核心素養下如何提高初中生有理數混合運算的能力

盛晗笑 余波

摘? 要：在新時代教育背景下，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》，強調聚焦學生核心素養.對于初中生來說，首先接觸到的有關運算的數學知識是有理數及其運算，其中有理數的混合運算難度大，綜合性強，對學生后續初中數學內容的學習具有鋪墊作用.而如何在核心素養下提高初中生有理數混合運算能力，需要從教師教學及學生的計算過程等方面入手解決.根據不同的運算法則，教師在教學過程中要層層遞進，不斷優化運算法則，才能從根本上培養學生的運算能力，而學生及時完善計算過程，則能使有理數混合運算的正確率有所提高.

關鍵詞：核心素養；有理數；混合運算；運算能力

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0024-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：盛晗笑（1997—），女，浙江省杭州人，碩士，從事數學教學論研究;

余波（1979—），男，湖南省株洲人，博士，副教授，從事數學教學論、計算數學研究.

基金項目：湖南省教育改革重點項目“基于中學創新型教師培養的數與應用數學師范生課程體系改革研究”（HNJG-2021-012917C0466）；教育部產學合作協同育人項目“雙一流建設背景下大數據計算創新型教師的產學實踐研究”（202102452011）；教育部產學合作協同育人項目“基于新工科“三創一體”的信息與計算科學專業人才培養模式改革研究”（202102468009）.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養.運算能力是初中生核心素養發展的具體表現之一，主要指的是根據法則和運算律進行正確運算的能力.學生掌握運算能力不僅指可以得到正確運算結果，還應包括對運算問題的理解、運算過程中形成的運算思維及一絲不茍、嚴謹求實的科學態度［1］.

有理數的運算是學生在初中階段最先接觸到的運算，并且在之后的數學知識中都會有不同程度的體現.掌握了有理數的運算，可以為學生在初中階段學習方程、不等式、函數等內容打下良好基礎，形成規范化的運算思維.而在有理數混合運算的教學中，因其將各種運算法則和運算律綜合在一起，對學生而言計算的難度較大，正確率也較低.

1 內容分析

有理數的混合運算是學生學習了有理數的加法、減法、乘法、除法及乘方的運算法則和運算律的基礎上進行的內容，該內容的學習為后續學生理解掌握方程、不等式及實數的運算等相關知識作鋪墊.因此，有理數的混合運算具有承上啟下的作用.

有理數混合運算這一節內容屬于《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課程標準》）中的數與代數部分，要求學生在這節內容學習中能夠掌握相關的運算方法，合理解釋運算結果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力.

在人教版教材中，有理數混合運算處于七年級上冊第一章第五節，教材指出進行有理數的混合運算時，應當注意以下運算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

結合新課程標準和教材，可以得出有理數混合運算的教學目標：進一步掌握有理數的運算法則和運算律；掌握有理數混合運算的順序，并運用有理數混合運算的順序進行有理數的混合運算；在有理數的混合運算中培養學生的運算能力.

2 教學現狀

在學習有理數混合運算前，學生已經學習掌握了有理數的加法、減法、乘法、除法以及乘方的運算法則和運算律.但由于對各個運算法則尚不熟練以及自身基礎的差異，學生在混合計算過程中容易出現符號遺漏、簡單計算錯誤及不會靈活運用相關運算律，導致計算過程繁瑣，最終出現計算錯誤.

由于混合運算的復雜性，教師在教學中普遍存在一定困難，且大多數教師認為學生對于這節內容的學習最重要的就是練習，沒有考慮到學生的運算能力與運算思維是有一定關聯的，只是想單純依靠熟能生巧解決學生的計算問題.

3 有理數混合運算的教學措施

王紅權老師認為，當前學生普遍存在數學運算素養不高的問題，與有理數混合運算技能不高有直接關系.為此，他提出了對應的教學措施，其中包括混合運算教學四原則、把好混合運算教學入門關、改進去括號法則教學以及運算單元先行的主線，這為教師進行有理數混合運算教學提供了新的思路［2］.在開展有理數混合運算的教學活動前，教師應當研究新課程標準，分析學生學習現狀，在充分了解學生學情后，有針對性地進行教學活動的設計；在進行教學活動的過程中，教師不僅需要傳授概念性的知識，同時也需要在課堂中不斷示例，通過系統且具有邏輯性的解題步驟讓學生更深刻地理解“運算順序”“同級運算”的知識內容；在教學活動后，教師要及時跟進學生的解題情況，幫助學生在計算書寫過程中養成良好的習慣和一絲不茍的嚴謹態度，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

3.1 明確運算級別，掌握運算順序

在學習有理數混合運算之前，教師就要在單獨的有理數運算中讓學生感受到不同運算級別的差異以及同一運算級別的共性，加強學生對運算的理解，發展其核心素養.

首先，學生接觸到的是有理數的加法和減法，其中，有理數減法的法則是：減去一個數，等于加上這個數的相反數.因此，減法可以看作是加法的逆運算，減法和加法可以看作是同一運算級別，在教學中，教師需要通過具體的加減法練習使學生深刻理解該知識點.

之后，學生在加減法的基礎上學習了有理數的乘法和除法.在有理數的乘法中，由于乘法可以看作幾個相同加數的和的簡便運算，如3×5可以看作3個5相加得到的結果，因此乘法是由多個加法組成的，是加法的簡便運算，即乘法的運算級別也就高于加法.而在有理數的除法中，學生在小學階段已經學習過除以一個不等于0的數等于乘以這個數的倒數，在此基礎上，教師通過有理數的乘除練習，可以使學生對乘除互逆有更直觀的記憶.

在有理數的乘方學習中，由于乘方運算可以看作幾個相同因數的積，如34可以看作4個3相乘得到的結果，因此，乘方是由多個乘法組成的、乘法的特殊形式，特殊之處在于因數都相同，而當多個相同因數相乘時，乘方的表示可以令書寫更為簡潔，即乘方的運算級別高于乘法.在教學時，教師可以通過幾個不同的乘方運算讓學生口述如何轉化為乘法，感受乘方的優先級高于乘法.

運算級別是根據其運算的難易程度劃分的，而通過各運算的學習，學生已經明確有理數運算中的各個級別.這就方便了教師在有理數混合運算的教學中明確運算順序由高級到低級依次進行運算，對于同級運算，則從左到右依次進行運算.

3.2 優化去括號法則，減少對應錯誤

核心素養要求初中生具備運算能力，能夠理解算理，選擇合理簡潔的運算策略解決問題.在有理數混合運算的教學中，除了要明確運算順序由高級到低級外，還要明確有括號的情況下該如何計算.而不同的情況下是否要選擇不同的運算策略，是教師需要考慮的問題.人教版教材指出，如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行；浙教版教材關于有理數混合運算中含括號的運算也指出，如有括號，先進行括號內的運算.而當括號前系數不為1時，學生容易用乘法對加法的分配律解決問題，從而導致一些計算錯誤.例如，-4×5-1/16=-4×5-4×1/16是由于符號的錯誤而導致結果的錯誤.針對符號錯誤，教師在進行乘法對加法的分配律教學時，需要明確分配律的具體內容為一個數與兩個數的和相乘，因此，括號內應當看成5與－1/16的和，而不是5與1/16的差，也就是說，在進行分配律的乘法運算時，先判斷括號內是哪兩個數的和是關鍵，帶上括號內各個數的符號，再進行分配律的運算，能夠大大減少錯誤率，因此，正確的解題步驟應為-4×5-1/16=-4×5+-4×-1/16=-20+1/4.而通過對括號內的式子的觀察，可以發現5-1/16=80/16

-1/16=79/16，直接對括號內的式子進行計算也并不困難.學生的學習是一個主動的過程，教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發其積極思考.所以，學生在解題時，完全可以根據括號內數字的復雜程度，以及自身是否易犯符號錯誤，對解題方法進行選擇，教師無需強制規定學生用分配律進行計算.

3.3 規范草稿書寫，強調結果檢驗

對于初中生來說，培養運算能力有助于其形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度，從而有助于核心素養的培養.通過對某公辦初中兩個班級的學生有理數混合運算的草稿進行檢查，發現存在以下幾點問題：一是不寫草稿，直接在試題下呈現解題過程，導致出現較多的低級錯誤；二是草稿較為隨意，不按照步驟順序書寫，導致計算失誤；三是草稿書寫凌亂，導致檢驗時無從下手，直接跳過檢驗環節，對出現的錯誤不易發現.

在進行有理數混合運算的教學過程中，例題的講解尤為重要，而教師在講解有關有理數混合運算的計算題時，是否做好例題解題的步驟示范，這很大程度上也影響了學生課后的做題情況.如果教師在進行有理數的混合運算教學時，從不重視解題步驟，學生潛意識也會認為解題步驟可有可無，只要求出答案即可，從而導致運算的正確率大大降低.教師在進行有理數的混合運算教學中，對于例題的運算板演，要起到示范的作用，書寫出詳細的步驟，說出每一步驟所運用的運算法則，幫助學生理解算法和算理之間的關系，從而對學生課后獨自解題起到潛移默化的效果，提升學生的計算能力.

對于草稿書寫隨意或書寫凌亂而導致無從檢查的學生，教師可以在課堂上表揚寫草稿優秀的學生，給其余學生一個有效的示范.在課后，教師也可以對運算不過關的學生進行草稿抽查，圈畫草稿中存在的問題，幫助學生及時改正問題.

4 結束語

通過有理數的混合運算，培養學生的運算能力，從而發展學生的核心素養，是初中數學教師在教學前期需要思考的問題.有效培養學生的運算能力，理解算法與算理之間的關系，需要教師在教學過程中明確有理數運算級別的差異和共性，幫助學生理解不同運算級別之間的聯系，掌握有理數混合運算的順序；有效培養學生合理選擇策略進行運算，需要教師對去括號法則進行優化，啟發學生根據自身基礎及運算習慣選擇合適的運算方法；有效培養學生的嚴謹態度，需要教師抓好學生課堂練習及課后作業的草稿情況，課上展示優秀作品，課外指導存在的問題.有理數混合運算的學習，需要教師通過課前揣摩、課上教學、課后指導等途徑幫助學生形成運算思維，養成良好的運算習慣，從而提升其核心素養.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 王紅權.用“運算單元”優化混合運算發展學生的運算素養［J］.數學通報.2022（4）：22-25.

［責任編輯：李? 璟］