2023年高考之計數原理考點解讀

胡銀偉

計數問題是重要的數學問題，通過對計數基本原理、排列與組合、二項式定理及其應用的學習，我們能夠了解計數與現實生活的聯系，能夠初步解決簡單的計數問題。兩個計數原理是人們在大量實踐經驗的基礎上歸納出來的基本規律，也是進一步研究排列、組合問題的基礎。排列、組合與兩個計數原理的綜合是高考命題的熱點，試題難度較小，多以選擇、填空題形式出現，考查同學們的邏輯推理、數學運算等數學素養。排列與組合常與概率、離散型隨機變量的分布列等知識綜合，多在解答題中綜合命題，考查同學們的邏輯推理、數學抽象等數學素養。二項式定理也是高考命題熱點之一，多出現在選擇、填空題中，難度中等，主要考查二項展開式中的特定項、二項式系數的性質、二項式定理的應用等，也考查同學們的邏輯推理、數學運算等數學素養。

下面我們結合2023年高考真題，對計數原理高考考點進行解讀。

考點1 對計數原理綜合應用的考查

例1 （1）【2023年全國甲卷理數第9題】現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）種。

A.120 B.60 C.30 D.20

（2）【2023年全國乙卷理數第7題】甲、乙兩位同學從6 種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）。

A.30種 B.60種

C.120種 D.240種

（3）【2023年全國新課標Ⅰ卷第13題】某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）。

命題意圖：本題主要考查兩個基本計數原理與排列、組合知識的綜合，考查同學們邏輯推理及數學運算等數學素養。

解題思路：（1）利用分類加法原理，分類討論5名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，可求解。（2）首先選相同的讀物有6種情況，然后在剩余的讀物中再選擇2種讀物進行排列，最后根據分步計數原理進行解答。（3）先分類討論選修2門或3門課，當選修3門時，再討論具體選修課的分配方法，結合組合數運算進行解答。

解析：（1）不妨記5名志愿者為a，b，c，d，e，假設a 連續參加了兩天公益活動，從剩余的4人中抽取2人分別參加星期六與星期日的公益活動，共有A24=12（種）方法。同理b，c，d，e 連續參加了兩天公益活動，也各有12種方法。所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數為5×12=60。選B。

（2）首先確定相同的讀物，共有C16種情況，然后兩人各自選另外一種讀物，相當于在剩余的5種讀物中選出2種進行排列，共有A25種方法。根據分步乘法原理知共有C16·A25=120（種）選法。選C。

（3） （ⅰ）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C1 4C14=16（種）。

（ⅱ）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課有1 門，則不同的選課方案共有C1 4C24=24（種）;

②若體育類選修課有2門，則不同的選課方案共有C2 4C14=24（種）。

綜上，不同的選課方案共有16+24+24=64（種）。

考點解讀：運用兩個計數原理解題的關鍵在于正確區分“分類”與“分步”，分類就是能“一步到位”———任何一類中任何一種方法都能完成整個事件，分類的關鍵在于要做到“不重不漏”;而分步則只能“局部到位”———任何一步中任一種方法只能完成事件的某一部分，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步。

考點2 對排列組合的考查

例2 【2023年全國新課標Ⅱ卷第3題】某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名學生和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）。

A.C44500·C12500 種 B.C24000·C42000 種

C.C34000·C32000 種 D.C44000·C22000 種

命題意圖：本題是考查抽樣方法及組合的知識，考查同學們的邏輯推理及數學運算等數學素養。

解題思路：利用分層抽樣的原理和組合數公式進行解答。

解析：根據分層抽樣的定義知初中部共

抽取60×（400／600=40（人），高中部共抽取60×（200／600=20（人）。

根據組合公式和分步計數原理，可得不同的抽樣結果共有C44000·C22000 種。

選D。

考點解讀：排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著舉足輕重的作用。解答排列、組合問題，首先要根據題意明確是排列問題還是組合問題，或者是排列與組合的混合問題;其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行解答。

解答排列與組合問題時要注意一些策略和方法技巧的應用，如特殊元素優先安排、相鄰問題捆綁處理、不相鄰問題插空處理、定序問題倍縮法處理等。

考點3 排列組合與概率的綜合考查

例3 【2023年全國甲卷文數第4題】某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名。從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）。

A.1／6 B.1／3 C.1／2 D.2／3

命題意圖：本題綜合考查排列組合與古典概型，也考查同學們的邏輯推理及數學運算等數學素養。

解題思路：利用古典概型的概率公式，結合組合的知識進行解答。

解析：依題意知，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C24=6（個），其中這2名學生來自不同年級的基本事件有C1 2C12=4（個）。所以這2名學生來自不同年級的概率為4／6=2／3。選D。

考點解讀：由于概率與排列組合聯系緊密，有承上啟下的作用，故二者經常交匯構造一些等可能事件的概率問題，是高考命題的熱點。

（責任編輯 徐利杰）