巧借現實情境促進自主探究

鐘清華

周知，數學源于生活，是對現實世界的抽象.教學中，教師不要一味地將知識講授給學生，應該提供機會讓學生參與知識的抽象過程，以此讓學生全面、深刻地理解知識.那么，若想通過引導讓學生經歷數學抽象的過程，教師應結合教學實際創設符合學生已有經驗的現實情境，這樣既能激發學生的主體性，又能提高學生的探究欲，從而引導學生主動探究.在教學“圓”的第一課時，筆者從學生已有經驗出發，結合教學內容設計現實情境，讓學生在現實情境中主動思考、主動交流、主動探究，以此促進教學目標的達成.

1 內容分析

圓對于初中生來講并不陌生，在小學階段就接觸過圓，并能用圓規畫圓.另外，學生對圓有著豐富的感知，這為研究圓提供了便利.本課教學中，教師通過引導學生觀察圓、畫圓，抽象概括圓的描述性定義；在此基礎上，引導學生探究點與圓的位置關系，從而形成圓的集合性定義.同時，教師引導學生應用點與圓的位置關系解決簡單的問題，培養學生的數形結合意識.在本課教學中，教師要創造機會引導學生參與其中，以此提高學生學習的主動性，激發學生的探究欲，從而為接下來扇形、弦、弧、對稱圖形等相關知識的學習打下堅實的基礎.

2 教學設計

2.1 知識引入

問題1 如圖1，學生站成一橫排玩“套圈”游戲，這樣的站，對所有人公平嗎？為什么？

設計意圖：“套圈”游戲是學生比較熟悉且比較感興趣的游戲，通過對“公平”的探索激發學生的探究欲.同時，現實生活情境的引入，能讓學生充分感知生活中無處不數學，提升學生數學學習的主動性.

2.2 形成定義

問題2 你在圖2中能夠找到幾個圓？你能用棉線和橡皮筋畫圓嗎？

師生活動：在畫圓的過程中，教師可以讓學生合作完成，并引導學生在做中提煉方法，從而為形成圓的描述性定義作鋪墊.

設計意圖：借助生活實例將數學圖形與現實生活建立聯系，讓學生直觀地感知圓，從而為動手操作做準備.在畫圓過程中，教師既提供機會讓學生動手做，又鼓勵學生進行歸納總結，由此在動手操作中歸納總結圓的兩個要素，即定點和定長，這樣圓的描述性定義呼之欲出.

問題3 如圖3，你能根據畫圓的過程給圓下定義嗎？

教師利用幾何畫板動畫演示，讓學生進一步體驗畫圓的過程，形成圓的描述性定義.

問題4 如圖4，墨子在《墨經》中曾經提到“一中同長”，你是如何理解的呢？

設計意圖：通過前面的觀察與操作，學生提煉畫圓的兩個基本元素，接下來教師進一步動畫演示畫圓的過程，讓學生給圓下定義，以此鍛煉學生的數學表達能力，提升學生的數學抽象素養.另外，通過數學文化的滲透，培養學生的數學情感，增強數學學習信心.

2.3 探索點與圓的位置關系

問題5 如圖5所示，某校鉛球記錄是12 m，某運動員想要挑戰記錄，你知道鉛球的落點和記錄線有幾種位置關系嗎？什么情況下可以判定挑戰成功呢？

追問1：平面內的圓把該平面分成了幾部分？

追問2：若平面內的點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，結合可能出現的結果，你有什么發現？

設計意圖：教學中，教師沒有直接給出點與圓的位置關系，放手讓學生去辨析，而且以現實情境為切入點，將問題置于現實的情境中，引導學生自主探究、自主歸納，從而根據落點和記錄線的位置關系抽象出點與圓的位置關系.

在學生用文字表述點與圓的位置關系后，教師通過追問啟發學生將文字語言轉化為符號語言，由此歸納點到圓心的距離為d和圓的半徑為r的數量關系——點P在圓內dr.這個符號化的過程，能讓學生充分感知數學語言的抽象美、簡潔美.

2.4 知識應用

問題6 回歸課初的問題，如何設計套圈游戲可以確保游戲的公平呢？請大家先在紙上畫一畫，然后與同桌說一說，給出你的設計理由.

問題7 已知圓O的直徑為8 cm，請根據如下條件判斷點P與圓的位置關系：

（1）若PO=4.5 cm，則點P在______；

（2）若PO=3 cm，則點P在______；

（3）若PO=______，則點P在圓上.

問題8 圓上各點都滿足什么特點？圓內各點都滿足什么特點？圓外的點呢？（教師動畫演示點由疏到密，最后集合成圓的過程.）

設計意圖：在應用環節，教師引導學生回到課初的問題，繼續探究“公平”.學生根據本課所學，視套圈物為圓心，一定的距離為半徑畫圓，以此確保“公平”.這樣與課初情境遙相呼應，讓學生充分感知數學知識的應用價值.對于問題7，學生可以通過剛剛的探究結果直接解決問題，這樣通過“用”進一步強化學生對點到圓心的距離為d和圓的半徑為r的數量關系的理解.教師設計問題8，并進行動畫演示，其目的是引導學生經歷由具體到抽象的過程，形成圓的集合性定義.這樣圓的集合性定義形成后，其圓內和圓外的集合性定義自然也就形成了.

2.5 交流探究

問題9 如圖6，已知點P，Q，且PQ=4 cm.

（1）畫出符合下列條件的圖形：到點P的距離為2 cm的點的集合；到點Q的距離為3 cm的點的集合.

（2）所畫圖中是否存在這樣的點，滿足到點P的距離為2 cm且到點Q的距離為3 cm？如果存在，請在圖中表示出來.

（3）所畫圖中是否存在這樣的點，滿足到點P的距離小于或等于2 cm且到點Q的距離大于或等于3 cm？如果存在，請在圖中表示出來.

設計意圖：教師預留充足的時間讓學生動手畫、用眼看、用心想、用嘴說，以此通過交流探究讓學生學會用數量關系刻畫位置關系.在此環節，教師引導學生用集合的觀點理解圖形，體會交集法在解決問題中的重要價值，培養學生數形結合意識.在此過程中，教師不急于呈現結論，而是預留時間讓學生主動思考、交流、感悟，以此在深化知識理解的同時，提高學生自主探究能力.同時，讓學生通過交流探究充分體會交集法在現實生活的指導意義，以此感悟數學源于生活，并應用于生活的本質，幫助學生樹立正確的學習觀，增強學生數學學習的信心.

2.6 課堂小結

問題10 本節課主要學習了哪些與圓相關的知識？你有何心得體會？

設計意圖：預留時間讓學生回頭看，對本課內容進行歸納總結，以此實現新知的鞏固與強化，促進學生數學核心素養的培育.

3 思考感悟

周知，數學源于生活并應用于生活.為了讓學生更好地理解數學，教師應將知識融于現實情境中，引導學生探尋數學知識的本源，學會用數學的眼光觀察世界.在本課教學中，教師用“套圈游戲”這一場景拉開了探究新知的序幕.對“是否公平”這一問題的探索，讓學生發現若站成一條直線有悖“公平”，那么為了追求“公平”，學生快速地進入學習狀態，提高了學生探索知識的主動性.另外通過畫圓實驗，圓的本質屬性凸顯，從而使得圓的定義的抽象變得更容易.在探索點與圓的位置關系時，以投擲鉛球這一情境為研究背景，將數學知識巧妙地融入現實情境中，使知識的形成變得更加輕松愉悅.現實情境的創設，有效地激發了學生的探究欲，形成了學習的內驅力，使“學”變得更加積極、主動.同時，情境的創設，將數學與生活建立聯系，使抽象的知識變得直觀，更易于學生理解和掌握，提高了課堂教學的有效性.

同時，本課教學中，教師重視數學思想方法的滲透，如探究圓的定義時運用了抽象、概括、歸納等數學方法，在探索點和圓的位置關系時，運用數形結合、特殊到一般等數學思想.這樣以數學思想方法為指導，有利于提高學生的自主探究能力及數學素養.

總之，在數學教學中，教師要充分發揮現實情境的紐帶作用，從而使抽象知識生動起來，以此降低知識理解的難度，提升學生的參與度，提升教學品質.