借“目標”?依“探究”?勤“反思”

曹燕萍

摘要：“學生深度學習”指的是學生通過積極主動的學習、探索、反思和創造，對問題進行深層次理解以及對新知識的構建和遷移，培養高階思維的學習狀態和過程.“深度學習”讓學生的學習不僅僅停留在機械的記憶、簡單的模仿水平，更關注學生主動獲取知識的過程，注重學習能力的培養，重視知識的應用，提升學生的思維水平.本文中從教學目標、實驗探究、反思創新三個方面論述了促進學生深度學習的基本策略.從問題中生長思維，從探究中生長學力，從反思中生長能力.

關鍵詞：教學目標；實驗探究；反思創新

數學核心素養是以數學課程教學為載體，基于數學學科的知識技能而形成的重要的思維品質和關鍵能力.《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出數學教學中應特別重視核心素養.數學核心素養及其培養策略已成為許多數學教師的研究對象與實踐內容.如何讓數學核心素養的培養落到實處呢？雖然答案并不唯一，但促進深度學習無疑是一種有效的途徑.

“教學中的深度學習，是基于理解、獲取高級認知技能的一種學習方式，它以發展高階思維與解決實際問題為學習目標，經過科學合理的知識整合，發展學生的批判性思維與創新能力，從而將知識轉化為能力，進而將能力內化為素養”［1］.本文中針對新課程標準要求，試圖從教學目標、實驗探究、反思創新三個方面，論述促進學生深度學習的基本策略.

1 教學目標——指導深度學習

教學目標是教師根據自己對教學內容的理解，預設最終達成的教學效果.教學目標是整堂課甚至是整單元學習的靈魂，它是整堂課的起點，也是終點.深度學習更要求教師明確教學的著重點，目標指向哪個知識點有利于學生思維的培養，相應的知識點也是深度學習的落腳點.教學目標明確了，課堂教學就有了方向，深度學習的目標更具體，更有利于學生數學思維的培養、數學能力的提高和數學素養的養成.

1.1 前瞻性——引導與調整學生深度學習的方向

教學目標的設定一定要具有前瞻性，了解新授知識的作用，知道它們對后續學習的影響以及前后知識間的聯系，才能更準確地把握教學難度，進行適當的補充與拓展.前瞻性的教學目標，有利于學生從低階思維向高階思維的發展，有利于學生對知識、經驗的主動建構，使得深度學習水到渠成，實現從淺層次學習到深度學習的無障礙過渡.

案例1 七下“2.1二元一次方程”教學目標：

（1）了解二元一次方程的概念.

（2）了解二元一次方程解的概念、不唯一性.

（3）會將二元一次方程變形成用關于一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式.

這節課主要介紹二元一次方程的概念，了解二元一次方程解的不唯一性，之后要學習二元一次方程組的解法及應用，解方程組用到的代入法就來源于這節課的內容，課本（浙教版，以下同）以例題中的一個小問題加以體現.教學目標的設定就要關注到這個問題，要求學生會將一個二元一次方程變形成用關于一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，為后續學習掃清障礙.在教學目標的指導下，揭示其實質就是解一個含有字母系數的方程，達到數學學習從表象滲透到本質的目標.

1.2 關聯性——促進學生知識的系統化

“深度學習的信息儲存狀態應該是結構化、體系化的，這樣才能熟練運用類比、轉化、建模等數學思想實現知識的遷移以解決問題”［2］.教學目標也要體現出這種聯系，使得數學學習不再支離破碎，讓數學知識成為一個完整的體系，各知識點之間相互補充，相互促進，相互轉化.

案例2 九上“1.3二次函數的性質”教學目標：

（1）從具體的函數圖象認識函數的性質.

（2）了解二次函數與二次方程的相互聯系.

（3）探索二次函數的變化規律，掌握函數的最值及函數的增減性的概念，會求二次函數的最值.

這節課起著承上啟下的作用，教學目標注意到二次函數與二次方程、生活問題之間的聯系.通過前面的學習學生對二次函數的圖象已經有了初步的認識，但還停留在感官的淺層學習階段，這節課主要引導學生進一步觀察圖象，歸納圖象的特點，總結出二次函數的性質，同時搭建二次函數與二次方程的橋梁，實現二次函數與二次方程的相互轉化.學習二次函數的目的是為生活服務，生活中很多利益最大化問題的解決都要用到二次函數.

1.3 層次性——促進學生深度思維的形成

我們常說的教學目標基本上是針對某節課的課堂教學目標.每堂課都有共同的“三維目標”——知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀.具體來說，數學課程目標又分為知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面.“要想真正進行深度學習，還要把教學目標細化，做到層次分明，可操作性更強”［3］.抓住課標中刻畫知識、技能的目標動詞“了解（認識）、理解、掌握、靈活運用”，刻畫數學活動水平的過程性的目標動詞“經歷（感受）、體驗、探索”.“探索”一般是深度學習的起點，是學生主動探究新知的過程，讓學生在活動中獲取新的活動經驗與知識.“了解、理解、掌握、靈活運用”是對知識的不同層次的目標，“靈活運用”則要求學生在理解的基礎上逐漸完善思維體系，并能夠遷移應用到相應情境中.教學目標的層次性既要包括技能要求的層次，又要包括操作方法的層次性，讓重難點更加突出，讓深度學習更加具有可操作性.

2 實驗探究——促進深度學習

2.1 舊知的激活與修正

著名的教學改革專家Eric Jensen和LeAnn Nickelsen提出：“每一名學生在踏上學習之旅時都有著各自不同的圖式或背景知識.”數學學習的過程是學生數學知識經驗和認知結構不斷組織、不斷修正的過程.由于學生的知識或能力的原因有些知識儲備可能存在偏差或疏漏，或者因為知識范圍的擴展使得以前正確的結論現在出現了錯誤，都需要教師及時引導學生修正，并弄清楚產生錯誤的原因以及與新知之間的聯系，為新知的學習做好鋪墊，為深度學習打好基礎.

案例3 計算：（－52）3－（－53）2.

這是一道考查冪的乘方的問題，在此之前學生已經學習過冪的意義，知道“負數的偶次方是正數，負數的奇次方是負數”這個規律，這些經驗為解決此題打下了基礎，但在解決問題的過程中以前較少關注的底數卻成了這道題的難點，因為題中含有多個底數，學生只關注到最外層的指數，所以很多同學把－52和－53中代表相反數的“-”當成了底數的符號，底數5也跟著錯以為是-5.教師要利用這個機會及時修正補漏，重新引導學生認識冪的意義，特別是出現負號時底數的確定方法，提高學生的數學運算能力.

2.2 新知的建構與應用

深度學習關注學生主動獲取知識的過程，注重學習能力的培養，重視知識的應用，讓學生體驗學習的價值.深度學習是在聯系的基礎上完成新知的建構.在問題的引導下讓學生經歷實驗、分析、規劃、選擇等過程，體驗分析問題、解決問題

的過程，這樣才能徹底地了解知識的來龍去脈，知道知識的價值，做有意義的數學，促進知識經驗的積累.

案例4 如圖1，直線l表示草原上的一條河流，一騎馬少年從A地出發，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中.他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？請作出這條最短路線.

在解決這個問題之前學生已經學習了兩點之間線段最短，接觸過兩點在直線兩側求距離和的最短問題，所以很多學生首先想到的是直接連接A，B兩點，然后發現所連路線并不經過直線l，那么這個問題能不能轉化為A，B兩點在直線兩側的情況呢？

這樣利用學生已有的知識經驗，通過作圖在聯系的基礎上實現了新知的建構，

把新舊知識融合到同一個問題中，進一步明確了兩點在直線同側距離和的最小值的求法（如圖2）.

2.3 知識的深度加工

數學學習不是單純的模仿，更不是死記硬背.這種淺層次的學習，學生學得辛苦，老師教得更辛苦，表面上他們懂了，問題環境一變學生又一片茫然.“深度學習關注知識之間的聯系，關注知識的內涵與外延，關注學生思維的進步”［4］.教學中教師必須創造機會誘發學生主動聯系，對教學內容進行創造性的再加工，通過變式與拓展對知識進行深加工，去偽存真.緊扣變中有不變的辯證思想，逐步抓住問題本質和規律，融會貫通，最終使得學生的數學體系不斷完善，高階思維能力不斷提升.

案例5 已知兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）在反比例函數y=4x的圖象上，當x1＞x2時，比較y1，y2的大小.

變式1 當x1＞x2＞0時，比較y1，y2的大小.

變式2 當0＞x1＞x2時，比較y1，y2的大小.

變式3 當x1＞0＞x2時，比較y1，y2的大小.

很多學生容易利用反比例函數的增減性得出“反比例函數y=kx中，當k＞0時，y隨x的增大而減小”，因此由x1＞x2，得y1＜y2.判斷錯誤的原因是對反比例函數的增減性的“每一個象限內”這幾個字理解不到位，三個變式把原題進行了分解，也代表了這類題幾種不同的考查方式，通過三個變式引領學生全面掌握反比例函數增減性的內涵.

2.4 知識的內化遷移

內化遷移是培養學生數學抽象能力與數學建模能力的有效手段.所謂內化，就是把新知識與舊知識整合到一個符合邏輯的知識系統中去，舊知識是新知識的基礎，新知識是舊知識的擴展與補充.遷移是把熟悉的解題方案應用到新的情境中.深度學習的最終目標是運用知識解決新情境中的問題.要做到知識的遷移，必須先內化知識，在增加新知識的同時對舊知識進行革新，找到新舊知識的連接點與增長點，使之成為一體，相互促進，融為一體，這樣才能有效遷移，提高學生的解題能力，提升深度學習的品質.

案例6 一次招聘會上，A，B兩公司都在招聘銷售人員.A公司給出的工資待遇是：每月1 000元基本工資，另加銷售額的2%作為獎金.B公司給出的工資待遇是：每月600元基本工資，另加銷售額的4%作為獎金.如果你去應聘，那么你將怎樣選擇？

這是屬于一次函數的應用問題，銷售額是自變量，工資待遇是因變量，列出函數解析式，比較函數大小的問題.

把生活問題抽象成數學問題，既提高了學生的數學抽象能力，也體現了數學知識之間的聯系與數學的價值.

3 反思創新——引領深度學習

為了讓學生的思維有一定的深度，能夠舉一反三，在減少重復練習的同時還能夠觸類旁通，反思是最有效的解決方案，是推動數學邏輯推理的動力，它使得一個個片段的思維成為一個完整的體系，使得推理過程更加嚴謹有序.反思可以是解題規律的總結，也可以是錯誤原因的剖析，還可以是正確思維的整理.反思是數學學習的動力，它能使學生總結得失、積累經驗，從而抓住數學思維的內在本質，提煉出解決一類問題的系統方案，是促進思維進步的有效手段.

3.1 錯誤形成處反思

由于學生知識水平的限制、理解能力的欠缺、閱讀題目的疏忽、計算錯誤的產生都會使得問題的解決遇到障礙.只有從根本上認識到錯誤形成的原因，才能避免相同錯誤的再次出現.在錯誤形成處反思，首先可以徹底改正錯誤，其次可以加強對錯誤根源的認識，從而加深印象，再遇到類似問題時記憶中就多了一道屏障，降低錯誤再犯的可能性.

案例7 已知關天x的方程2x+ax－1=1的解是正數，求a的取值范圍.

錯解：因為2x+ax－1=1的解是正數，所以a<－1.

反思：本題從解是正數這個顯性條件出發，先求解，再滿足解是正數，從而求出a的范圍.忽略了分式有意義分母不為零這個隱形條件.

分式問題的解決都要建立在分式有意義的基礎上，即分式的分母不能為零，在解決分式問題時，一定要關注分母的這個限制條件帶來的影響.

3.2 思維形成處反思

數學思維是核心素養的重要組成部分.在思維的形成處反思是在學生經歷了辨析、糾錯、歸納、概括，思維重建之后的總結與提煉，是知識固化的重要手段，是新知識有效納入數學體系的重要方法.在反思中要多問“為什么、是什么、怎么樣”，多思考、多歸納，知其然，知其所以然.掌握了題目成立的條件、解題中的易錯點、解題的基本策略，學生就不僅掌握了知識，而且積累了解決問題的有效方法，并為他們的終身學習打下厚實的基礎.

案例8 已知：a+b=4，ab=52，求a2+b2的值.

分析：利用a2+b2=（a+b）2－2ab求解.

反思：在已知兩數的和（差），以及這兩數積的前提下，求兩數的平方和可以轉化為完全平方式解決，因為完全平方式的展開式中含有兩數的平方和.兩數的和（差）、兩數的平方和、兩數積中，已知其中兩個條件都可以求第三個.

3.3 思維增長處創新

思維增長處是問題解決中最重要的部分，是深度學習的重中之重.為了進一步加強學生對某知識點的理解，可指導學生在保持原題本質不變的前提下，將問題拓展、創新.不斷變換條件或結論或圖形或形式，將一個靜態的問題從不同角度出發變成一個動態的問題，突出通性通法，力爭做一題，通一類，會一片.同一道題也可以讓學生嘗試從不同角度思考問題，一題多解，拓寬思路，使學生的思維“動”起來，所學知識“活”起來.緊扣變中有不變的辯證思想，逐步抓住問題本質和規律，融會貫通.

案例9 已知y1=2x，y2=8x，如圖3，利用圖象求y1>y2時自變量x的取值范圍.

函數問題中，在滿足函數值大小關系的條件下求自變量的取值范圍是經常考查的問題，最好的解決方案是利用圖象.為了從根本上掌握圖象法在這類問題中的應用，可以利用這道題進行深層次的變式，可以是教師變式學生解決，也可以是學生自己變式自己解決.

變式 （1）已知y1=2x，y2=8x，利用圖象求y1≤y2時自變量x的取值范圍.

（2）求2x－8x<0時x的取值范圍.

反思：通過變式，一方面幫助學生掌握利用函數圖象比較函數值的大小，另一方面向學生滲透圖象法，讓學生體驗圖象的直觀性和圖象法的妙處，把圖象法應用到類似問題的解決中，掌握這類問題的本質.

“深度學習”，就是遵循學生的認知規律，加深對數學知識的理解，認識問題的本質，提高對數學的認識，培養深度的思維，提高學生的抽象、邏輯、建模能力，從而提高學生的數學素養.借用教學目標的載體、實驗探究的方式、反思創新的方向，從問題中生長思維，從探究中生長學力，從反思中生長能力.

參考文獻：

［1］龔娣梅，張志堅.耕耘于學生講題收獲在深度追問［J］.中學數學教學參考（中旬），2014（4）：23-26.

［2］黃玉華.基于核心素養的教學實踐與思考［J］.中學數學教學參考，2017（8）：2-6.

［3］周建勛.促進學生“深度學習”的理論探索與實踐［J］.中學數學教學參考，2017（35）：26-28.

［4］孫學東.深入淺出：深入教學的應有之義［J］.中學數學教學參考，2017（Z2）：33-36.