把握本質 精心設計 發展素養

錢馮良

數學本質，就是數學本身的根本屬性.如何在教學中凸顯數學本質，如何把握數學本質來設計教學都是值得我們深思的問題.筆者認為，數學本質藏匿于知識形成和問題解決過程的數學思想和數學精神之中，是學科育人應體現的理性精神.那么，教師該如何切實理解和把握數學本質，精心設計教學過程來發展學生數學核心素養，彰顯數學的理性精神呢？筆者在“二次函數”的單元復習教學中進行了嘗試，與同行交流.

1 教學過程

1.1 環節1：以預學促感知

自主學習單：

（1）通過觀看微課視頻回顧二次函數的相關內容——概念、圖象及性質.

（2）表1是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分對應值.

①試著畫出該二次函數的圖象，并求出其解析式.

②進一步觀察圖象，有何收獲？

③試著闡述二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質.

（3）預學課本內容，試著提煉二次函數的知識框架.

1.2 環節2：以交流促內化

探究活動：自主匯報和交流課前學習成果，并延伸思考.

交流1：你能用多少種方法求二次函數解析式？

交流2：觀察課件呈現的拋物線y=－x2－2x+3（如圖1），提煉結論.

交流3：嘗試通過思維導圖歸納二次函數的圖象及性質.

交流4：如圖2，同一坐標系中的拋物線y1和坐標軸分別相交于點A，B和C，且A，C在直線y2上，根據函數圖象分別求出使得y1=y2，y1y2的x值；思考二次函數和一元二次方程、一元二次不等式間是否存在某種聯系？

1.3 環節3：以探究揭本質

問題1 如圖1，將拋物線向下平移1個單位長度后再向右平移2個單位長度，你能寫出相應的解析式嗎？

師生活動：以“幾何畫板”呈現平移的全程，使學生從視覺上感知頂點位置的改變，從而很快寫出平移后的解析式，并切實明晰平移的本質.

問題2 試著分別求出圖1中拋物線關于y軸和x軸對稱的圖象所對應的函數解析式.

師生活動：首先探索關于y軸對稱，在教師的點撥和啟發下，學生很快畫出如圖3所示的草圖，并分析變換后的頂點坐標.由于拋物線開口大小和方向均未變化，僅僅是位置上的變化，因此a值相同，頂點坐標變為（1，4），繼而根據頂點式得出函數解析式y=－（x－1）2+4.進一步探索關于x軸對稱，同樣畫出如圖4所示的草圖，并分析變換后的頂點坐標.由于拋物線形狀不變而開口方向與位置均發生了變化，因此a值互為相反數，頂點坐標變為（－1，－4），繼而根據頂點式得出函數解析式y=（x+1）2－4.當然，此處的探索中，也有思維敏捷的學生能從兩個拋物線與x軸的交點不變著手，基于交點式直接寫出拋物線的解析式y=（x+3）（x－1）.

1.4 環節4：以合作助領悟

問題3 如圖5，已知拋物線y=－（x+1）2+4交坐標軸于點A，B和C，頂點為D，請判斷△ACD的形狀，并以小組為單位相互說一說理由.

學生活動：從條件出發很容易得到A，B和C三點的坐標，即A（－3，0），B（1，0）和C（0，3），據此得到AC=32，AD=25，CD=2，則AC2+CD2=AD2，進而判斷△ACD是直角三角形.

問題4 如圖6，已知拋物線

y=－（x+1）2+4的對稱軸上有一點P，

使得△BCP周長最小，你能求出點P的坐標嗎？

學生活動：溝通“將軍飲馬”問題模型.想要△BCP的周長最小，也就是（BP+PC）最短，因此P應為直線AC和對稱軸x=－1的交點，求得△BCP的周長的最小值是AC+BC=32+10.

問題5 試問在拋物線y=－（x+1）2+4上存在一點M，使得S△ABM=S△ABC嗎？若存在，求點M坐標；若不存在，闡明原因.

學生活動：若使得S△ABM=S△ABC，可以從“同底等高”思路引領學生作出圖7，即直線y=3和y=－3，從而得出所求的點M，進一步解方程－x2－2x+3=3，－x2－2x+3=－3，即可求得點M的坐標是（－2，3），（－1+7，－3）及（－1－7，－3）.

1.5 環節5：以拓展促思維

問題6 如圖8，已知拋物線y=－x2－2x+3，將其平移后使得頂點落在直線AC上，其中A（-3，0），C（0，3），你能求出平移后的拋物線與y軸交點的縱坐標的最大值嗎？

學生活動：通過待定系數法不難求出直線AC的解析式為y=x+3，進一步得出以下兩種解決方法.

方法一：設平移后的解析式為y=－x2+px+q，由于頂點（p2，p24+q）在y=x+3上，則有p2+3=p24+q，從而有q=－14（p－1）2+134.所以，當p=1時，該拋物線和y軸交點縱坐標的最大值是134.

方法二：設平移后的解析式為y=－（x－h）2+k，由于頂點（h，k）在y=x+3上，從而有k=h+3.令x=0，可得－h2+k=－h2+h+3=－h－122+134.所以，當h=12時，該拋物線和y軸交點縱坐標的最大值是134.

1.6 環節6：以歸納促構建

問題7 你覺得研究函數的一般方法是什么？

問題8 在研究函數的過程中體現的數學思想方法有哪些？

2 教學啟示

2.1 厘清知識來龍去脈，促進本質把握

數學知識擁有發生和發展的經歷，倘若教師在教學前對知識本身有一個系統而深刻的理解，則可以充分挖掘其背后的本質，就能將數學知識完美呈現，從而引領學生無痕構建知識網絡.本節復習課的教學，教師課前作足功課，通過反復推敲和嘗試設計出高立意的教學過程，讓學生基于導學案自主學習，基于探究活動和問題深度思考、探究和合作，完成知識結構的建立和認知結構的完善，從而使數學復習更深入、更高效.

2.2 無痕滲透數學思想，實現高效建構

傳統教學中，學生一味模仿教師解題，整個學習過程看似流暢，學生仿佛“學會”，實則并未真正理解問題本質及其中蘊含的數學思想.教學中如何無痕滲透數學思想，促進學生的高效構建呢？倘若我們能從知識的最近發展區設計匹配的問題，則可以培養學生深邃的數學思維，促使學生理解并掌握蘊含其中的數學思想方法.在本課教學中，教師用思想方法厚實了數學本質的底蘊，通過數形結合思想的反復滲透，使得學生將二次函數的相關知識融入原有知識體系中，并在整合和重組中形成了新的知識網絡，促進知識的自然遷移.

2.3 凸顯學生主體地位，發展數學素養

凸顯學生主體地位的課堂，往往是通過內涵豐富的“高層次”問題，引導學生經歷一個個深刻而完美的問題解決過程，無痕發展數學素養.本課中，教師在學生的最近發展區巧妙設問，并為學生營造自主探究和合作學習的平臺，使學生在個性化學習中形成知識體系，發展數學素養.

總之，教師只有厘清知識的來龍去脈，無痕滲透數學思想，凸顯學生主體地位，真正把握數學本質，才能在教學過程中彰顯知識的育人價值，激發學生深度探究的興趣和意識，實現高效建構，發展數學素養.