分球人盒問題例析

章舜龍

在求解排列、組合問題的過程中，我們經常會遇到一類“分球入盒”的問題或可轉化為“分球入盒”模型的問題。不少同學由于不能正確對待“球”和“盒”的順序而導致錯解。下面例析“分球入盒”問題，以期幫助同學們厘清思路，順利解答該類問題。

一、球同盒同

例1 將7個相同的小球，放入4個相同的箱子中。

（1）每個箱子中至少有一個小球（即箱子不空），有多少種不同的放法？

（2）若箱子允許空，又有多少種不同的放法？

分析：箱子相同時不需要考慮箱子的順序，球相同也無須考慮球的差別，只要考慮各個箱子中放入小球的數量多少，故可用“窮舉法”求解。

解：（1）箱子不空有3 種放法：{1，1，1，4}，{1，1，2，3}，{1，2，2，2}。

（2）箱子允許空共有11種放法：

{0，0，0，7}，{0，0，1，6}，{0，0，2，5}，{0，0，3，4}，{0，1，1，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，3}，{0，2，2，3}，{1，1，1，4}，{1，1，2，3}，{1，2，2，3}。

點評：“窮舉法”是求解排列組合問題中最常見的數學思想方法。此時，“無招勝有招”。

二、球同盒不同

例2 將7個相同的小球，放入4個不同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少種不同的放法？

（2）若箱子允許空，有多少種不同的放法？

分析：本題與例1的不同點是這里的4個箱子是不同的，需考慮箱子間的順序，若還用窮舉法解就顯得繁雜，可將問題轉化為方程正整數解的問題，進而利用“插空法”求解。

解：（1）設第i 個箱子里放入mi（i=1，2，3，4）個球，則問題轉化為求不定方程m1 +m2+m3+m4=7（*）的正整數解的個數。

將7個小球排成一排，用3 個隔板將7個小球分成四份，每一種分隔方法對應一種放法，7個小球之間有6個間隙，在其中任選3個插入隔板，有C36=20（種）方法。故共有20種不同的放法。

（2）箱子允許有空，等價于求（*）式的非負整數解個數。

設xi =mi +1（i=1，2，3，4），問題轉化為求不定方程x1+x2+x3+x4=11的正整數解的個數。

仿（1）知共有C3 10=120（種）不同方法。

對于（2）也可這樣思考，此時把7個小球與3個隔板等同看待，認為共有10個元素，將它們排成一列，每一個排列對應一種放法，如OOOOO||OO|對應的放法就是：{5，0，2，0}，10個位置任選3個放隔板，其余7個位置放小球，共有C3 10=120（種）不同方法。

點評：求解相同元素的分配問題用“隔板法”，將n 個相同的元素分成m 份（n，m 為正整數），每份至少一個元素，可以用m -1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為Cm -1 n-1 。

三、盒同球不同

例3 將7個不同的小球，放入4個相同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少種不同的放法？

（2）箱子允許空，有多少種不同的放法？

分析：此情形中要注意球是不同的，需考慮其差異，而箱子是相同的就不需要考慮其順序，故常用“分類累加法”求解。

解：（1）箱子不空，分為以下三類：

①4個箱子中小球數是{1，1，1，4}，放法有C1 7C1 6C1 5C4 4/A33=35（種）;

②4個箱子中小球數是{1，1，2，3}，放法有C1 7C1 6C2 5C3 3/A22=210（種）;

③4個箱子中小球數是{1，2，2，2}，放法有C1 7C2 6C2 4C2 2/A33=105（種）。

放法共有35+210+105=350（種）。

（2）箱子允許空，分為下面四類。

①4個箱子均不空，由（1）知有350種放法。

②4個箱子中有1個是空的，則分為下面四種情形。

ⅰ）4個箱子中小球數是{0，1，1，5}，不同的放法有C1 7C1 6C5 5/A22=21（種）;

ⅱ）4個箱子中小球數是{0，1，2，4}，不同的放法有C1 7C2 6C44=105（種）;

ⅲ）4個箱子中小球數是{0，1，3，3}，不同的放法有C1 7C3 6C3 3/A22=70（種）;

ⅳ）4個箱子中小球數是{0，2，2，3}，不同的放法有C2 7C2 5C3 3/A22=105（種）。

此時共有不同的放法數為21+105+70+105=301。

③4個箱子中有2個是空的，又分為下面三種情形。

ⅰ）4個箱子中小球數是{0，0，1，6}，不同的放法有C1 7C66=7（種）;

ⅱ）4個箱子中小球數是{0，0，2，5}，不同的放法有C2 7C55=21（種）;

ⅲ）4個箱子中小球數是{0，0，3，4}，不同的放法有C3 7C44=35（種）。

此時共有不同的放法數為7+21+35=63。

④4個箱子中有3個是空的僅有一種情形{0，0，0，7}，共有1種放法。

綜上所述，共有350+301+63+1=715（種）不同放法。

點評：本題屬于分組問題，分組的類型包括整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應注意只要有元素的個數相等的組存在，就需要考慮均分的現象（即：整體平均分組;或部分平均分組）。

四、球盒均不同

例4 將7個不同的小球，放入4個不同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少種不同的放法？

（2）箱子允許空，有多少種不同的放法？

分析：與例3比較，需考慮箱子的差異，即箱子間的順序。

解：（1）由例3可知7個不同的小球，放入4個相同的箱子中，箱子不空時共有350種放法。故將7個不同的小球，放入4個不同的箱子中，箱子不空，共有350A44=8 400（種）不同的放法。

（2）用“分步法”求解。將7個不同的小球，放入4個不同的箱子中，箱子允許空，每一個小球都有4種不同的放法，故共有47=16 384（種）不同的放法。

點評：重復排列問題要區分兩類元素，一類可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，把能重復的元素看作“店”，通過“住店法”可順利解題。在使用住店策略解決這類問題時，關鍵是正確判斷哪個是底數，哪個是指數。