思維可視化在初中幾何教學中的實踐與思考

丁永

摘要：新課標課程理念中明確提出實施促進學生發展的教學活動，體現學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.為了更好地落實這一理念，鼓勵學生大膽質疑，引導學生積極探索，展示自己的思維過程和思考成果，思維可視化的研究顯得具有十分重要的意義.本案例通過探索三角形全等的條件“邊邊角”的教學，展示思維可視化在學生進行探索學習過程中的作用和價值.

關鍵詞：思維可視化；三角形全等；邊邊角

1 思維可視化

隨著教育教學的不斷進步，思維可視化研究在教學中的研究越來越有價值.尤其對于初中數學的學習，怎樣將抽象的數學形象地體現出來，將思維可視化便具有非常重要的意義，不僅能夠提升學生學習數學的興趣，還能調動學生學習數學的積極性.基于這樣的教學目的，本文中以探索三角形全等的條件“邊邊角”為例對數學思維的可視化進行分析，并采取合理的方法提高學生分析問題和解決問題的能力.

關于三角形全等的證明，多少年來有許多教師都進行過各種嘗試，課堂教學在向更深更遠更廣處推進，課堂教學更加追求完善，更加貼近學情.本節課基于學生已有的基本活動經驗，從學生的最近發展區出發，通過探究活動將思維可視化，促使學生參與其中，提升分析問題和解決問題的能力.

2 教學過程

2.1 復習回顧

在探索三角形全等的條件時，經過探索發現需要三個條件才能證明兩個三角形全等.通過問答的方式復習回顧，具體研究內容如圖1.

三個元素三條邊：SSS √兩邊一角SAS √SSA ？一邊兩角ASA √AAS √三個角：AAA ×

眾所周知，對于“SSA”能否判斷兩個三角形全等并未進行研究，結果到底如何？通過一個設問，順理成章地引出本節的研究主題.

2.2 活動探索

滿足“兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形”是否全等？即在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，那么△ABC≌△DEF嗎？此時學生的觀點出現了分歧，于是教師拋出問題：“如果覺得可以判定全等，請予以證明；若不可以判定全等，請畫出反例.”

生1：可以對∠B進行分類討論，當它是直角時，那么這兩個三角形都是直角三角形，此時就可以用“HL”直接證明兩個三角形全等.

生2：當∠B為鈍角或銳角時不一定全等.

生3：當∠B為鈍角應該也可以全等.

隨即讓學生探索∠B為鈍角時，若可以判定全等，請予以證明；若不可以判定全等，請畫出反例.將課堂還給學生，留足時間讓學生探索.

教師在巡視中發現有的學生束手無策，有的學生在作輔助線，此時教師給學生的探索按下“暫停鍵”，投屏展示了一名學生畫的圖及輔助線的作法，并追問這名學生為什么要這樣畫輔助線（如圖2）.

生4：因為直可以用“HL”直接證明兩個直角三角形全等，所以我想能不能把鈍角三角形轉化為直角三角形，從而進一步解決問題.

這個過程已經將思維可視化，具體包括兩個方面：一是讓學生將自己的想法說出來，通過“說”來“可視化”；二是把學生的思考方式和思考過程投屏展示出來，把抽象的思維通過“畫”來“可視化”.

教師在巡視中發現，有學生利用輔助線可以證明出△AMB≌△DNE，但是卻無法繼續，探索再一次停止.此時教師的主導性再次體現出來.

追問學生“欲證明△ABC≌△DEF，還缺什么條件？△AMB≌△DNE對證明有何幫助？”此處激發學生去思考由“已知”到“可知”、由“可知”到“未知”中間還缺什么條件.教師在教學過程中起到“穿針引線”的作用，將探索的權利交給學生.

生5：要證明△ABC≌△DEF還缺一個角，因為“SSA”不能證明兩個三角形全等，所以接下來要考慮怎樣可以再得到這兩個三角形有一對角相等，那樣就可以利用“ASA”或者“AAS”來證明△ABC≌△DEF.

生6：通過證明△AMB≌△DNE可得到AM=DN，然后結合已知條件AC＝DF，從而可以利用“HL”證明Rt△AMC≌Rt△DNF，于是得到∠C＝∠F，如此便提供了一對相等的角，進而可以利用“AAS”來證明△ABC≌△DEF.

教師讓學生把完整的證明過程寫出來，并投屏展示，此時通過“寫”將學生的思維“可視化”.

師：接下來你準備如何繼續研究？

生7：接下來考慮∠B為銳角的情況.

師：若可以判定全等，請予以證明；若不可以判定全等，請畫出反例.讓思維可視化繼續發生.

生8：我認為可以，模仿剛才證明鈍角三角形全等的方法即可證明.

投屏展示生8的圖形（圖3），并請他簡述證明過程.

先利用“AAS”證明△AMB≌△DNE，從而得到AM=DN，再結合已知條件AC＝DF，利用“HL”證明Rt△AMC≌Rt△DNF，于是得到∠C＝∠F，如此便提供了一對相等的角，最后可以利用“AAS”來證明△ABC≌△DEF.

生9：我認為不可以，能畫出反例，如圖4.

師：這到底是為什么？請觀察、思考為何會出現這種現象.

將思維可視化向更深更遠處走去，繼續挖掘學生的思維潛力，激發學生研究的內在動力.

生10：通過圖形可以看出，當ABAC時，則可以畫出兩個圖形，此時它們不全等.

生11：當AB=AC時，可以畫出兩個圖形全等.

師：你們總結得非常好.根據題目已經條件“兩邊一角”，我們先對“一角”進行分類，一個角可以是銳角、直角、鈍角；接著我們順理成章地對這兩條邊進行分類，即ABAC.（如圖5）

∠B鈍角√直角√

銳角AB＜AC√

AB=AC√

AB＜AC×

師：綜上，利用“SSA”不能判定兩個三角形全等.

3 教學思考

蘇聯數學教育家斯托利亞爾曾說：“數學教學是數學思維活動的教學.”新課標也明確指出，數學教學不僅要教給學生數學知識，而且要提示獲取知識的思維過程，提出“發展思維能力是培養能力的核心”［1］.在問題的引導下，學生親身經歷，體驗探索方法，經歷數學思維的過程，體會“實踐出真知”.

3.1 提升思維能力，培養思辨意識

學生在交流展示中，體會到思維碰撞帶來的靈感，也會發現自己的能力遠超過自己的想象.這樣在思考的過程中增強了學生學習數學的動力與自信心，喚醒了學生的參與意識，激發了學生的思辨意識與創新意識.

3.2 展示思維過程，交流思想方法

通過說、寫、畫、操作、討論、實驗等不同方式，將學生的思維過程全方位“可視化”展示出來.可視化之后，教師便可根據學生的最近發展區設計下一個環節，提出下一個問題，讓課堂充滿張力，讓互動與生成相得益彰.

3.3 完善知識系統，提高教學能力

通過本節課內容的學習和研究，探索三角形全等的過程會更加完整，學生的知識結構也更加系統.教師在備課的過程中不能過多地停留在研究教材上，還要去研究如何設計問題、如何將學生的思維可視化、如何讓學生自主進行學習探究，讓學生成為學習的主體.在備課時多去研究教師如何成為教學的主導者，如何激發學生內驅力，如何調動學生積極性，如何讓學生思維可視化，讓學生始終是課堂的主體.

參考文獻：

［1］李軍.發展學生數學思維能力的路徑探析［J］.中學數學教學參考，2021（35）：63-66.