源于勾股定理證明 惠及幾何運算簡化

摘? 要：復雜的幾何圖形大都是由一些基本圖形復合而成.熟悉基本圖形的構成、形式及其性質，并能從復雜圖形中分解出基本圖形是學好幾何的基本功.文章以“一線三垂直”為基本圖形，通過幾道典型題的詳細剖析，分別探討基本圖形的分解、構造、變換的應用方法.

關鍵詞：基本圖形；分解；構造；變換

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0042-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：徐晨，女，江西省上饒人，碩士研究生，從事數學學科教學研究.

簡單的平面幾何圖形稱為基本幾何圖形，如三角形、四邊形等簡單的多邊形以及圓形.在數學學習過程中，人們也將某些對問題解決經常發揮作用的幾何圖形叫作基本幾何圖形.基于基本幾何圖形及其結論可以作為一個解題模塊，具有針對性較強和可操作性、間接性等特征，有利于解題過程中的知識遷移.在處理復雜的幾何圖形問題時，學生的幾何基礎知識儲備以及利用基本圖形分解復雜圖形的能力尤為重要［1］.基本圖形是訓練學生學會在解題中觀察、分析題意，進行計算和推理的良好載體.借助基本圖形的性質，學生能夠將相關的知識點應用到難題的處理中，方便學生快速找到問題的切入點，高效解決復雜的幾何問題.

1 基本圖形的來源與變式

1876年4月1日，詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德（后任美國第二十任總統）在《新英格蘭教育日志》上發表了勾股定理的一個新的證明方法.如圖1，他將兩個全等的直角三角形拼接構成一個梯形，通過兩種方法計算直角梯形的面積，即可得到勾股定理.這種證明方法直觀、簡捷、易懂、明了，被稱為“總統”證法［2］.

如圖2，與線段BD有關的直角有三個，如果將P在BD上移動，并保持∠APC為直角不變，就會形成動態的構圖.不難發現，如此構成的兩個三角形相似，即△APB∽△PCD.

在圖2中，∠ABP=∠APC=∠CDP=90°，因為∠APB+∠CPD=90°，∠PCD+∠CPD=90°，所以∠APB=∠PCD，從而可得△APB∽△PCD.顯然，這是“K型”相似基本圖形.像圖2這樣，一條直線上存在三個直角，不妨稱這樣的圖形為“一線三垂直”基本圖形，該基本圖形常用于動點問題，或是函數圖象問題.因其易得三角形相似，從而能夠得到相關線段的比值或乘積，以此建立數量關系可使問題得到解決.進一步探究，可以從“一線三垂直”基本圖形中抽象出如圖3所示的相關變式以及如圖4所示的“一線三等角”基本圖形.

圖 3? “一線三垂直”變式示意圖

在圖3中，∠ACD=∠BEC=∠ADB=90° ，易知∠CAD=∠BDE，則△ACD∽△DEB.將“一線三垂直”進行變形，在題目中分解出基本圖形存在一定的難度，學生需要有敏銳的觀察力.

在圖4中，直線BD上存在∠ABC=∠ACE=∠CDE，于是∠ACB+∠ECD=180°-α ， ∠CED+∠ECD=180°-α ，可得∠ACB=∠CED ，則△ACB∽△CED，此時構成基本圖形的條件弱化，只需要三個角相等即可證得三角形相似.

2 基本圖形在解題中的應用

在初中數學學習中，幾何綜合問題往往涉及復雜的幾何圖形，其實質是幾個基本圖形構建而成的.教師應引導學生學會識圖、構圖，把握復雜的幾何圖形與基本幾何圖形間的內在聯系，掌握解圖基本方法以及解決復雜問題的關鍵，化繁為簡，提升解決復雜問題的能力.“一線三等角”基本圖形在中考中考查多次，是中學數學中很重要的內容.掌握和理解這個模型的本質及結論，學會在不同的背景下發現、構造“一線三等角”基本圖形尤為重要.

2.1 發現并分離出基本幾何圖形

例1? （2022年蘇州中考數學試題）如圖5，在矩形ABCD中，AB/BC=2/3，動點M從點A出發，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN，動點M，N同時出發，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v1＜v2.當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動.在運動過程中，將四邊形MANB沿MN翻折，得到四邊形MA′NB′.若在某一時刻，點B的對應點B′正好在CD的中點重合，則v1v2的值為.

解析? 如圖6，設A′B′交AD于點E，設AB=2a，BC=3a，運動的時間為t.則CD=AB=2a，AD=BC=3a，A′M=AM=v1t，B′N=BN=v2t.又點B′正好為CD的中點，所以DB′=B′C=a.在Rt△B′CN中，∠C=90°，有a2+（3a-v2t）2=（v2t）2，則v2t=5a/3=BN，又∠D=∠C=∠EB′N，易得△EDB′∽△B′CN，有DE/DB′

=B′C/CN=B′C/（BC-BN）=3/4.因為B′D=B′C=a，所以DE=DB′/4=3a/4，則B′E=（DB′）2+DE2=5a/4，所以A′E=A′B′-D′E=3a/4，即DE=3a/4=A′E.又因為△A′EM≌△DEB′，則A′M=B′D=a，AM=v1t=a，所以v1/v2=3/5.

點評? 本題是一道以矩形為基本圖形的動點幾何問題，涉及的知識點較多，主要考查矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，是《義務教育數學課程標準（2022年版）》規定的最基礎最核心的知識［3］.根據題意，可先考慮設動點運動的時間t，則速度之比可以轉化為路程之比，但由于條件中沒有具體線段的長，故可考慮引入參數a，再根據圖形結構特征，可直接發現“一線三等角”的基本圖形，易得△EDB′∽△B′CN，得到相關線段的比例式，進而求出線段的比值.在本題中，基本圖形的運用為之后的勾股定理、判定三角形全等打下了基礎，有效突破了難點，提高了解題效率.

2.2 自主建構基本幾何圖形

例2? （2022年揚州市中考數學試題）如圖8，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點D在邊BC上由點B向點C運動（不與點B、點C重合），過點D作DE⊥AD，交射線于AB點E.若AB=6，當DE/AD=3/2時，求AE的長.

解析? 如圖9，作AF⊥BC交BC于點F，作EG⊥BC交BC于點G.又∠EGD=∠ADE=∠AFD，易得△EDG∽△DAF，所以ED/DA=EG/DF=3/2.不妨設ED=3a，DA=2a（a＞0） ，則AE=7a ， BE=6-7a ，EG=3-7a/2.由于AB=6，∠B=30°，則AF=3，DF=4a2-9.從而3-7a/24a2-9=3/2，解得a1=37/5， a2=-37（不合題意，舍去），故AE=7a=21/5.

點評? 此題為動點問題，主要考查直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質及解方程等相關知識，其綜合性較強，具有一定的選拔功能，對學生而言具有一定的難度.在求解本題時，可采用特殊化策略思考問題，尋找問題解決的突破口.先考慮點D在特殊位置D′，即BC⊥AD′，然后發現點D應該在BD′之間，再結合條件DE⊥AD，聯想到構造“一線三等角”的基本圖形，則作出兩條輔助線，易得△EDG∽△DAF.從而利用相似三角形的性質列方程求解.這種解法所列方程的無理方程，解方程對學生而言也有一定難度.

3 解題思考

在解決幾何問題時，為建立已知條件與所求結論之間的邏輯關系，經常需要給圖形添加輔助線.添加輔助線的實質在于構造基本圖形，以便將復雜的問題簡單化，將隱蔽的關系外顯化，將分散的元素相對集中，從而找到一種解題途徑.與此同時，構造基本圖形時還需配合使用聯想、代換、轉化等數學思想方法［4］.“一線三等角”這樣的基本圖形在教材中還有很多，教師在教學中應重視并充分挖掘，不僅要傳授基本圖形，更要重視基本圖形與其他知識的聯系，以更好提高學生分析問題和解決問題的能力，培養其數學核心素養.

參考文獻：［1］ 何雄瑛.利用基本幾何圖形解題的教學探討［J］.福建中學數學，2018 （1）：25-28.

［2］? Eli Maor.勾股定理悠悠4000年的故事［M］.馮速，譯.北京：人民郵電出版社，2010.

［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］ 波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社， 2011.

［責任編輯：李? 璟］