全等三角形幾種判定方法的應用技巧

摘? 要：文章主要探討全等三角形幾種判定方法的應用技巧，為初中數學教學提供系統的教學資源.首先討論了各種判定方法的原理和應用，然后以豐富的實例幫助學生深刻理解全等三角形的判定方法，提高學生分析問題和解決問題的能力，進而提升其數學核心素養.

關鍵詞：全等三角形；判定方法；應用；技巧

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0036-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：王繁銀（1973.12— ），男，甘肅省隴南人，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

全等三角形是初中數學課程中的一個重要概念，也是幾何學的基礎之一.全等三角形之間的關系不僅有助于學生理解幾何圖形的形狀，還有助于學生解決實際問題.然而，在初中數學教學中，三角形全等的判定對學生而言有一定的困難.本文將探討全等三角形的幾種判定方法及其應用技巧，旨在為初中數學教學提供有用的課程資源.

1 全等三角形的基本概念

在探討全等三角形的判定方法之前，首先需要了解全等三角形的基本概念.如果兩個三角形的三條邊和三個角分別相等，那么它們就是全等三角形.這意味著全等三角形具有相同的形狀和大小，但位置和方向可能不同［1］.全等三角形的性質對于幾何證明和問題解決至關重要.

2 全等三角形的判定方法

2.1 SSS判定法

SSS判定法是一種基于三角形的三邊相等的條件來判定全等的方法.例如，兩個三角形的三邊長度分別相等，那么它們是全等的.這一方法通常用于相對較為簡單的情況.根據已知條件易得到兩個三角形三邊對應相等［2］，例如在△ABC和△DEF中，AB=5，BC=7，CA=8，DE=5，EF=7，FD=8.顯然，△ABC的每一條邊的長度分別等于△DEF的對應邊的長度.因此，根據SSS判定法，可以確定△ABC和△DEF是全等的，即△ABC≌△DEF.

2.2 SAS判定法

SAS判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩邊和夾角相等的條件.兩個三角形具有一對相等的邊，并且這兩組邊的夾角也相等，那么可以確定它們是全等的.例如，在△PQR和△STU中，它們的邊長和夾角如下：在△PQR中，PQ=6，QR=8，∠Q=40°.在△STU中，ST=6，TU=8，∠T=40°.在這個例子中，根據已知條件可以發現，△PQR的一對邊PQ和QR與△STU的一對邊ST和TU分別相等，而夾角∠Q也等于△STU的相應邊ST和TU之間的夾角∠T.根據SAS判定法，可以確定△PQR和△STU是全等的，即△PQR≌△STU.

2.3 ASA判定法

ASA判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩個角和兩角之間的夾邊相等的條件.例如，兩個三角形具有兩個相等的角，并且這兩個角之間的夾邊也相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說明ASA判定法，可考慮以下具體實例：在△XYZ和△ABC中，它們的兩個角和夾邊如下：在△XYZ中，∠X=45°，∠Y=60°，XY=5.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=5.在這個例子中，根據已知條件易發現，△XYZ的兩個角∠X和∠Y分別等于△ABC的對應角∠A和∠B，并且它們之間的夾邊XY和AB也相等.根據ASA判定法，可以確定△XYZ和△ABC是全等的，即△XYZ≌△ABC.為了應用ASA判定法，學生需要根據已知條件和圖形特征，尋找兩個三角形中相等的邊和角，然后結合圖形確定它們之間的關系是不是滿足ASA判定條件，最后確定兩個三角形的全等關系.

2.4 RHS判定法

RHS判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴一個直角三角形的一個銳角和斜邊相等的條件.例如，兩個直角三角形的一個銳角和斜邊對應相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說明RHS判定法，可考慮以下兩個三角形：在△PQR和△XYZ中，∠P=90°，∠Q=30°，QR=7，∠X=90°，∠Y=30°，YZ=7.在這個例子中，根據已知條件可以發現，△PQR中的直角∠P等于△XYZ中的直角∠X，一組銳角∠Q與∠Y相等，而斜邊QR等于斜邊YZ.根據RHS判定法，可以確定△PQR和△XYZ是全等的，即△PQR≌△XYZ.

2.5 HL判定法

HL判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊相等的條件.例如，兩個三角形具有一條直角邊和斜邊對應相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說明HL判定法，可考慮以下兩個三角形：在△MNO和△XYZ中，∠N=90°，ON=10，MN=6，∠X=90°，YZ=10，XY=6.在這個例子中，根據已知條件易發現，△MNO的一條直角邊MN等于△XYZ的直角邊XY，而斜邊ON等于斜邊YZ.根據HL定法，可以確定△MNO和△XYZ是全等的，即△MNO≌△XYZ.

3 三角形全等判定的應用技巧

為了更好地應用全等三角形的判定方法，學生需要掌握以下技巧，這些技巧將有助于他們在解決各類幾何問題時更加靈活和高效地應用判定方法.

3.1 深刻理解每種判定方法的原理

在初中數學教學中，教師需指導學生深刻理解每種判定法的原理，這對學生的學習至關重要.學生需要明白兩個三角形滿足什么條件能夠確保其全等，以便能夠正確選擇適當的判定方法，深刻理解每種判定方法的原理將有助于學生在解決問題時靈活選擇適當的判定條件.

對于每種判定方法，教師應該引導學生探究其基本原理.例如，在SSS判定法中，學生需要了解為什么三邊相等可以判定兩個全等三角形.這可以通過幾何證明來展示，讓學生理解這一原理的邏輯.對于SAS判定法，學生需要明白為什么兩個三角形的兩組邊對應相等且夾角相等就能確保其全等.類似地，對于ASA判定法、RHS判定法和HL判定法，學生也需要了解各自的原理.

教師可以提供一些幾何問題，讓學生在解決實際問題的過程中應用這些判定方法，從而進一步加深他們的理解［3］.在教學中，教師需逐步引導學生解決不同類型的問題，以幫助他們理解何時使用哪種判定條件解決問題.

在初中數學學習中，深刻理解每種判定法的原理將使學生更自信地應用這些方法解決幾何問題，并增強他們運用數學知識解決問題的能力.教師的任務是提供清晰的解釋和引導，以確保學生掌握這些重要的幾何概念和技巧.

3.2 準確繪制三角形

在解決全等三角形問題時，準確繪制三角形是至關重要的.學生應該養成繪制圖形的良好習慣，并在圖形上標明已知信息.這一步驟對于問題的清晰展示和更好地理解、分析幾何問題至關重要，準確的圖形有助于減少誤差并提高解決問題的準確性.繪制圖形時，學生需要使用三角板或直尺確保邊的長度準確，還需使用量角器來測量和標記角度，確保角度的大小準確［4］.標明已知信息，如已知邊的長度、已知角度的大小等，可以幫助學生分析問題和解決問題.

在實際問題中，準確的圖形可以使學生更容易識別潛在的全等條件，例如SSS、SAS、ASA等.學生可以將已知信息與全等條件進行比較，以確定哪種判定法適用，這種方法有助于提高問題解決的有效性和準確性.教師可以提供實際問題，鼓勵學生繪制準確的幾何圖形，并在圖形上注明已知信息.如此，在初中數學教學實踐中，學生將逐漸形成繪制和標記圖形的技能，從而更好地應用全等三角形判定法解決幾何問題.

3.3 靈活應用幾何工具

在解決全等三角形問題時，學生可以運用各種幾何工具，如輔助線、垂線、平行線等，這些幾何工具可以簡化問題，為問題解決創造便利條件.這些幾何工具可以幫助學生理清已知條件與所證結論之間的邏輯關系，幫助學生找到相關的全等條件，從而更輕松地解決問題，提高解題效率.

在初中數學解題過程中，學生可以使用輔助線創造三角形全等的條件，使問題更易于解決.例如，在一個已知的三角形中，引入一條垂線分割一個角，將問題轉化為兩個直角三角形，這種方法有助于學生發現全等條件，如角相等、邊相等；垂線在解決全等三角形問題中非常有用，它可以幫助學生識別直角三角形，從而應用RHS判定法；在解題過程中，學生還可以利用平行線簡化幾何問題.平行線的性質可以幫助學生找到一些相等的角，進而找到一些相等的邊，從而確定三角形全等的條件，這種方法在SAS判定法中尤為有用.

在初中數學解題教學中，教師可以提供一些實際問題，鼓勵學生運用幾何工具簡化問題，并找到相關的全等條件.通過練習和實踐，學生將逐漸掌握如何靈活使用這些工具解決各種全等三角形問題，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

3.4 單位的正確使用

在解決全等三角形問題時，學生需要特別注意每個角度和邊長的單位.確保使用正確的單位進行比較，以避免混淆或得出錯誤的結論.單位的一致性對于判定全等條件至關重要.

在比較角度時，學生應該明確使用“度”作為角度的單位，確保所有的角度測量都使用相同的單位，以便正確比較它們，混合使用度和弧度等不同單位可能會導致混淆和錯誤的判定.對于邊的長度，學生應該使用相同的單位，如分米、厘米或毫米等，確保在比較邊長時，使用統一的單位，以確保準確性，不同的單位可能導致錯誤的大小比較.

在初中數學教學中，教師應引導學生養成使用正確單位的習慣，并在練習中強調單位的一致性.通過示范和實際練習，學生將逐漸理解單位的重要性，并在解決全等三角形問題時更加謹慎和準確.

這些技巧的掌握將有助于學生更好地應用全等三角形的判定方法，提高學生的幾何問題解決能力.在初中數學教學中，教師應強調這些技巧，并通過實際問題的練習幫助學生熟練運用判定法來解決各種幾何問題.通過培養學生的幾何思維能力和解決問題的能力，他們將能夠更自信地應對數學學習和實際問題的挑戰.

4 結束語

全等三角形的判定方法是初中數學中的重要內容，對于幾何學的理解和解決實際問題都有著重要意義.通過深入學習每種判定方法的原理和應用技巧，學生可以更好地掌握全等三角形的概念，提高數學解決問題的能力.在初中數學教學中，教師應注重引導學生理解判定方法的邏輯，培養學生的幾何思維能力，從而提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 應琴芬，唐笑敏，王羅那.數學核心素養指向下單元整體教學的設計及反思：以“三角形全等的判定（SSS）”為例［J］.中學數學月刊，2023（8）：60-63.

［2］ 宋佳明.全等三角形幾種判定方法的應用技巧［J］.數理天地（初中版），2023（11）：10-11.

［3］ 姜志根.基于圖形內部結構特征的深度思考：以“借助中點構造全等三角形”專題復習教學為例［J］.中學教研（數學），2022（8）：5-7.

［4］ 歸艷蘭.中考“三角形”類選擇題解法例析：以江蘇省部分地市歷年中考數學試題為例［J］.中學數學，2023（8）：81-82.

［責任編輯：李? 璟］