淺析排列組合中分組分配問題的解題策略

杜海洋

排列組合問題是高考數學中的必考題型，題型多變，解題方法也多種多樣。其中分組分配問題是排列組合中的一類綜合性問題，也是排列組合中的難點，兩者之間既有區別又有聯系，稍不留意就會引發混淆。為了解決這一棘手問題，下面將結合幾個例題談一談解答分組分配問題的策略。

一、分組問題

1.完全均勻分組

例1 6 本不同的書，按下列要求分配，求各有多少種不同的分法：

（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本;

（2）分為三份，每份2本。

解析：（1）將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，可以分為三步完成：第一步，先從6本書中選2本給甲，有C26種選法;第二步，從剩余的4本中選2本給乙，有C24種選法;第三步，最后剩余的2本給丙，有C22種選法。由分步乘法計數原理知，共有C2 6C2 4C22=15×6×1=90（種）不同的分法。

（2）本題屬于無序均勻分組問題。按有序分組，則有C2 6C2 4C22種方法，但出現了重復。不妨記6本書為A，B，C，D ，E，F，第一步取AB，第二步取CD ，第三步取EF，記該種分法為（AB，CD ，EF ）。但還有（AB，EF，CD），（CD ，AB，EF），（CD ，EF，AB），（EF，AB，CD），（EF，CD ，AB），這A33種情況只能記為一種方法。

故分配方法有C2 6C2 4C22／A33=15（種）。

2.部分均勻分組

例2 2023 年亞運會在杭州舉辦期間，將6 位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，分赴亞運會的4個不同場館服務，不同的分配方案的種數為（ ）。

A.4 320 B.1 080

C.180 D.90

解析：將6位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，有有C2 6C2 4C1 2C11／A2 2A22=45（種）方法，進而將其分配到4個不同場館，有A44=24（種）方法。由分步計數原理可得，不同的分配方案有45×24=1 080（種）。選B。

點評：該問題屬于先平均分組（堆）再分配的問題，先將6位志愿者分成四組，其中兩組各2人，另兩組各1人，再將其分配到4個不同場館即可。在分組過程中，要注意分組重復的情況，理解C2 6C2 4C1 2C11／A2 2A22中分母的意義。

3.完全非均勻分組

例3 要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學，如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則不同的分法共有多少種？

解析：要完成分配任務，可以分為兩步：第一步，將9本書按照4本、3本、2本分為三組，有C4 9C3 5C22種方法;第二步，將分好的3組書分別給3個人，有A33種方法。

因此，不同的分法數為C4 9C3 5C2 2A33=（9×8×7×6）／（4×3×2×1）×（5×4）／（2×1）×1×3×2×1=7 560。

點評：完全均勻分組和部分均勻分組在計數過程中易出現重復現象，注意計算公式的應用。重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m 組元素個數相等，則分組時應除以m ！。關于分組問題，有完全均勻分組、完全非均勻分組和部分均勻分組三種：①完全均勻分組，每組元素的個數都相等;②部分均勻分組，應注意不要重復;③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復情況。無論分成幾組，應注意只要有一些組中元素的個數相等，就存在均分現象，解決這類問題必須按照均勻分組的公式來解決。

例4 將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4 個人，每人至少一本的不同分法共有_____種。

解析：先把6本不同的書分成4組，再分給4個人，但該題易出錯的地方有兩個：一是分組考慮不全造成漏解，分組方式有2種，即3，1，1，1與2，2，1，1;二是2，2，1，1分組時，忽視均勻分組問題造成增解。

把6本不同的書分成4組，每組至少一本的分法有2種。

①1組有3本，其余3組每組1本，不同的分法共有C36·C1 3C1 2C11／A33=20（種）;

②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有C2 6C24／A22·C1 2C11／A22=45（種）。

不同的分組方法共有20+45=65（種）。

然后把分好的4組分給4個人，所以不同的分法共有65×A44=1 560（種）。

二、分配問題

1.相同元素的分配問題

相同元素的分配問題，常用“隔板法”，即將n 個相同的元素分成m 份（n，m 為正整數），每份至少一個元素，可以用m -1塊隔板，插入n 個元素排成一排形成的n-1個空隙中，共有Cm -1 n-1 種方法。

例5 方程x1+x2+x3+x4=12的正整數解共有（ ）組。

A.165 B.120 C.38 D.35

解析：如圖1，將12個完全相同的球排成一排，在它們之間形成的11個空隙中任選3個插入3塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數目依次是x1、x2、x3、x4，顯然滿足x1+x2+x3+x4=12，故（x1，x2，x3，x4）是方程x1+x2+x3+x4=12的一組解。反之，方程x1+x2+x3+x4=12的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式，故方程x1+x2+x3+x4=12的正整數解的數為C3 11 =11×10×9／3×2×1 =165，選A。

點評：相同元素分配問題的常見處理策略如下。

①隔板法：將放有小球的盒子緊挨著成一排放置，便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”。每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱為隔板法。隔板法專門解決相同元素的分配問題。

②將n 個相同的元素分給m 個不同的對象（n≥m ），每個對象至少分得一個元素，有Cm -1 n-1 種方法。可描述為在n-1個空中插入m -1塊隔板。

③將n 個相同的元素分給m 個不同的對象（n≥m），有Cm -1 n+m -1 種方法。 可轉化為將n+m 個相同的元素分給m 個不同的對象（n≥m ），每個對象至少分得一個元素，有Cm -1 n+m -1 種方法。即在n+m -1個空中插入m -1塊隔板。

2.不同元素的分配問題

不同元素的分配問題，一般利用分步乘法計數原理，先分組，后分配。

例6 將4名大學生分配到3個鄉村去支教，每個鄉村至少1名大學生，則不同的分配方案有種。

解析：（方法一）分兩步完成：第一步，將4名大學生按2，1，1 分成三組，其分法有C2 4C1 2C11／A22種;

第二步，將分好的三組大學生分配到3個鄉村，其分法有A33種。

所以滿足條件的分配方案有（C2 4C12C11／A22）A33=36（種）。

（方法二）根據題意知必有2名大學生去同一個村，從4名大學生中任選2名捆綁在一起，故有C2 4A33=36（種）方案。

總之，解答排列組合問題的關鍵在于判斷問題屬于不均分問題、整體均分問題，還是部分均分問題。有關“分組與分配”的問題還有很多內容，上述的研究僅僅是冰山一角，希望能為同學們的數學學習提供幫助。

（責任編輯 徐利杰）