計數原理單元測試卷（B卷）

張旭要

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.將4個6和2個8隨機排成一行，則2個8不相鄰的情況有（ ）。

A.480種 B.240種

C.15種 D.10種

2.在某城市中，A，B兩地有如圖1 所示的方格形道路網，甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑，從A 地出發去往B 地，途經C 地，則不同的路線有（ ）。

A.90 種 B.105 種

C.260種 D.315 種

3.甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有A，B，C，D ，E 這5個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數為（ ）。

A.420 B.460 C.480 D.520

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（ ）。

A.24種 B.48種

C.72種 D.96種

5.某學校為增進學生體質，擬舉辦長跑比賽，該學校高一年級共有20個班級，現將22個參賽名額分配給這20個班級，每班至少1 個參賽名額，則不同的分配方法有（ ）。

A.210種 B.200種

C.150種 D.100種

6.將甲、乙等5位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、浙江大學3 所大學就讀，則每所大學至少保送1人的不同保送方案有（ ）。

A.240種 B.180種

C.150種 D.540種

7.（3x-2）（x-1）6 的展開式中x3 的系數為（ ）。

A.85 B.5 C.-5 D.-85

8.某學校準備開設4門勞動課程：“蔬菜種植”“綠植修剪”“糕點制作”“電動自行車修理”。開課之前，要安排4男2女共6名教師參加這4門勞動課程的技術培訓，要求每一項培訓都要有教師參加，每位教師只能參加其中一門培訓，其中“蔬菜種植”必須安排2位教師，“電動自行車修理”不安排女教師，“糕點制作”不安排男教師，則不同的安排方法有（ ）。

A.132種 B.112種

C.96種 D.84種

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

9.2023年國外某智庫發布尖端技術研究國家競爭力排名，在極超音速和水下無人機等23個領域中，有19個領域中國處于領先地位。某科技博主從這19個領域中選取了A，B，C，D，E，F 這6個領域，準備在2024年10月1—6日對公眾進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則（ ）

A.A，B 在后3 天介紹的方法種數為144

B.C，D 相隔一天介紹的方法種數為96

C.E 不在第一天，F 不在最后一天介紹的方法種數為504

D.A 在B，C 之前介紹的概率為1／3

10.若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2 +…+anxn ，且a0 +a1 +a2+…+an-1+an =126，則下列結論正確的是（ ）。

A.n=6

B.a1+a2+a3+…+an-1=119

C.（1+2x）n 的展開式中二項式系數的和為729

D.a1+2a2+3a3+…+nan =321

11.關于（x2+1／x2-2）3的展開式，下列結論正確的是（ ）。

A.所有項的二項式系數之和為32

B.所有項的系數之和為0

C.常數項為-20

D.系數最大的項為第3項

12.若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”。如231、354等都是“凸數”。若用1，2，3，4，5這5個數字組成無重復數字的三位數，則（ ）。

A.組成的三位數的個數為30

B.在組成的三位數中，奇數的個數為36

C.在組成的三位數中，“凸數”的個數為24

D.在組成的三位數中，“凸數”的個數為20

三、填空題（本大題共4 小題，每小題5分，共20分。）

13.現有5名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種。（用數字作答）

14.組合數C0 34+C2 34+C4 34+…+C34 34 被9除的余數是_____。

15.某校高二（1）班要舉辦一場晚會，有2個歌唱、2個舞蹈、1個小品、1個相聲共6個節目，要求2個歌唱不相鄰演出，且2個舞蹈不相鄰演出，則這6個節目共有_____種不同的演出順序。

16.（x2+y+3）6 中x4y 的系數為_____。（用數字作答）

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.（本小題10 分）（1）已知Cm5=C25m-1（m >1），求Cm6+Cm+1 6 +Cm+2 7 +Cm+3 8 的值。（用數字作答）

（2）解不等式3A3x+1≤2A2x+2+6A2x+1。

18.（本小題12分）已知f（x）=（3根號下x2 +3x2）n 的展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992。

（1）求展開式中二項式系數最大的項;

（2）求展開式中系數最大的項。

19.（本小題12 分）為弘揚我國古代的“六藝”文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”六門體驗課程。

（1）若體驗課連續開設六周，每周一門，求其中“射”不排在第一周，“數”不排在最后一周，求所有可能的排法種數;

（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教“數”的課程安排方案種數。

20.（本小題12分）按下列要求分配6本不同的書，求各有多少種不同的分配方法。

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;

（3）平均分成三份，每份2本;

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本;

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本;

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得一本。

21.（本小題12 分）設（1+x）n =a0 +a1x+a2x2+…+anxn ，n≥4，n∈N* 。已知a23=2a2a4。

（1）求n 的值;

（2）若（1+根號下3）n =a+b根號下3，其中a，b∈N* ，求a2-3b2 的值。

22.（本小題12分）現有0，1，2，3，4，5這6個數字。

（1）可組成多少個沒有重復數字的偶數？

（2）在組成沒有重復數字的五位數中，按從小到大排21 350是第幾個數字？

（責任編輯 徐利杰）