方法承載思維 提煉啟迪智慧反思提高素養

［摘 要］ 縱觀近年來的高考試題，壓軸小題看似形式簡單，知識面卻很廣，且具有立意深刻等特點，往往能較好地考查學生的數學能力與素養. 文章以一道壓軸小題為例，具體從教學分析、狀況展示、教學實錄與教學思考等方面來展現壓軸小題的教學價值.

［關鍵詞］ 思維；智慧；方法；壓軸小題

出現在考卷中的一道題往往蘊含著豐富的知識、思維與方法等. 在教學中，借助一道題的探索來夯實學生的知識基礎，鼓勵學生自主提煉數學思想、解題思路與方法等，是提高學生解題能力的前提，尤其是解題反思能有效拔高學生的思維，幫助學生形成觸類旁通的解題能力，發展數學核心素養［1］. 本文借助一道學校周練中的壓軸填空題，從以下幾方面展開教學與思考.

呈現試題

已知平行四邊形ABCD的四個頂點恰巧都處于函數f（x）=log的圖象上，若點A（2，1），B

，2

，則平行四邊形ABCD的面積是______.

教學分析

本題為一道綜合性填空題，問題以函數為載體，立足平面幾何圖形，把四邊形的四個頂點坐標轉化成函數，實現了代數與幾何的深度融合. 就本題而言，它將數形結合思想、轉化思想等有機地融入其中，意在考查學生對基礎知識與解題方法的掌握程度. 通過解題狀況，可看出學生真實的思維水平與數學素養. 因此，這一道看似簡單、平淡無奇的小題，蘊含著豐富的內容與思想，具有探討與研究的價值和意義.

學生解題狀況

本班47人，僅有3人在測試時做對了本題. 在與學生溝通交流后，總結出學生出錯的根源有：①測試時，因為做本題之前的試題花費了不少時間，本題作為填空題的最后一題，認為肯定很難，所以想都沒想就直接放棄了；②對于題干中出現的平行四邊形這個條件，不知道該怎么使用；③少數學生計算錯誤.

教學過程

1. 展示問題，揭露解法

教師用PPT展示本題，邀請一名做對的學生具體講解自己的解題思路，并強調本題待解決的是“特定條件下平行四邊形的面積”，讓學生明確本節課研究的主題與大方向.

生1：先設兩個頂點（點C和點D）位于曲線上的坐標，再結合平行四邊形所具備的條件來建立方程組，由此獲得點C的坐標，最終求出平行四邊形ABCD的面積.

教師肯定了這種解題思路，并借助投影儀將該生的解題步驟展示出來，供所有學生分析與思考.

投影：設點C（x，f（x）），D（x，f（x）），鑒于ABCD是一個平行四邊形，那么==

，-1

. 根據已知條件構建方程組

x

-x

=，

f（

x）-f（

x）=-1，

·

=，解得C（-2，-1），則點C到直線AB：y=-x+的距離d等于. 由此獲得結論：S=AB·d=.

師：觀察生1的解題過程，可見他將幾何問題轉化為代數問題后，借助方程組實施解題，此為最常用的解題方法，值得贊揚. 但這種解題方法存在的弊端就是運算繁雜，耗費時間較長. 生1解本題花費了多少時間？

生1：大約6分鐘.

設計意圖 用多媒體展示問題，以及做對學生的解題過程，可節約板書時間. 投影正確的解題方法，意在讓學生明白本題的難度系數并不是特別大（班上確實有同學能夠做對），無形中為做錯的學生建立解題信心，而時間花費問題的提出為優化解題方法奠定了基礎.

2. 分析問題，探尋思路

師：大家一起觀察這個解題過程，說說你們的新發現.

生2：從平行四邊形的角度來看，其中蘊含的兩個條件可協助我們用向量相等列出兩個等式.

生3：本題還有“點A，C關于原點對稱”這個隱性條件.

生4：根據條件可知，f（x）是奇函數.

設計意圖 利用問題引導學生自主通過對基本解題方法的觀察、分析與總結，獲得“發現”的能力. 師生、生生之間積極的互動與交流，可提升學生思維的活躍度，為接下來的探究服務.

3. 積極引導，優化解法

師：大家都擁有一雙善于發現的眼睛，若想利用好“f（x）是奇函數”這個條件實施解題，該怎么處理呢？

生5：因為f（x）是奇函數，所以其圖象必然關于原點對稱. 結合平行四邊形的性質不難獲得坐標原點即平行四邊形ABCD的對角線的交點，以及點C（-2，-1），D

-，-2

，則平行四邊形ABCD的面積就唾手可得了.

師：很好，請大家沿著這條解題思路，將解題過程寫在本子上，并注意需要花費多少時間.

教師擇取生5規范的解題過程投影展示：如圖1所示，因為（-∞，-1）∪（1，+∞）為函數f（x）的定義域，f（-x）=log=log

=-f（x），所以f（x）是奇函數. 鑒于ABCD是一個平行四邊形，根據其對角線的對稱性，易求得點C（-2，-1），D

-，-2

，則點C到直線AB：y=-x+的距離d等于. 因此，S=AB·d=. （耗時3分鐘）

教師贊揚了生5的解題過程，并要求大家比較生1和生5的解題方法，說說自己的看法. 當大部分學生都表示生5的解題方法條理清晰、運算量小且耗時少時，一位學生舉手提出自己還有更簡便的解題方法.

生6：既然確定平行四邊形ABCD的對角線的交點為坐標原點，那么它的面積就是△AOB的面積的4倍，因此求出△AOB的面積即可獲得結論.因為S=·AB·d′=××=，所以S=4S=.

竟然有如此簡單的解法，這令所有學生耳目一新，大家都向生6投去了欽佩的目光. 教師也充分肯定了生6的解法，并著重強調計算原點O到直線AB的距離，比計算點C到直線AB的距離更簡便.

設計意圖 從構建主義理論出發，在已有知識或方法上構建新知識或新方法更容易一些. 此處，引導學生觀察其他學生的解題方法，并從中找到靈感發現新的解題思路，不僅進一步夯實了知識基礎，還優化了解題思維，提高了解題能力.

此時課堂進入了高潮階段，學生的思維異常活躍，對于△OAB的面積，又提出了新的解法.

生7：對于△AOB的面積，還可以通過割補法來獲得，即延長AB分別與x軸、y軸相交于點M，N，則S=S-S-S.

師：原來本題的難度并沒有想象中那么大，咱們在解題時只要對函數f（x）的性質進行深入分析就能發現端倪. 由此可見，解題需要思考與表述同行.

4. 鞏固練習，提升能力

如圖2所示，已知點A，B分別是橢圓C：+y2=1的上頂點與右頂點，若過原點O的直線與橢圓C相交于點E，D，與線段AB相交于點M，且點E位于第一象限，則四邊形DBEA面積的最大值是多少？

學生經思考與分析，提出如下兩種解法.

解法1 設DE：y=kx（k>0），與橢圓C聯立方程組，獲得點E

，

，D

，

. 假設點E，D到直線AB：y=-x+1的距離分別是d，d，則S=AB（d+d）. 代入點E，D的坐標，經化簡得S=··=2≤2，當且僅當k=時，等號成立.

解法2 假設點E（x，y），D（-x，-y），點E，D到直線AB的距離分別是d=，d=，則S=AB（d+d）=x+2y. 又+y=1，所以S=≤=2，當且僅當x=2y時，等號成立.

當大部分學生認同上述兩種解法時，一名學生提出了新的看法.

生8：根據以上解法中的“等號成立”的條件，我認為點E，D是與AB平行的直線和橢圓相切的切點. 設點E，D位于與AB平行的直線上，且位于橢圓上，同時到AB的距離之和最大，也就是點E，D是與AB平行的直線和橢圓相切的切點. 從橢圓的對稱性可知，點E，D所在的直線必然經過原點. 利用上述條件，可輕松解決問題.

學生一致認為生8提出的解法與前面兩種解法相比，思路更加清晰，運算量更小. 這或許就是數學學科獨特的魅力，大思維隱藏在問題背后，等著我們去發現.

設計意圖 一題多解可進一步鞏固學生的解題思維，讓學生在常規解題方法中探尋更多信息，獲取新思路，感知數學學科的解題樂趣，有效提高學習積極性.

教學思考

1. 立足基礎

新課標強調發展學生的“四基”與“四能”，是數學教學的首要目標. 尤其在以能力立意與素養立意為考查目標的大背景下，“四基”作為最基本的內容，處于最關鍵的節點. 在實際教學中，教師應著重關注基礎知識形成的過程，讓學生從本質上掌握知識與技能，體會數學思想方法，從而積累豐富的活動經驗，讓數學學科核心素養在不知不覺中得以有效發展.

在本節課教學中，教師對原題和學生的正確解法的展示，不僅啟發了所有學生的思維，讓學生明確了最基本的解題方法，還成功幫助學生建立了解題信心. 因此，立足基礎是解題教學的關鍵.

2. 優化思維

數學是思維的體操，數學教學以發展學生的數學思維為大方向. 尤其是解題教學，引導學生獲得分析問題與解決問題的能力是“授人以漁”的體現. 值得注意的是，數學學習是不斷進行知識構建的過程，教師可在學生原有的認知結構上，擇取恰當的時機將問題展示給學生，激起學生認知沖突，引導學生自主產生知識遷移的想法，從而自主發現、構建新知.

學生所接觸的模擬題或高考真題都具有較強的靈活性，存在多種解法，教師在進行解題指導時，可結合學生實際認知經驗與習慣，引導學生不斷優化思維，選擇最便捷的方式實施解題，以節約考試時間，提高解題效率［2］. 事實證明，在方法得當、思維清晰的狀態下，一些綜合性很強的小題往往擁有思維容量大，但過程簡明的解題方法. 因此，解題思維不僅反映學生的解題能力，也體現學生對知識本質的理解程度.

3. 反思提升

新課標認為：數學教學就是應用數學知識解決問題的一種綜合性實踐活動，開展數學教學的目的就在于培養學生自主探索、合作交流與反思提升的能力［3］. 想讓學生從一個具體問題中掌握基本的解題方法，獲得舉一反三的能力，就需要帶領學生從不同的維度去思考與分析問題，引導學生在變式訓練中感知知識間的聯系，完善認知結構.

在本節課教學中，教師通過一道經典練習題，引導學生不斷優化解題思維，讓學生通過一題多解認識知識本質；通過對解題思維的切入點、障礙點，以及解題方法的總結，從真正意義上幫助學生夯實知識基礎，帶來解題成就感，為發展學生的數學學科核心素養奠定基礎.

總之，當學生進入考場，審完試題后能快速回憶與之相關的知識、解題方法或解題思路確實存在一定難度. 想要快速解題，關鍵在于日常教學中引導學生思考應用哪種解題策略能在最短時間內高效、精準地分析問題并解決問題，從而使學生從容面對考試.

參考文獻：

［1］ G.波利亞. 怎樣解題——數學思維的新方法［M］. 涂私，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］ 鄭毓信，肖伯榮，熊萍. 數學思維與數學方法論［M］. 四川：四川教育出版社，2001.

［3］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.