構造圖形巧解三角題

趙峰

摘?要：本文通過構造三角形和單位圓，從幾何直觀的角度來巧妙地解決三角函數中的求值、證明不等式以及最值問題.

關鍵詞：三角函數；構造圖形；三角形；單位圓；幾何背景

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0008-03

幾何直觀是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理的思維基礎[1-2]. 作為一線教師，要善于引導學生去探索和發現三角函數問題的幾何背景，這有助于培養學生的直觀想象，而對于問題的解決來說，就會變得簡單而自然.

1 構造三角形求三角函數的值

例1?求值：tan20°+4sin20°.

解?構造Rt△ABC，如圖1所示，使∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1. 在BC上取點D使∠DAC=20°，則CD=tan20°，AD=1cos20°.

又S△ACD=12AC·CD=12tan20°，S△ADB=12AD·AB·sin40°=2sin20°，

而S△ABC=S△ACD+S△ADB.

所以12tan20°+2sin20°=32，即tan20°+4sin20°=3.

例2?求值：cos20°·cos40°·cos80°.

解?構造△ABC， 其中AB=AC，∠BAC=20°.

如圖2，在CB延長線上取D，E兩點， 使BD=BA，DE=DA， 則

∠ADB=12∠ABC=40°， ∠AED=12∠ADB=20°.

所以cos20°·cos40°·cos80°=AE2DE·AD2BD·BC2AB.

另一方面， 由ΔABC∽ΔEAC， 可知AC2=BC·AE， 代入上式立得cos20°·cos40°·cos80°=18.

例3?求值：cosπ7+cos3π7+cos5π7.

解?構造△ABC， 其中AB=AC，∠CAB=π7.如圖3所示，取AB上的D點和AC上的E點， 使∠BDC=3π7，∠CED=2π7.則△EAD，△DEC，△CDB，△BAC都是等腰三角形， 它們各自的一個底角分別是π7，2π7，3π7， 且AE=ED=DC=CB.

設AE=a， 則由AB=AD+DB=2AE·cosπ7+2CD·cos3π7，

AC=AE+EC=AE+2ED·cos2π7，

AB=AC，

得a+2acos2π7=2acosπ7+2acos3π7，

化簡得cosπ7+cos3π7-cos2π7=12，即cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.

2 構造三角形巧證三角恒等式

例4?求證：sin20°+sin40°=sin80°.

證明?構造等邊△ABC，D在BC上，∠BAD=40°， 如圖4所示.

在△ABD中， 由正弦定理得BD=AB·sin40°sin80°.

在△ACD中， 同理可得CD=AC·sin20°sin100°.

因為BD+CD=AB=AC，sin80°=sin100°，所以sin20°+sin40°=sin80°.

例5?求證：sin380°+sin320°=3sin20°·sin280°.

證明?構造△ABC， 其中AB=AC，∠BAC=20°.

作射線BE（如圖5所示）， 使得∠CBE=20°，BE交AC于D.

作AE⊥BD于E，∠ABE=60°，∠BAE=30°.

記AB=AC=b，BC=a， 則由ΔABC∽ΔBCD， 得CDBC=BCAB，即

a2=b·（b-AD）.

在直角△AEB中，BE=12AB=12b，AE=ABcos30°=32b.

在直角△AED中，AE2+DE2=AD2， 即

32b2+12b-a2=b-a2b2，

化簡得a3+b3=3ab2.由正弦定理知ab=sin20°sin80°，所以

sin380°+sin320°=3sin20°·sin280°.

3 構造單位圓巧證三角不等式

例6?已知0＜x＜y＜z＜π2，求證：π2+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z.

證明?如圖6所示，在單位圓上第一象限找三個點A，B，C，使得∠xOA=x，∠xOB=y，∠xOC=z，作矩形AENM，矩形BFQP，矩形CGHD，則

S矩形AENM=2sinx（cosx-cosy），

S矩形BFQP=2siny（cosy-cosz），

S矩形CGHD=2sinzcosz，

而S矩形AENM+S矩形BFQP+S矩形CGHD<12S單位圓，將以上三式代入整理即可得證.

例7?求證：13

證明?如圖7所示，構造半徑為1、圓心角為20°（即π9）的扇形OAB[3].

因為S△OAB

在扇形OAB的基礎上繼續延拓：構造半徑為1、圓心角為20°的扇形BOC、扇形COD.則AC⊥OB于E，∠BEC=90°，∠BED>90°DE13.

綜上，有13

4 構造單位圓求三角函數的值

例8?已知sinα+sinβ=14，cosα+cosβ=13，求tan（α+β）的值.

解?構造單位圓，如圖8所示，設A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則線段AB的中點為Mcosα+cosβ2，sinα+sinβ2，即M16，18.

又∠AOM=∠BOM，故∠xOM=∠xOA+∠AOM=α+β-α2=α+β2，結合三角函數的定義得tanα+β2=NMON=1816=34，所以tan（α+β）=2×341-342=247.

5 構造單位圓巧解三角函數的最值

例9?（2018年全國Ⅰ卷）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

解?在單位圓內考慮目標函數的幾何解釋，化歸為圓的內接三角形面積問題.由題意知，f（x）=2sinx（1+cosx），如圖9所示，考慮單位圓上的三個點A（-1，0），B（cosx，sinx），C（cosx，-sinx），x∈（0，π2］.

則BC=2sinx，hA=cosx-（-1）=cosx+1，x∈（0，π2］.

所以f（x）=BC·hA=2S△ABC.

因為圓的內接三角形以正三角形的面積最大，

所以f（x）max=2（S△ABC）max=f（π3）=332.

又f（x）是奇函數，所以f（x）min=-f（x）max=-332.

6 結束語

三角函數、三角不等式和三角函數值一般都具有幾何背景.在解題時，如果能挖掘出試題的幾何背景，利用其幾何解釋來處理，會達到事半功倍的解題效果.這樣的解題教學不僅體現了“數形結合”思想，還發展了學生“直觀想象”的核心素養，對培養學生的邏輯思維能力和直觀想象能力是有幫助的.

參考文獻：

［1］陳輝.關注學生的最近發展區?找準核心素養的生長點[J].數理化解題研究，2021（24）：2-3.

[2] 程漢波，徐章韜.尋找代數問題背后的直觀[J].數學通報，2023，62（5）：26-29，55.

[3] 李鴻昌.2018年全國卷Ⅰ理科第16題的多解與變式探究[J].數學通訊，2018（23）：29-32.

［責任編輯：李?璟］