例析初中數學代數推理的類型及教學啟示

何勇

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出“增加代數推理，加強幾何直觀”的主張，體現了通過幾何建立直觀、通過代數予以表達的現代數學的基本特征.2023年全國各地數學中考試題對代數推理的考查全面而充分，厘清代數推理的不同類型，對日常教學具有較強的指導意義.代數推理的類型大致分為代數運算型、結構轉化型、代數說理型三種.

關鍵詞：代數推理；代數運算；結構轉化；代數說理

1 代數推理的含義

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022版）》）指出“要關注基于代數的邏輯推理；能在比較復雜的情境中，提升學生發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及有邏輯地表達與交流的能力”［1］.代數推理側重數與代數的運算和變形、數量關系、代數模型（方程、不等式、函數等），比較抽象.它是從條件出發，根據代數定義、代數公式、運算法則和運算律進行的運算，指向特定的目標結構（或關系）的代數變形與轉化或進行的一種證明（說理），符合一般推理的特點.代數推理主要應用于數與代數的運算與變形，方程、不等式、函數等代數內容.

2 2023年中考數學試題對代數推理的考查

2023年全國各地數學中考試題的命制較好地貫徹和落實了《課標（2022版）》的要求，對代數推理的考查更是全面而充分.通過對全國各地2023年初中數學中考試題的研究，不難發現代數推理的考查主要集中在數與代數的運算與變形，方程、不等式、函數等代數內容.代數推理的類型大致分為代數運算型、結構轉化型、代數說理型三種.

2.1 代數運算型

數學的思維是什么？主要是邏輯推理，這是數學發展所依賴的基本思維形式.邏輯推理分為演繹推理和歸納推理，而數學運算屬于演繹推理.

案例1 （2023＼5武漢）皮克定理是格點幾何學

中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S＝N＋12L－1，其中N，L分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為格點.已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），則△ABO內部的格點個數是（? ）.

A.266

B.270

C.271

D.285

分析：根據公式S＝N＋12L－1，先計算出S和L的值，即可求出N的值.由A（0，30）可知

邊OA上有31個格點（含點O，A），因為直線OB的解析式為y＝12x，所以當x為小于或等于20的正偶數時，y也為整數，即OB邊上有10個格點（不含端點O，含端點B）；由直線AB的解析式y＝-x+30可知，當0＜x＜20且x為整數時，y均為整數，故邊AB上有19個格點（不含端點），所以L＝31＋19＋10＝60.又S△ABO＝12×30×20＝300，故300＝N＋12×60-1，所以N＝271.故選項C正確.

點評：本題考查了學生在復雜的情境中分析、解決問題的能力.代數運算是“童子功”，根據定義、公式、運算法則和運算律進行推理活動，代數推理通過代數運算得以實現，既有推理的特征，也具有運算的特征.

2.2 結構轉化型

結構轉化型就是將代數式（或關系）變形為特定的目標結構（或關系），目標結構（或關系）就是代數模型.

案例2 （2023·浙江杭州）設二次函數y1＝2x2＋bx＋c（b，c是常數）的圖象與x軸交于A，B兩點.若函數y1的表達式可以寫成y1＝2（x－h）2－2（h是常數）的形式，求b＋c的最小值.

分析：由題意，得y1＝2x2－4hx＋2h2－2，又因為y1=2x2+bx+c，所以b＝－4h，c＝2h2－2.于是b＋c＝2h2－4h－2＝2（h－1）2－4，因此當h＝1時，b＋c取得最小值，且最小值是－4.

點評：本題考查了二次函數的兩種不同表達式，通過將頂點式y1＝2（x－h）2－2化為一般式y1＝2x2－4hx＋2h2－2后，分別得到b，c關于h的表達式，建立b＋c的數學模型，則b＋c是h的二次函數，即b＋c＝2（h－1）2－4，且該二次函數開口向上，所以當h＝1時，b＋c的最小值是－4.

2.3 代數說理型

案例3 （2023＼5重慶）如果一個四位自然數abcd的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足ab-bc=cd，那么稱這個四位數為“遞減數”.例如：四位數4 129，∵41-12＝29，∴4 129是“遞減數”.又如：四位數5 324，∵53-32＝21≠24，∴5 324不是“遞減數”.若一個“遞減數”為

a312，則這個數為______.

分析：根據遞減數的概念，列方程求a的值.由

題意，可得10a＋3-31＝12，解得a＝4，所以這個數為4 312.

點評：在初中數學中，圖形與幾何領域有推理或證明的內容，在數與代數領域也有推理或證明內容，因此在日常教學過程中，要增強代數推理教學的意識，讓學生進一步提升符號意識，形成用數學符號論證問題的習慣，養成有條理做事的習慣.

3 教學啟示

3.1 代數推理教學要關注階段性與合理性

代數推理的教學要求階段性與合理性相結合.其中，階段性是指根據學生的思維與認知，逐步提高要求.如：七年級側重數式或圖形，從特殊到一般尋找規律，代數運算的說理；八年級側重從圖形出發或借助圖形直觀滲透代數推理，結合圖象，用代數說理方式研究一次函數、反比例函數的性質；九年級側重以代數式或關系（方程、不等式、函數）為載體，通過歸納與演繹、分析與綜合研究代數推理.合理性是指合理有度，即關注代數推理教學內容、范圍和思維要求，不揠苗助長，圍繞代數式、方程、不等式、函數性質、基本數式運算和基本數學思想方法設計教學.

在教學過程中，需要關注學生認知發展階段、教學內容層次劃分、推理步驟的合理性、邏輯思維的培養、教學方法的適應性、反饋與評估的及時性以及情感態度的引導等方面，以提高代數推理教學的效果和質量.

3.2 代數推理教學要關注抽象性與直觀性

由于代數推理具有抽象性，因此在日常教學中要以現實為背景，借助經驗加深對代數推理的理解，借助圖形（圖象），通過直觀尋求代數推理方法，從圖形（圖象）出發，將圖形問題代數化，將代數推理結論借助直觀解釋，使抽象性與直觀性相結合.

如講授“完全平方公式”時，借助多項式相乘的法則，從特珠到一般歸納推理得到完全平方公式，繼續因勢利導展開公式的代數推導過程，加強代數推理.同時通過幾何背景的構造，加強學生對“完全平方公式”的理解.

通過深入理解抽象概念、引入直觀表示、結合圖形與符號、應用實際案例、靈活運用教學策略以及保持抽象與直觀的平衡，這種平衡的教學方式不僅能降低學習難度，還能培養學生的抽象思維能力和空間想象力.要認識到代數推理的抽象性是其核心特征，但過于抽象的內容容易使學生感到困惑.因此，教師應引導學生從直觀感知出發，逐步深入理解代數推理的本質，實現抽象思維與直觀感知的有機結合，提升數學素養和綜合能力.

3.3 代數推理教學要關注差異性與合理性

代數推理的教學要根據學生認知和思維差異，因材施教，不能“一刀切”；要回歸初中數學基本要求，緊扣初中數學教學內容，鞏固基礎知識和基本技能，提升數學探究、思維和表達能力，滲透數學基本思想方法，實現代數推理的有效教學，不能“為推理而推理”，而應是差異性與合理性相結合.

如講授“因式分解”時，要關注學生的基礎差異和思維差異.由于學生對因式分解的基本概念掌握程度不同，在推理教學時要設計不同維度的練習題，以適應不同學生的需求.不同的學生在解決問題時可能采用不同的思維方式，推理時需引導他們討論不同方法的優缺點，以培養學生的多元化思維.另外，要關注方法和邏輯的合理性，在因式分解中，存在多種方法，如公式法、分組法等，不同的方法可能適用于不同的多項式.要引導學生理解在因式分解的過程中，每一步都需要有明確的邏輯基礎.關注差異性與合理性是代數推理教學的關鍵所在.只有充分考慮學生的個體差異和實際需求，選擇合適的教學內容和方法，注重培養學生的邏輯思維能力和創新能力，才能提高代數推理教學的質量和效果.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022，8.