深度思考：小學數學深度學習的重要標識

朱佳怡

［摘? 要］ 盡管數學思考是內隱性的，但深度思考是體現學生數學學習力的重要標識。在小學數學教學中，教師要用問題驅動學生的深度思考，用操作輔助學生的深度思考，用結構優化學生的深度思考，用互動助推學生的深度思考。有深度的數學思考能有效拓展學生數學學習的寬度與深度，提升學生數學學習的效度。

［關鍵詞］ 小學數學；深度學習；深度思考

鄭毓信教授認為，數學教學必須要超越具體的知識、技能層面，要深入學生的思維層面。深度學習的實質是學生“思維深度參與”的學習。在小學數學教學中，教師要引發學生的深度思考。深度思考是指“以數學核心內容為載體，以數學抽象、邏輯推理、問題解決和數學分析為重點的一種思維活動”［１］。盡管數學思考是內隱性的，但深度思考是體現學生數學學習力的重要標識。在小學數學教學中，教師要通過一定的教學手段激發學生深度思考，助推學生深度思考。

一、用問題引發學生深度思考

問題是溝通數學學科知識與學生已有認識的橋梁。在問題場中，學生能產生一種內在的認知沖突。這種認知沖突是學生在把握自我已有知識與新知關系的過程中所產生的一種不適表現。通過認知沖突，學生會產生積極的心理同化與心理順應的內在需求。在小學數學教學中，教師要精心設計問題，讓問題能觸及數學知識本質，能引發、驅動學生的深度思考。在教學實踐中，筆者發現，許多教師設計的問題往往比較膚淺、瑣碎，這樣的問題容易制約學生的思維。對此，教師要設計關鍵性、核心性、主導性的大問題，用大問題驅動學生進行深度思考。

相較于傳統的問題，大問題往往能賦予學生更大的思考時空，能開辟更多的思考可能性。比如，復習“2、5的倍數的特征”“3的倍數的特征”這一部分內容之后，筆者先幫助學生復習鞏固2、3、5的倍數的特征。在此基礎上，引導學生思考：為什么2、5的倍數的特征只需要看個位上的數，而3的倍數的特征則需要看各個數位上數字的和。這是一個牽涉到2、3、5的倍數特征的本質問題，能激發學生超越一個數的倍數特征的淺表性思考的深層次的數學問題。圍繞核心問題，學生借助教師提供的直觀方塊學具進行操作。在操作中，學生逐步理解了一個數原來是由幾個一、幾個十、幾個百等組成的。

一個整十數一定是2、5的倍數。因此，判斷一個數是否是2、5的倍數，關鍵就是看這個數個位上的數是否具備2、5的倍數的特征。同樣，對于3的倍數的特征，有的學生借助于直觀的方塊圖進行探索，有的學生將10分成9和1，將100分成99和1。幾個十、幾個百、幾個千等不一定是3的倍數，因此判斷一個數是否是3的倍數不能只看個位上的數。學生通過觀察、思考發現，9、99等相關的數一定是3的倍數。因此，判斷一個數是否是3的倍數，關鍵是看一個數減去若干個9、99、999等剩下來的數，而這些數正好是各個數位上數字的和。通過引導學生對2、3、5的倍數的特征的追問、比較、思考，學生能深刻地洞察2、3、5的倍數的特征背后相同的數理、算理。問題能夠引發學生的深度思考，促進學生的數學思維向數學知識本質更深處漫溯。

問題是驅動學生深度思考的動力引擎，不同的問題能產生不同的教學效果。由點及面地問，能完善學生的認知結構；由淺入深地問，能讓學生充分經歷數學化的過程；由表及里地問，能讓學生感受、體驗深度思考的內在的魅力。通過問題引領、問題驅動，實現學生與數學教學內容、教學過程之間的深度契合，能激發學生的創造力，助力學生數學核心素養的發展。

二、用操作助推學生深度思考

教育心理學家皮亞杰認為，“學生的思維是從動作開始的，如果我們切斷動作與思維的關聯，學生的思維就不能得到充分的發展”［２］。外顯的操作能讓學生的思維可視化，是學生思維的重要支撐。在小學數學教學中，教師要重視學生的操作，讓學生通過“量一量”“擺一擺”“折一折”“畫一畫”等相關的操作，充分經歷知識的數學化誕生過程。在操作過程中，學生能深刻地把握操作對象的特征，進而認識到操作對象的本質、非本質屬性。同時，在操作過程中產生的活動經驗會沉淀到學生的內心深處，成為學生的一種數學化的能力、素養等。

比如，教學“長方體和正方體的認識”時，很多教師都會提供一個現成的長方體框架，讓學生觀察，并在學生對長方體的特征形成猜想的基礎上引導學生進行驗證。這樣的借助于學生視覺觀察的學習方式，無法讓學生形成深刻性的學習體驗，難以激發學生的深度思考。筆者在教學時為學生提供了結構性的素材，給學生提供了動手操作的機會，引導學生直面長方體的特征。筆者給學生的主要任務是：選擇合適的小棒，動手做一個長方體。在這個過程中，學生積極地思考怎樣的小棒才能搭成一個長方體？于是，學生積極地選擇相關規格的小棒：有的學生將小棒分為三種不同的規格，其中每一種規格的小棒都是4根；有的學生將小棒分成了4組，每一組都是3根不同規格的小棒等。顯然，不同學生思考的路徑不同，操作的表征就不同。教師要尊重學生的思考路徑，鼓勵學生開展多樣化操作。在操作的過程中，學生會積極地調適自己的思維，讓自己的思維更加嚴謹、科學、合理。比如，在搭建長方體框架的過程中，有的學生先做一個長方形，然后建構長方體；有的學生先做了幾個相交于同一個頂點的三條棱的模型，然后借助小棒中的三通將這些模型拼接成一個長方體等。

學生的數學智慧在指尖跳躍。在小學數學教學中，教師引導學生進行數學操作，能讓學生直面數學知識的本質內涵，引導學生充分地經歷、感受、體驗用小棒搭建長方體的過程。學生積極主動地參與數學操作實踐活動，開展有深度的活動體驗，能將活動中的體驗、經驗等提煉、抽象為數學的思想方法。通過這樣的提煉、抽象過程，能引導學生從數學的淺層學習向深層學習過度、躍遷。

三、用結構優化學生深度思考

學生對數學知識的深度思考，不僅要求學生通過思考把握數學知識的本質，更要求學生通過思考把握數學知識的關聯。在小學數學教學中，教師要引導學生對相關數學知識進行結構化的梳理，用結構優化學生的深度思考。通過聯結與融通數學知識，讓學生在頭腦中將這些知識連點成線、連線成面、勾面成體；通過結構化的深度思考，優化學生的認知結構、思維結構，不斷提升學生的數學思考力、探究力、實踐力。

在小學數學教學中，教師不僅要關注數學知識的縱向結構，還要關注數學知識的橫向結構。關注數學知識的縱向結構，就是要關注數學知識的來龍去脈、前世今生；關注知識的橫向結構，就是要關注數學知識之間的聯系，引導學生在不同數學知識之間進行轉化、遷移。結構能引導學生打破思維的固化格局，打破思維的固定邊界，幫助學生形成由此及彼、由表及里、觸類旁通地思考問題的能力。

關注數學知識的縱向結構，能打通數學知識的內在脈絡；關注數學知識的橫向結構，能打通數學知識之間的關節。比如教學“多邊形的面積”這一部分內容時，教師不僅要引導學生把握每一個圖形面積的推導過程，還要引導學生把握圖形面積推導過程之間的邏輯關聯，把握圖形面積公式表征的關聯。比如教學“三角形的面積”這一部分內容時，教師在引導學生將“三角形的面積”轉化成“平行四邊形的面積”或者“長方形的面積”之后，學生會積極主動地聯系“平行四邊形面積”的推導過程，并進行深入思考：圖形面積的轉化有怎樣的共同點？如此，學生會主動地對相關圖形的面積推導進行比較、抽象、概括，從而提煉出轉化思想的精髓——將“陌生圖形轉化成熟悉圖形”，將“未知圖形轉化成已知圖形”。這樣的比較、抽象、概括所形成的數學知識結構、方法結構、思想結構，有助于學生數學學習積極的正向遷移。

數學知識的結構化、整體化、系統化、關聯化，有助于促進、優化學生的深度思考；反過來，深度思考也有助于學生開展系統化的建構，有助于學生進行數學知識的整體性認知，有助于引領學生走向結構化學習。從這個意義上說，數學知識的結構化與學生的深度思考是相互關聯、相互促進的。

四、用互動助推學生深度思考

互動是學生數學學習的一種重要方式。小學數學教學中的互動包括師生互動、生生互動、生本互動等。在小學數學教學中，教師要激發學生的互動需求，優化學生的互動媒介，讓不同水平的學生互補、互促，從而促進學生的抱團發展。在師生互動中，學生的互動類型比較豐富，包括依附性的互動、參與性的互動和融洽性的互動。顯然，互動的最高境界應當是一種融合性、融洽性的互動。融洽性的互動應當是一種多維性的互動，多維性的互動有助于促進學生的數學深度思考，有助于促進學生的數學認知建構。

只有通過互動，才能有效改變學生的認知方式、思維方式和行動方式。互動不是傳統的教師“一言堂”，也不是傳統的教師“唱獨角戲”，而是師生、生生的一種平等的對話、交往。教師要創設互動的時空，引導學生學會互動，讓學生善于互動、樂于互動等。比如，教學“用字母表示數”這一部分內容時，筆者引導學生表示“青蛙”“青蛙的嘴”“青蛙的眼睛”“青蛙的腿”。于是，有的學生用一個具體的數來表示，比如“一只青蛙一張嘴、兩只眼睛四條腿”等。采用這樣的表示方法，學生之間開展積極的互動。

有的學生說：“這樣的表示方法不具有普遍性，只能表示一種情況。”于是，在互動之中，有的學生產生了新的表示方法，比如“a只青蛙a張嘴，a只眼睛a條腿”“a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿”“a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿”等。采用符號字母表示數量關系的方式，學生之間開展了平等的互動與交流：有的學生認為，青蛙的眼睛、嘴巴、腿的數量不可能相同；有的學生認為，最后一種表示青蛙、嘴巴、眼睛、腿的數量的方式比較合理，不僅具有一種通用性，還可以看出青蛙、青蛙的嘴巴、青蛙的眼睛、青蛙的腿之間的數量關系等。在這個過程中，學生的數學認知、數學思維等相互碰撞，并基于他人的觀點不斷修正、審視自己的見解、主張等。在不斷交流、互動、碰撞、審視、反思的過程中，學生的數學思考走向深度。

在互動中，教師還要適時地引導學生思辨。只有引導學生積極主動地質疑、辨析、反思，才能不斷激發學生的數學智慧、靈感，啟迪學生的數學創新，讓學生真正理解數學知識的來龍去脈、數學知識的本質、關聯等。在小學數學教學中，教師用問題驅動學生的深度思考，用操作輔助學生的深度思考，用結構優化學生的深度思考，用互動助推學生的深度思考，能有效拓展學生數學學習的寬度與深度，提升學生數學學習的效度。

參考文獻：

［１］ 朱國榮. 實現數學實驗育人價值的路徑探索［Ｊ］. 小學數學教育，２０１８（０８）：７－８.

［２］ 陸麗萍. 設活“課眼”，掀起數學教學高潮［Ｊ］. 中小學教師培訓，２００１（０１）：４０－４２.