繼承，創設了素養培育的平臺；基于數學化情境的自主探究活動，搭建了素養培育的載體；通過整體教學優化單元知識結構，促進從基礎學習到系統思維的邁進，推進了深度學習，落實了核心素養培育.

4.1 關聯性的單元價值是實施素養培育的平臺

了解數學知識的產生和來源以及知識之間的關聯價值，對新知學習具有支撐性意義，是落實核心素養培育的契機.本文中深度挖掘相關主題單元的聯系，明確代數運算規則的承襲性，通過嘗試計算，基于分配律的沿襲，打通了二次根式混合運算的第一步，而后產生解決新問題的必然性，在教學重構時帶領學生深度體驗性質和法則是計算發展的內部需要，從而明確性質和法則的使用情境，理解運算方法和運算律的關系，體會學科本體的本質.

4.2 創生性的教學活動是實現素養培育的載體

核心素養是在長期的教學活動過程中逐步形成的.教師要能夠對學生的思維作細致研究，注重打通思維障礙點、發展思考力、激發創造力，以針對性的教學活動為載體實現深度學習，落實核心素養培育.

基于二次根式的章節研究老套路，設計讓學生“算一算”的活動走新路.整理遇到的新運算時，學生進行了頭腦風暴：有的發現二次根式運算可類比整式，有的猜想形如（3）2，32的運算結果，有的猜想3×2，26的運算規則，有的類比舊數（式）的化簡判斷8，13可化簡，有的推理論證自己的猜想，等等.面對新運算，學生思維經歷觀察和猜想、思考和表達、歸納和推理，凸顯了對問題的分析能力和解決能力，有助于形成規范化思考問題的品質.

4.3 結構化的整體教學是落實核心素養的通道

二次根式的單元整體教學重構注重在原有基礎上予以豐富和整合，教學設計時注重一般觀念的提煉和遷移，刻畫思維時注重從碎片知識到框架模型的轉變，促進深度學習，是實現素養培育的重要導向.學生基于計算需要，首先需要解決（a）2，a2，a·b，ab的化簡問題；基于結果的化簡需要解決ab，ab的變形問題.基于整體設計，在嘗試計算中感受性質的產生，在性質探究中了解運算本質，在感悟運算時確定運算順序，優化算法，運用了聯系的思維，呈現了發展的觀點，優化了整體的知識結構，從而在融合直觀與邏輯的活動中，發展學生的智慧，深度學習目標得以落地生根，真正提升學生的抽象能力、運算能力和推理能力.