極端化策略在解決函數問題中的應用

摘? 要：利用問題中的極端情形分析解決問題的方法稱之為極端化策略.極端化策略的優勢在于能夠將復雜的問題轉化為淺顯易懂的問題，從而達到事半功倍的解題效果.極端化策略是解決函數問題的有效方法，在解決問題的過程中，教師需關注學生的學習過程，為學生提供簡便直觀的解題思路，提高學生的解題能力.文章從數形結合、約束條件、求解區間三個角度入手，分析極端化策略在解決函數關系問題中的應用.

關鍵詞：極端化策略；函數問題；應用

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0009-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：孫會會（1984.7—），女，江蘇省連云港人，本科，中小學一級教師，從事初中數學教學研究.

極端化策略是指將某一圖形、數字或動點的變化狀態推向極端大小或極端位置，并以此為落腳點作出猜測［1］，然后根據極端大小或極端位置導出一般結論的解題策略.由此可以看出，極端化策略主要考查某一問題的特殊情形.在應用極端化策略解題時，解題過程往往更加簡潔明了.函數關系問題中滲透了大量極端化思維與方法.在初中數學函數問題的解題教學中，引導學生學會熟練利用極端化策略解決復雜問題，是提高學生解題效率、培養學生數學核心素養的有效手段［2］.

1 數形結合，確定最值

在分析函數關系問題時，往往需要考慮特定的極端圖形.例如，在求函數的最大值或最小值的問題中，最大值或最小值就是極端量，往往需將其轉化為圖形的臨界位置［3］，然后借助圖形呈現數量變化規律，進而找到函數關系問題的解題突破口.在解決這類問題的過程中，學生也需要從極端情況出發，利用數形結合的方法解決問題.這種方法能夠將抽象的函數問題以幾何圖形的形式呈現，能夠使最大值或最小值更直觀具體地反映在幾何圖形上，從而降低學生的解題難度，簡化問題的求解過程.

例1? 已知實數x，y，z滿足z=4y2-16y+20+9x2-12xy+4y2+1+9x2+4，當z取最小值時，x和y各是多少？

解析? 此函數關系式十分復雜，欲解決這一問題，需要對其進行適當變形.在解決此問題的過程中，教師需引導學生對每個二次根式的被開方式進行配方處理，然后利用數形結合思想分析問題.顯然，配方后的式子與兩點之間的距離公式相關，故可考慮利用“兩點之間線段最短”解決問題.

z=4y2-16y+20+9x2-12xy+4y2+1+9x2+4

=（4-2y）2+（3-1）2+（2y-3x）2+（1-0）2+（3x-0）2+（0-2）2.

顯然，經過配方處理后，原本復雜的式子被轉化為直線距離問題.易知A（-2，0），B（0，3x），C（1，2y），D（3，4），因為AB+BC+CD≥AD，從圖1可以看出，當點B和點C位于線段AD上時，z的值最小，此時3x/2=4/5，2y/3=4/5，解得x=8/15，y=6/5.

例2? 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D為AB邊上的動點，但不與點A和點B重合.過點D作線段CD的垂線并與射線CA相交于點E，設線段AD=x，CE=y.圖3所示的圖象中能夠表示y和x函數關系的是（? ）.

解析? 根據已知條件，D為AB邊上的動點，雖然在運動過程中不會與點A和點B重合，但是可以從特殊情況入手思考問題，即從點D與點A或點B重合的角度出發，倒推解題思路.

當點D與點A重合時，因為DE⊥DC，此時點E與點A重合，根據題意可知CE=AC=3.當點D在AB的中點處時，則CD=AC，∠ECD=∠DAC=30°，由此可以得知CE=23/3.當點D與點B重合時，由于DE⊥DC，所以DE∥AC，此時x無法取到2，所以y為無限大.綜上所述，因為∠ACB=90°， ∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3，如果x=0，那么y=3；如果x=1，那么y=23/3；如果x=2，因為DE⊥DC，所以DE∥AC，所以此時x無法取到2，y為無限大.故正確的圖象應當為B.

對于以上兩道例題，如果采用常規方法求解，其難度較大，耗費大量的時間和精力也不一定能得到正確結論.根據題目中包含的暗示信息，可以考慮從極端情況出發，將“數”與“形”結合起來，不僅可以為解決復雜問題提供切入口，而且也對確定解題方向具有一定的導向作用.

2 確定最值約束條件

在函數問題中，最值往往有相應的約束條件.欲想從最值的角度入手解決問題，就需要明確最值的約束條件.對學生而言，有條件約束的函數問題難度較高，尤其是在解決二次函數問題時，學生更需要從最值約束條件出發，確定基本的求解思路，然后結合函數圖象滲透條件約束，形成對二次函數問題的深刻認識，為問題解決創造條件.

例3? 種子市場新進了一款種子，這款種子進價為每袋30元.在試營業期間發現，種子單價x和銷售量m之間的關系為m=162-3x，并且該種子市場決定將種子的單價設置在30～50區間內.請問種子市場的這款種子的日利潤和單價之間的函數關系式是什么？為了獲取最大的銷售利潤，該種子市場需將這款種子的售價定為多少？此時最大的銷售利潤是多少？

解析? 由題意可知，自變量x的取值范圍是30≤x≤50.該種子每千克的利潤為（x-30） 元，那么當日銷售總利潤為m（x-30） 元.

因為m=162-3x，所以y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4 860，顯然y是x的二次函數，此二次函數對稱軸為x=-b/2a=42，顯然x=42滿足30≤x≤50.又因為該二次函數的圖象開口向下，所以最大值在對稱軸x=42處取得，所以ymax=-3×42×42+252×42-4 860=432.

綜上所述，市場將該款種子的單價定為42元時，可以獲得最大利潤，并且當日的最大利潤為432元.

由此可以看出，在解決此類二次函數問題時，學生需要先確定x的取值范圍，以取值范圍為參考確定最值可能出現的情況.在求解得出最終的結果后，需要利用x的取值范圍進行驗證，確保最終答案的嚴謹性、準確性.

3 確定求解區間

確定最值的求解區間與劃分約束范圍有異曲同工之處，但兩者的解題思路不同.確定最值約束條件是為了提高最終求解結果的準確性與嚴謹性，確保最終求得的結果符合題目要求.而確定求解區間是指在題干中給定了x的取值范圍，這類問題的求解過程相對更加復雜且難度更高.

3.1 函數區間及對稱軸均固定

例4? 求函數y=x2-2x-3在［-2，2］上的最大值和最小值.

解析? 因為此函數的自變量所在的區間與對稱軸固定，所以函數的最大值和最小值也有可能在此函數圖象的頂點處取得.由已知條件可知該二次函數的開口向上，那么該二次函數的最大值和最小值有可能在區間［-2，2］的端點處取得.由二次函數的性質易知其圖象的對稱軸為x=1，顯然x=1在區間［-2，2］內，所以二次函數在該區間中的最小值為y=-4.易知該二次函數在區間［-2，2］中的最大值則為y=5，此時x=-2.綜上所述，二次函數y=x2-2x-3在［-2，2］上的最大值為5，最小值為-4.

3.2 對稱軸固定，但區間不固定

這一情況指的是根據題干給定的函數關系式可以確定該函數的對稱軸，但是無法確定該函數的區間范圍.也就是說，在題干給定的區間范圍上存在變量，此類問題主要考查學生對對稱軸與區間之間關系的掌握程度.

例5 ?求y=-x2+2x-2在區間［t，t+1］上的最大值.

解析? 顯然，函數y=-x2+2x-2是二次函數，由二次函數的性質易知拋物線的對稱軸為x=1，但是并不能確定x的取值范圍.本題與例4之間的最大區別是此題中的x的取值范圍中存在變量，所以很難確定該區間的端點值，也無法利用函數圖象直接求解，所以在具體的解題過程中需要判斷區間和對稱軸之間的關系，分情況求解.

易知二次函數圖象的對稱軸為x=1，如果該函數的對稱軸在區間的左側，那么t+1＜1，ymax=y（t+1）=-t2-1；如果該函數的對稱軸在區間范圍當中，那么t≤1≤t+1，所以0≤t≤1，從而可得ymax=-1；如果該函數的對稱軸的區間的右側，那么t≤1，ymax=-t2+2t-2.

3.3 函數區間固定、對稱軸不確定

例6? 函數y=-x2+2ax+1在區間［-1，2］上的最大值為多少？

解析? 根據題干給定信息，可以得知該函數圖象的對稱軸為x=a.當對稱軸在區間［-1，2］左側時，a＜-1，ymax=-2a，此時x=-1；當對稱軸在區間范圍內時，那么-1≤a≤2，ymax=a2+1，此時x=a；當對稱軸在區間的右側時，那么a≥2，ymax=4a-3，此時x=2.

由此可以看出，在解決函數問題時，需從不同情況出發，先確定影響最值的關鍵因素，如x取值范圍、函數圖象的對稱軸等，然后再確定最值可能出現的幾種情況.這對于提高學生解題效率，加深學生對函數問題的理解有重要意義.

4 結束語

函數知識是初中數學中最重要的內容之一，在中考命題中占據較大比例，考查的知識范圍非常廣泛.在中考數學試題中，函數問題與其他問題深度融合，也衍生了諸多具有綜合性和復雜性的問題，這不僅對學生的計算能力提出了較高要求，而且對學生的邏輯思維和想象力要求更高.基于此，在初中數學教學中，教師需引導學生嘗試利用極端化策略反向推理解題思路，在明確解題思路的基礎上應用函數知識解決復雜問題.

參考文獻：［1］

賓朝路.基于數學學科核心素養的初中數學解題教學研究：以2023年重慶中考數學為例［J］.數理天地（初中版），2024（3）：35-36.

［2］ 朱春霞.初中數學解題中培養學生函數思維［J］.數理天地（初中版），2024（3）：37-38.

［3］ 徐樂.指向高階思維的初中數學解題教學：以某中考試題為例［J］.數理天地（初中版），2024（1）：27-28.

［責任編輯：李? 璟］