探究構造相似三角形求線段和的最值

吳杰

摘要：線段和的最值問題是中考中經常會考到的難點和熱點，學生對于這類最值問題沒有一個清晰的解決思路，往往無從下手.如何迅速從題目條件中找到突破口將線段和的最值問題轉化為熟悉的常用方法去解決，是學生所面臨的比較大的難點.本文中主要探討如何構造相似三角形將復雜的線段和問題轉化為課本上常見的最短路徑問題來處理，從而提高學生解決問題的能力，拓展學生數學思維方式.

關鍵詞：初中數學；相似三角形；最短路徑問題；轉化思想

1 研究背景和現狀

初中數學中，幾何中線段和的最值問題一直是學生所面臨的最大難點，其主要涉及形如“PA+PB”或“PA+kPB（k≠1）”的最值問題.由于初中所學的知識有限，學生僅對最短路徑中只有一個動點且動點軌跡為一條直線的情況較為熟悉，對于除直線軌跡外的其它軌跡，比如動點軌跡為圓、拋物線，或者動點數量不止一個的情況并沒有深入學習和研究.基于此，不少學者針對動點軌跡為圓、拋物線等研究出了一系列解題模型，比如阿氏圓模型、胡不歸模型［1］等，給學生提供了較好地處理“PA+kPB（k≠1）”型最值問題的方法.然而，在最近的學習中也經常會遇到兩個動點，且動點軌跡不是同一條直線的情況，從而無法用之前所研究的一系列方法去求解，學生再一次陷入迷茫.雙動點線段和的最值問題最主要的特點就是所求線段和中涉及到的兩條線段都有一個端點是動點，本文中針對這種情況，專門研究如何構造相似三角形將雙動點線段和最值問題轉化為我們所熟悉的最短路徑問題來解決.希望通過本文學生能夠看透知識點背后的本質，同時有一定的系統分析問題的能力，拓展數學思維方式.

2 線段和最值問題分類研究

在八年級課外學習活動中，對于最短路徑問題中有一個動點，且動點軌跡為一條直線的情況，往往通過對稱的方法將求和的兩線段轉化到動點軌跡的異側，然后利用兩點間線段最短原理，找到線段和的最小值［2］.當所求的線段和的形式為“PA+kPB（k≠1）”時，常見的對稱無法處理，因此不少學者研究了一些特殊模型，例如阿氏圓模型、胡不歸模型［3］等去解決，但學生對于模型的認知比較局限，容易陷入到套模式、套方法的誤區里.筆者希望通過課本最原始的最短路徑問題，讓學生分析新問題與最短路徑問題的異同點，結合條件與目標選擇合適的方法，將所求的兩線段轉化到動點軌跡異側，借助以折化直的思想找到線段和的最值.

3 本文研究的不足和展望

綜上所述，本文中提供了解決線段和最值問題的一種構造相似三角形的方法，其本質是轉化為課本上最短路徑的問題來處理，通過觀察新舊問題的異同點，同時結合想要達到的目標，讓學生探索如何構造相似條件將求和線段轉化到動點軌跡異側去處理，這在一定程度上強化了學生帶著問題去分析、推演、歸納的能力.同時讓學生明白，線段和最值問題背后的本質就是利用兩點之間線段最短達到化折為直的目的.隨著中考知識研究的深入，中考考查的方法和方式也會越來越靈活，可能受初中知識限制導致動點軌跡考查的僅僅是以直線和圓為主，后續隨著課程改革的深入，動點的軌跡可能會多樣化，例如軌跡是雙曲線、拋物線等，但其本質都是利用兩點之間的距離、以折化直的思想去解決此類問題.

由此可知，當遇到求線段和的最值問題時，我們可以引導學生觀察所求問題屬于哪種情況，然后用對應的方法去突破.只有學生做到善于分析題目中的條件，深入研究數學中的轉化思想，才能快速地找到問題的本質，從而提高數學的解題能力.

參考文獻：

［1］史增習.再談幾何最值之阿氏圓問題［J］.初中數學教與學，2016（14）：37-38.

［2］于新華.于新華中考數學16講［M］.杭州：浙江大學出版社，2018.

［3］張侶.破解動點軌跡長度問題的幾種策略［J］.中學數學研究，2021（12）：58-60.

［4］蔡國雄.初中幾何“PA+k·PB”型的最值問題［J］.數學學習與研究，2019（3）：151-152.